Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová."— Transkript prezentace:

1 4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová

2 10. přednáška PARAMETRICKÉ PROGAMOVÁNÍ CELOČÍSELNÉ PROGRAMOVÁNÍ © Lagová, Kalčevová

3 © L&K3 OSNOVA PŘEDNÁŠKY •Parametrické pravé strany •Parametrické ceny •Formulace úloh celočíselného programo- vání •Množina PŘ •Klasifikace metody

4 © L&K4 PARAMETRICKÉ PROGRAMOVÁNÍ •Některé části modelu úlohy LP se mění spojitě v závislosti na parametru t •Nejobvyklejší je změna pravých stran ne- bo cen omezení •Ekonomicky může jít o růst nebo pokles cen závislý na čase, sezónní výkyvy v dodávkách surovin, v poptávce atd.

5 © L&K5 Zadání úlohy •Parametr t je reálné číslo ze zadaného intervalu T 0 ≤ t ≤ T 1 (10.1) kde T 0 je dolní mez celkového intervalu T 1 je horní mez celkového intervalu •Parametr t může být neomezen zdola, popř. shora: •V tomto případě nahradíme symbol ∞ řá- dově dostatečně velkým číslem ∞) ∞, t(t( ‾

6 © L&K6 •V parametrickém programování neřešíme jednu úlohu LP, ale celou řadu úloh •Optimální řešení se může měnit v závis- losti na tom, jak se mění pravé strany, po- př. ceny •Hledáme tedy řadu optimálních bází •Celkový interval hodnot parametru t (10.1) rozdělíme na dílčí intervaly •V každém dílčím intervalu vypočteme optimální bázi B s Princip řešení

7 © L&K7 •První optimální bázi B 1 vypočteme SM •Stanovíme, pro které hodnoty parametru t je tato báze optimální: t 0 (1)... dolní mez hodnot parametru t t 1 (1)... horní mez hodnot parametru t •Pro t > t 1 (1) je porušena optimalita báze B 1 •Počítáme novou optimální bázi B 2

8 © L&K8 Zakončení výpočtu •Celkový interval t   T 0, T 1  tak rozdělíme na řadu dílčích intervalů t   t 0 (s), t 1 (s)  •Výpočet končí tak, že: 1. vyčerpáme všechny zadané hodnoty t 2. pro další hodnoty t neexistuje optimální báze

9 © L&K9 PARAMETRICKÉ PRAVÉ STRANY •Formulujeme parametrickou úlohu LP: Ax = b 0 + b 1 t x  0 (10.2) z = c T x … max. kde t … je reálné číslo z intervalu T 0 ≤ t ≤ T 1 •Řešit tuto úlohu znamená vypočítat řadu bází, které jsou optimální v jednotlivých dílčích intervalech hodnot parametru t

10 © L&K10 1. OPTIMÁLNÍ BÁZE •Položíme t = T 0 dosadíme do (10.2): b i = b 0i + b 1i t, (10.3) i = 1, 2,..., m •Je−li některá pravá strana po této úpravě záporná, vynásobíme omezení (−1) •Simplexovou tabulku rozšíříme o sloupec b 0 a b 1 •Počítáme SM optimální řešení podle pra- vých stran (10.3) •Sloupce b 0 a b 1 pouze transformujeme

11 © L&K11 Meze s-tého intervalu •V OŘ jsou transformované pravé strany: β 0i + β 1i t ≥ 0 (10.4) •Je-li β 1i > 0, platí odtud pro t: ? •Je-li β 1i < 0, platí pro t: ? •Vztah (10.4) musí být splněn pro všechny pravé strany

12 © L&K12 •Dolní mez hodnot t v s−tém intervalu je z (10.4): t 0 (s) = max (−β 0i / β 1i ) (10.5) pro i = 1, 2,..., m, β 1i > 0 •Horní mez hodnot t v s −tém intervalu je odtud t 1 (s) = min (−β 0i / β 1i ) (10.6) pro i = 1, 2,..., m, β 1i < 0 •Dílčí s−tý interval je tedy t   max (−β 0i / β 1i ), min (−β 0i / β 1i ) 

13 © L&K13 POKRAČOVÁNÍ VÝPOČTU •Je−li horní hranice dílčího intervalu menší než celková horní hranice, tj. t 1 (s) < T 1 počítáme další optimální bázi •Protože pro t > t 1 (s) je řešení primárně ne- přípustné, počítáme DSM •Klíčový řádek je ten, ve kterém jsme našli horní hranici intervalu t 1 (s) •Dolní hranice intervalu s +1 je vždy rovna horní hranici s−tého intervalu

