Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová."— Transkript prezentace:

1 4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová

2 4. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA II. © Lagová, Kalčevová

3 © L&K3 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Algoritmus jednofázové SM Odvození kriteria optimality Odvození kriteria pro určení vystupující proměnné Dvoufázová SM Chyby v ST Kontrola v ST

4 © L&K4 JEDNOFÁZOVÁ SM Jednofázovou simplexovou metodou (1FSM) řešíme úlohy LP, jejichž všechna vlastní omezení jsou zadána jako nerov- nice typu ≤ Výchozí řešení 1SM získáme pomocí přídatných proměnných, které přičteme k levé straně omezení Základními proměnnými ve výchozím řešení 1FSM jsou přídatné proměnné

5 © L&K5 ALGORITMUS 1SM 1.Test optima a určení vstupující proměnné: Najdeme nejmenší koeficient z j : g = min j (z j ) = z k, (4.1) j = 1, 2, …, m+n a. g  0 → řešení je optimální, výpočet končí b. g < 0 → proměnná x k je vstupující k-tý sloupec je klíčový

6 © L&K6 2. Určení vystupující proměnné Vypočteme kde β i...je transformovaná pravá strana v i-tém řádku (i = 1, 2,..., m) Podíl t určuje maximální hodnotu vstupující proměnné: - testujeme jeho hodnotu (4.2)

7 © L&K7 a. α ik ≤ 0 pro i = 1, 2,..., m: - vstupující proměnná může nabývat libovolně velkých kladných hodnot - účelová funkce má neomezenou hodnotu - OŘ neexistuje → výpočet končí b. t = β q / α qk, α qk > 0: - vystupující proměnnou je základní pro- měnná v q-tém řádku - q-tý řádek je klíčový Na průsečíku klíčového sloupce a klíčové- ho řádku leží klíčový prvek α qk

8 © L&K8 3 a. Transformace matice A Klíčový řádek dělíme klíčovým prvkem: (4.3) j = 1, 2,..., n+m Transformujeme ostatní prvky v matici A: (4.4) i =1, 2,..., m, i≠q, j = 1, 2,..., n+m

9 © L&K9 3 b. Transformace pravých stran Transformovaná pravá strana v klíčovém řádku: (4.5) Ostatní pravé strany: (4.6) kde q... je index klíčového řádku, i =1, 2,..., m, i≠q

10 © L&K10 3 c. Transformace řádku z Koeficienty účelové funkce přepočteme podle (4.7) kde k... je index klíčového sloupce j = 1, 2,..., n+m Nová hodnota účelové funkce je (4.8) 4. NÁVRAT K BODU 1

11 © L&K11 Odvození kriteria optimality Iterační postup SM může začít od jaké- hokoliv ZPŘ Předpokládejme, že známe jedno ze ZPŘ (2.14): x (1) = (β 1, β 2,..., β m, 0,...0) (4.9) kde β i > 0, i = 1, 2,..., m jsou transformované pravé strany omezení

12 © L&K12 Základními proměnnými jsou x 1 = β 1, x 2 = β 2,..., x m = β m Hodnota účelové funkce je ? (4.10) Je tato hodnota maximální ? Zkusíme, co se stane, jestliže za některou nezákladní proměnnou dosadíme namísto nuly kladnou hodnotu

13 © L&K13 Zvolíme např. x m+1 =t, kde t > 0 Z ekvivalentní soustavy rovnic vypočteme nové hodnoty základních proměnných: x 1 = β 1 - α 1,m+1.t x 2 = β 2 - α 2,m+1.t (4.11)... x m = β m - α m,m+1.t kde α i,m+1 jsou transformované strukturní koeficienty u proměnné x m+1, i = 1, 2,...m

14 © L&K14 Nová hodnota účelové funkce bude z (2) = c 1 x 1 + c 2 x c m x m + c m+1 x m+1 Dosadíme nové hodnoty proměnných z (4.11) ? Roznásobíme: z (2) = c 1 β 1 - c 1 α 1,m+1.t c m β m - c m α m,m+1.t + c m+1.t

15 © L&K15 Uspořádáme: z (2) = c 1 β c m β m + - c 1 α 1,m+1.t c m α m,m+1.t + c m+1.t Zjednoduššíme a vytkneme (-t): z (2) = z (1) - t (c 1 α 1,m c m α m,m+1 - c m+1 ) Označíme c 1 α 1,m c m α m,m+1 = c ’ m+1 (4.12) kde c 1,..., c m jsou ceny základních pro- měnných x 1,..., x m α 1,m+1,..., α m,m+1 jsou transformované koeficienty proměnné x m+1