14 © L&K14 Příklad 10.1 kde 1 ≤ t ≤ 100 • Položíme t =1 a vypočteme: b 1 = =22 b 2 = = 9

15 © L&K15 Výchozí řešení Tab • Klíčový řádek určíme podle hodnot b i a ta- bulku transformujeme

16 © L&K16 •V OŘ musí platit: 8 − 4t ≥ 0 → t ≤ t ≥ 0 → t ≥-2 •Dolní a horní hranice prvního intervalu: t 0 (1) = 1 (=T 0 ) t 1 (1) = 2 •První dílčí interval je: t  1, 2  1. optimální báze •  Vektor OŘ je z tabulky 10.2: x (1) = (6+3t, 0, 8- 4t, 0, 0) T, (10.7)

17 © L&K17 •OŘ v intervalu t  1, 2  pro t =1: x (1) = (9, 0, 4, 0) T, z = =720 •Pro t =2 je OŘ v intervalu t  1, 2  : x (2) = (12, 0, 0, 0) T, z = 960 •Pro t = 3 je řešení v tabulce 10.2 primár- ně nepřípustné: x (3) = (18, 0, -4, 0) T, z = 960 •Novou optimální bázi počítáme DSM

18 © L&K18 Pokračování výpočtu • Zvolíme klíčový řádek a klíčový sloupec: Tab Tab. 10.4

19 © L&K19 2. optimální báze •V tabulce 10.4 je optimální řešení x (2) = (14-1t, -8+4t, 0, 0) T, (10.8) z = t • Z podmínek nezápornosti je: 14-1.t ≥ t ≥ 0 •Odtud je druhý interval hodnot t: t   2, 14  t ≤ 14 t ≥ 2

20 © L&K20 •Všimněte si, že dolní hranice druhého intervalu = horní hranici prvního •Dosadíme−li t = 2 do (10.7) i (10.8), dostaneme stejné řešení x=(12, 0, 0, 0 )T, z=960 •Na rozhraní dvou sousedních intervalů tedy existují dvě optimální báze • Protože t 1 (2)

21 © L&K21 Pokračování výpočtu Tab Tab. 10.5

22 © L&K22 3. optimální báze • Všechny koeficienty u β 1i (3) jsou nezáporné, hodnoty t nejsou shora omezeny • Dosadíme tedy t 1 (3) =100: výpočet končí • Třetí báze je optimální pro t   14, 100  • Optimálním řešením ve třetím dílčím intervalu je x (3) = (0, 20+2t, 0, -14+t), z (3) = t

23 © L&K23 Přehled optimálních řešení Tab. 10.7

24 © L&K24 ZAKONČENÍ VÝPOČTU •Výpočet úlohy LP s parametrickými pra- vými stranami může skončit dvěma způ- soby: 1. t 1 (s) ≥ T 1  výpočet končí 2. t 1 (s) < T 1, ale v klíčovém řádku není zá- porný koeficient  pro t > t 1 (s) neexistuje OŘ: - dosadíme T 1 = t 1 (s)  výpočet končí

25 © L&K25 Příklad 10.2 kde 10 ≤ t ≤ 100 • Položíme t =1 a vypočteme: b 1 = =14 b 2 = = 22

26 © L&K26 • Vypočetli jsme v LPPro OŘ simplexovou metodou pro t =10: Tab x=(7/2, 0, 0, 8), z=7/2

27 © L&K27 •Určíme meze 1. dílčího intervalu ? •Optimální řešení v 1. intervalu je: x (1) = (6-1/4t, 0, 0, -12+2t, ) T, (10.9) z = 6-1/4t •Pokračujeme ve výpočtu DSM 1.  optimální báze

28 © L&K28 Tab • Klíčový řádek je první PROČ ? • Úloha nemá pro t > 24 přípustné řešení PROČ ? • Dosadíme T 1 =24

29 © L&K29 Nepřípustné výchozí řešení •Po dosazení dolní meze T 0 do (10.2) může být některá pravá strana záporná •Výchozí řešení je primárně nepřípustné •První optimální bázi není možno počítat simplexovou metodou •Pokud není úloha duálně přípustná, musí- me omezení se zápornou pravou stranou násobit (-1)

30 © L&K30 Příklad 10.3 kde -4 ≤ t ≤ 24 • Položíme t =-4 a vypočteme ?