16 © L&K16 Po dosazení (4.11) je: z (2) = z (1) – t (c ’ m+1 - c m+1 ) Odtud je rozdíl mezi oběma hodnotami účelové funkce: Δz = - t (c ’ m+1 - c m+1 ) Protože t >0 a tudíž (-t <0), je Δz > 0 pro (c ’ m+1 - c m+1 ) < 0 Δz 0 Δz = 0 pro (c ’ m+1 - c m+1 ) = 0

17 © L&K17 Ekonomická interpretace testu optimality Ekvivalentní kombinace základních pro- cesů je lineární kombinace, která je vy- jádřením vektoru koeficientů nezákladní proměnné v bázi vektorů základních pro- měnných. Např. v (4.9) je to: a m+1 =α 1,m+1 a α m,m+1 a m (4.13) Ekvivalentní kombinace (4.14) má na pra- vé strany omezení stejný vliv jako jednotka procesu (m+1)

18 © L&K18 Má ale jinou „cenu“ c ’ j Podle (4.4) vypočteme c ’ j jako součin vektoru cen základních proměnných a vektoru transformovaných strukturních koeficientů nezákladní proměnné x j Cena ekvivalentní kombinace základních procesů ukazuje, kolik „stojí“ * současná kombinace základních procesů Je-li c ’ j > c j, je výhodnější současná kom- binace základních procesů než j-tý proces

19 © L&K19 Je-li c ’ j < c j, je výhodnější j-tý proces Dá se odvodit (viz Přednáška V.), že (c ’ j - c j ) = z j, (4.14) tj. koeficent účelové funkce u nezáklad- ní proměnné x j, Došli jsme tedy ke stejnému závěru jako při odvození testu optima: je-li z j < 0, hodnota z roste Jsou-li všechny koeficienty z j nezáporné, je řešení optimální

20 © L&K20 Příklad 4.1 Využijeme řešení kapacitní úlohy (3.1) z tabulky 3.6: x (2) =(0, 45, 30, 0, 110) T, z = 2700 Vysvětlete ekvivalentní kombinaci základ- ních procesů proměnné x 1 Vypočtěte koeficienty z 1 a z 4 v účelové funkci Určete, zda je hodnota účelové funkce maximální Pokud ne, vyberte vstupující proměnnou

21 © L&K21 Ekvivalentní kombinace 1. procesu: a 1 =1/2a 3 +1/4a 2 +a 5 (4.15) Cena ekvivalentní kombinace (4.15) ? Koeficient z 1 a z ? Proměnné x 1 x 2 x 3 x 4 x 5  i t x 3 1/ / x 2 1/ x z j

22 © L&K22 Ekonomická interpretace Dosadíme vektory a 1, a 2, a 3, a 5 z tab. 3.1 do (4.15): a 1 =1/2a 3 +1/4a 2 +a 5 Zkontrolujte správnost

23 © L&K23 Vidíme, že jedna jednotka prvního procesu má na pravé strany stejný vliv jako ekviva- lentní kombinace (4.15): nevyužití 1/2 min. času lisu + výroba 1/4 krabičky matic (=spotřeba (1/4. 2)min. času lisu a 1/4.4)min. ba- licí linky ) + „nevýroba“krabičky šroubků (= 1 KŠ) Jednotkové provedení ekvivalentní kombi- nace základních procesů (4.15) tedy „odebere“ z každé pravé strany 1 jednotku

24 © L&K24 Cena jednotky 1. procesu (tj. zisk z jedné krabičky šroubků) je c 1 = 40 Kč Cena ekvivalentní kombinace (4.15) je c ’ 1 = 1/2c 3 +1/4c 2 +c 5 = 1/2.0+1/4.60+0=15  c 1 > c ’ 1, tj. výhodnější je 1. proces Řešení v tabulce 3.6 není optimální Vstupující proměnná je x 1

25 © L&K25 VYSTUPUJÍCÍ PROMĚNNÁ Předpokládejme, že jsme jako vstupující proměnnou určili x k V další iteraci bude mít kladnou hodnotu, kterou označíme symbolem t Velikost t je omezena podmínkami nezá- pornosti proměnných: x 1 = β 1 - α 1k.t ≥ 0 x 2 = β 2 - α 2k.t ≥ 0 (4.16)... x m = β m - α m k.t ≥ 0

26 © L&K26 Pro α ik ≤ 0 je podmínka β i - α ik.t ≥ 0 splněna vždy Pro α ik > 0 musí v i-tém omezení platit t ≤ β i / α ik Celkem je tedy hodnota vstupující proměn- né omezena horní hranicí t ≤ min (β i / α ik ) i =1,..., m

27 © L&K27 Zvolíme-li maximální možnost, tj. i = 1,..., m, bude řešení v další iteraci: - přípustné  - základní Co se stane, zvolíme-li t menší nebo větší než je povolená maximální možnost (Před- náška III.) ?