31 © L&K31 • Druhé omezení jsme násobili (-1) a počíta- li dvoufázovou SM Tab

32 © L&K32 1. optimální báze • Dolní mez hodnot t je -4 (-4 > -8) • Shora není interval omezen Tab • Vypočetli jsme OŘ: x=(8+t, 5, 0, 0) T, z=130+10t pro zadaný interval t   -4, 24 

33 © L&K33 PARAMETRICKÉ CENY •Řešíme úlohu LP Ax = b x  0 (10.10) z = (c 0 + c 1 t) T x … max. kde t … je reálné číslo z intervalu T 0 ≤ t ≤ T 1 c 0 T...je pevná část cen, c 1 T...je parametrická část cen •Úlohu (10.10) řešíme obdobně jako úlohu LP s parametrickými pravými stranami

34 © L&K34 VÝCHOZÍ ŘEŠENÍ •Koeficient z j v účelové funkci rozdělíme na dvě části: z j = g 0j + g 1j t (10.11) kde g 0j = c 0B T B s −1 a j  c 0j (10.12) g 1j = c 1B T B s −1 a j  c 1j (10.13) •Do (10.11) dosadíme t = T 0 •Počítáme OŘ podle účelové funkce s koe- ficienty z j

35 © L&K35 •Dostaneme tak první optimální bázi •V maximalizační úloze platí: z j = g 0j + g 1j t ≥ 0 •Odtud odvodíme pro t: Je-li g 1j > 0, je ? •Je-li g 1j < 0, je ?

36 © L&K36 •Dolní mez hodnot t v s−tém intervalu je tedy t 0 (s) = max (−g 0j / g 1j ) (10.14) pro j = 1, 2,..., n+m, g 1j > 0 •Horní mez hodnot t v s −tém intervalu je odtud t 1 (s) = min (−g 0j / g 1j ) (10.15) pro j = 1, 2,..., n+m, g 1j < 0 •Dílčí s−tý interval je tedy t   t 0 (s), t 1 (s) 

37 © L&K37 POKRAČOVÁNÍ VÝPOČTU •Je−li horní hranice dílčího intervalu menší než celková horní hranice, tj. t 1 (s) < T 1 počítáme další optimální bázi •Protože pro t > t 1 (s) je porušena duální přípustnost řešení  SM •Klíčový sloupec je ten, ve kterém jsme našli horní hranici intervalu t 1 (s) •Dolní hranice intervalu s +1 je vždy rovna horní hranici s−tého intervalu

38 © L&K38 ZAKONČENÍ VÝPOČTU •Výpočet úlohy LP s parametrickými pra- vými stranami může skončit dvěma způ- soby: 1. t 1 (s) ≥ T 1  výpočet končí 2. t 1 (s) < T 1, ale v klíčovém sloupci není kladný koeficient  pro t > t 1 (s) neexistuje OŘ: - dosadíme T 1 = t 1 (s)  výpočet končí

39 © L&K39 Příklad 10.4 •Je dána úloha LP s parametrickými cena- mi: x 1 + 2x 2 ≤ 120 x 1 + 4x 2 ≤ 180 x 1 ≤ 110 (10.16) x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 z = (40+6t)x 1 + (60-2t)x 2... max. a interval hodnot parametru t: 0≤ t ≤ 40

40 © L&K40 •Ve výchozím řešení jsou základními pro- měnnými přídatné proměnné •Je tedy c 0B T =(0, 0, 0), c 1B T =(0, 0) •Vypočteme g 0j podle (10.12) a g 1j podle (10.13) ? •Vypočteme z j podle (10.11) ?

41 © L&K41 Výchozí řešení Tab • Simplexovou metodou počítáme podle koeficientů z j optimální řešení

42 © L&K42 1. optimální báze • Řešení v tabulce je podle řádky z opti- mální Tab

43 © L&K43 •Řešení v tabulce je duálně přípust- né (a tedy optimální) pro hodnoty para- metru t : 30 - t ≥ 0 t ≤ t ≥ 0 t ≥ -10/7 •První dílčí interval hodnot je odtud: t   0, 30  •Optimální řešení je: x (1) =(110, 5, 0, 50, 0) T, z = t

44 © L&K44 Pokračování výpočtu •Řešení v tabulce není optimální pro t > 30 •Pokračujeme ve výpočtu SM Tab

45 © L&K45 2. optimální báze •Tab Tab • Stanovte podmínky duální přípustnosti 2. optimální báze ?