28 © L&K28 DVOUFÁZOVÁ SM 2FSM řešíme ty úlohy LP, které mají ně- která omezení zadána jako nerovnice typu ≥ nebo rovnice Po vyrovnání vlastních omezení na rov- nice není soustava ekvivalentních rovnic v kanonickém tvaru K získání výchozího řešení použijeme další druh proměnných Nazveme je pomocné proměnné

29 © L&K29 Pomocné proměnné Pomocné proměnné přičteme: –v nerovnici typu ≥ –v rovnici Ve výchozím řešení jsou základními pro- měnnými Pomocné proměnné nemají ekonomickou interpretaci Výchozí řešení proto není přípustným řešením zadané úlohy LP

30 © L&K30 Rozšířená soustava rovnic Soustavu rovnic s pomocnými proměn- nými nazýváme rozšířená soustava Je ekvivalentní původní soustavě rovnic pouze tehdy, jsou-li všechny pomocné proměnné rovny nule Vynulování pomocných proměnných mů- žeme zajistit dvěma způsoby: − zavedením prohibitivních cen − sestavením pomocné účelové funkce

31 © L&K31 Prohibitivní ceny Pomocným proměnným dáme tzv. prohi- bitivní cenu, např (max.) nebo 1000 (min.) a úlohu řešíme 1FSM Tento způsob má dvě nevýhody: − zvolíme-li prohibitivní cenu málo odliš- nou od cenových koeficientů, nemusí se pomocná proměnná vynulovat − jestliže jsou naopak prohibitivní ceny řádově hodně vysoké, je výpočet ne- přehledný

32 © L&K32 Pomocná účelová funkce Sestavíme pomocnou účelovou funkci: z' = ∑ y p … min. kde y p ≥ 0 jsou pomocné proměnné Nejmenší přípustná hodnota pomocné proměnné je nula (nezápornost) Jakmile se všechny pomocné proměnné vynulují, pomocnou účelovou funkci vyne- cháme Úlohu řešíme ve dvou fázích

33 © L&K33 1. FÁZE 2FSM V 1.fázi hledáme vstupující proměnnou podle kladného koeficientu v pomocné účelové funkci z' Při splnění podmínek nezápornosti je minimální hodnota z' = 0, jsou-li všechny pomocné proměnné rovny nule V tomto případě jsme našli první pří- pustné řešení zadané úlohy Pokud se to nepodaří, PŘ ani OŘ ne- existuje

34 © L&K34 2. FÁZE 2FSM Ve druhé fázi počítáme podle účelové funkce z Hledáme její zadaný extrém (bez ohledu na minimalizaci pomocné účelové funkce) Pomocnou účelovou funkci vypustíme Dále počítáme 1FSM

35 © L&K35 Příklad 4.2 Uvažujme úlohu LP: x 1 + 2x 2 ≤ 120 x 1 − x 2 ≥ 90 x 1 ≤ 110 (4.17) x j ≥ 0, j = 1, 2 z = 40x x 2... max. Vypočtěte OŘ simplexovou metodou Pozn.: Je to úloha z příkladu 1.1, ve které jsme vynechali redundandní 2.omezení

36 © L&K36 Vlastní omezení vyrovnáme na rovnice: x 1 + 2x 2 + x 3 = 120 x 1 - x 2 - x 4 = 90 (4.18) x 1 + x 5 = 110 Soustava (4.18) není v kanonickém tvaru Ve druhé rovnici chybí proměnná s jednot- kovým vektorem, takže je odtud x 4 = - 90 Řešení x=(0, 0, 120, -90, 110) není přípustné

37 © L&K37 Ve druhém omezení přičteme pomocnou proměnnou y 1 : x 1 + 2x 2 + x 3 = 120 x 1 - x 2 - x 4 + y 1 = 90 (4.19) x 1 + x 5 =110 Výchozím řešením je odtud: x (1) = (0, 0, 120, 0, 110, 90) Vektor x (1) není PŘ úlohy (4.17)... Proč?

38 © L&K38 Pomocná účelová funkce Formulujeme pomocnou účelovou funkci z' = y 1 … min. Vynulujeme ji z' − y 1 = 0 Upravíme na kanonický tvar tak, že eliminační metodou vyloučíme (− y 1 ) Z (4.19) přičteme k z' druhé omezení x 1 – x 2 – x 4 + y 1 = 90 z' + x 1 – x 2 – x 4 = 90 + =

39 © L&K39 Dostaneme rozšířený model úlohy LP v kanonickém tvaru: x 1 + 2x 2 + x 3 = 120 x 1 - x 2 - x 4 + y 1 = 90 x 1 + x 5 = x x 2 + z = 0 x 1 - x 2 - x 4 + z' = 90 x j ≥ 0 y 1 ≥ 0 j = 1, 2,..., 5

40 © L&K40 Výchozí řešení v ST Výchozím řešením je z tabulky 4.1 vektor x (1) = (0, 0, 120, 0, 110, 90) Není to přípustné řešení, protože y 1 =90 Počítáme 2FSM podle řádky z ’ Tab. 4.1

41 © L&K41 1. iterace Klíčový sloupec je první PROČ? Klíčový řádek je druhý PROČ? Tab. 4.2

42 © L&K42 2. iterace Tab. 4.3 Pomocná proměnná se vynulovala, z’ = 0 Prvním přípustným řešením úlohy (4.17) je vektor x (2) = (90, 0, 30, 0, 20, 0) Přejdeme do 2.fáze

43 © L&K43 2. fáze Z tabulky vynecháme pomocnou účelovou funkci a sloupec pomocné proměnné a pokračujeme ve výpočtu jednofázovou SM Hledáme maximum účelové funkce z: Tab. 4.4 Klíčový sloupec je podle g=-100 druhý Klíčový řádek je podle t=10 první

44 © L&K44 3. iterace Tab. 4.5 Z tabulky (4.5) přečteme řešení: ? Který sloupec je klíčový Proč? Který řádek je klíčový Proč?

45 © L&K45 4. iterace Tab. 4.6 Odtud je řešení: x (4) =(110, 5, 0, 15, 0), z (4) = 4700 Je to OŘ ?

46 © L&K46 x1x1 x2x Obrázek 4.1 − 2FSM OPTIMUM „Pan Simplex“ ve 2FSM

47 © L&K47 CHYBY VE VÝPOČTU V ST Chyba: − v určení klíč. sloupce − v určení klíč. řádku − v eliminaci − v zápisu základních proměnných − numerické chyby Projeví se: − snížení hodnoty z − nepřípustné řešení − porušení přípustnosti nebo kanon. tvaru − špatně přečtené ZPŘ − částečně nebo úplně špatný výsledek

48 © L&K48 1. CHYBNÝ VÝBĚR KLÍČOVÉHO SLOUPCE Hodnota vstupující proměnné x 3 je: ? Změna účelové funkce bude: ? Tab. 4.7

49 © L&K49 Transformace Tab. 4.8 Vidíme, že hodnota účelové funkce klesla na 2700, tedy o 1500 V grafickém řešení jsme se dostali zpět do krajního bodu B

50 © L&K50 x2x2 1 x x 2  120 x 1  x x 2  180 [110,5] [110,0][120,0] [60,30] [0,0] [0,45] [0,60] x1x1 „Pan Simplex“ zabloudil A C B D EObrázek 4.2 − Zhoršení hodnoty z

51 © L&K51 2. CHYBNÝ VÝBĚR KLÍČOVÉHO ŘÁDKU Tab. 4.9 Hodnota vstupující proměnné x 4 je ? Jaká bude hodnota proměnných x 1,x 2 a x ?

52 © L&K52 Tab Po transformaci dostáváme simplexovou tabulku s nepřípustným řešením: x 5 = −10 V grafickém řešení jsme se dostali mimo množinu PŘ (bod F≡[120,0]) Tab. 4.10

53 © L&K53 x2x2 1 x x 2  120 x 1  x x 2  180 [110,5] [110,0][120,0] [60,30] [0,0] [0,45] [0,60] x1x1 „Pan Simplex“ se úplně ztratil A C B D E Obrázek 4.3 − Nepřípustné řešení F

54 © L&K54 3. CHYBA V ELIMINACI Takových chyb může být velké množství, např. –odečteme od sebe řádky ST v opačném po- řadí a dostaneme tak nepřípustné řešení –počítáme eliminační metodou, nikoliv meto- dou úplné eliminace a ztratíme tak jednotkové vektory, tj. kanonický tvar Např. v tabulce 4.11 jsme vynásobili druhý řádek (−2) a přičetli k němu první řádek

55 © L&K55 Tab Proměnné x 1 x 2 x 3 x 4 x 5  i t x 3 1/ / x 2 1/ x z j Proměnné x 1 x 2 x 3 x 4 x 5  i t x  x x z j 0 0  0 60 Tab  Řešení v tab je nepřípustné a je po- rušen kanonický tvar

56 © L&K56 4. CHYBNÝ ZÁPIS Ve třetím řádku je základní proměnná y 1 Ve čtvrtém řádku je základní proměnná x 6 Z tab bychom přečetli chybné řeše- ní x=(0, 0,120, 180, 90, 0, 90) Tab. 4.13

57 © L&K57 Kontrola výpočtu v ST K ST přidáme první řádek cenových koe- ficientů, do prvního sloupce zapíšeme ceny základních proměnných Podle (4.14) vypočteme koeficienty z j Tab. 4.14

58 © L&K58 KONEC


Stáhnout ppt "4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová."

Podobné prezentace


Reklamy Google