46 © L&K46 •Z tabulky jsou podmínky optimality: •Odtud je •V tabulce je optimální řešení pro •Optimálním řešením je vektor: x =(110, 0,10,70,0) T, z= t

47 © L&K47 Příklad 10.5 •Je dána úloha LP s parametrickými cena- mi: 2x 1 + 3x 2 ≤ 14 2x 1 + 2x 2 ≤ 6 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 z = (20+3t)x 1 + (64+2t)x 2... max. a interval hodnot parametru t: 1≤ t ≤ 50

48 © L&K48 •Koeficienty g 0j, g 1j a z j : ? •SM jsme vypočetli 1. optimální bázi pro: t   1, 44  •Pokračujeme ve výpočtu SM •Další optimální báze již vyčerpává celý zadaný interval: t   44, 60 

49 © L&K49 Tab

50 © L&K50 CELOČÍSELNÉ PROGRAMOVÁNÍ •V úlohách celočíselného programování (IP) musí proměnné splňovat i podmínky celočíselnosti •Jsou-li podmínky celočíselnosti kladeny pouze na některé strukturní proměnné, jde o smíšené celočíselné programová- ní (MIP) •Nabývají-li strukturní proměnné pouze jedné ze dvou hodnot (nula nebo jedna), je to bivalentní programování

51 © L&K51 MNOŽINA PŘ •V úlohách LP bez podmínek celočíselnosti je množina přípustných řešení spojitá •Hodnoty proměnných nemusí být celá čísla •V celočíselných úlohách získáme přípust- ná řešení tak, že z této spojité množiny vydělíme body, které vyhovují podmínkám celočíselnosti proměnných •Množina přípustných řešení je diskretní

52 © L&K52 •Úlohu IP nelze tedy řešit SM, kde celočí- selnost OŘ není zaručena •Neceločíselné řešení nelze ani jednoduše zaokrouhlit: − zaokrouhlené řešení nemusí být vždy přípustným řešením úlohy LP − zaokrouhlené řešení může být sice pří- pustné, ale nemusí být optimální •Názorně je to vidět na grafickém řešení úlohy LP s podmínkami celočíselnosti

53 © L&K53 Příklad 11.1 •Je dána úloha IP:

54 © L&K54 Grafické řešení Obr − Řešení úlohy IP O ≡ [8/5, 11/5] A ≡ [0, 3] B ≡ [1, 2] C ≡ [2, 3]  C

55 © L&K55 Zaokrouhlení výsledků •Neceločíselné OŘ je na obr v bodě: O≡[8/5,11/5], z=9,8 •Zaokrouhlíme−li dolů, dostaneme bod B ≡[ 1, 2 ], z=8, ale celočíselné optimum je v bodě A ≡[ 0,3 ], z=9 •Zaokrouhlením nahoru dostaneme C ≡[ 2, 3 ], což je nepřípustné řešení

56 © L&K56 METODY ŘEŠENÍ 1. Metody řezných nadrovin •Vypočteme SM optimální řešení (bez ohledu na podmínky celočíselnosti) •Z množiny PŘ „odřízneme“ část tak, aby neobsahovala žádný celočíselný bod •Znovu počítáme OŘ •Reprezentantem těchto metod je Gomoryho metoda

57 © L&K57 2. Metody kombinatorické •Opět vyjdeme z OŘ bez podmínek celo- číselnosti •Množina přípustných řešení se postupně „prohledává“, přičemž se vypouští pod- množiny, které nadále nejsou efektivní, tj. nemohou obsahovat OŘ •Nejznámější jsou různé varianty metody „větví a mezí“

58 © L&K58 3. Metody dekompoziční •Podmínky celočíselnosti jsou kladeny jen na některé proměnné ( MIP) •Řeší se rozkladem na dvě části: ► s podmínkami celočíselnosti ► bez podmínek celočíselnosti 4. Heuristické metody •Řeší obzvláště obtížné úlohy IP a MIP přibližnými metodami (přiřazovací prob- lém, problém obchodního cestujícího apod.)

59 © L&K59 KONEC


Stáhnout ppt "4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová."

Podobné prezentace


Reklamy Google