Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová."— Transkript prezentace:

1 4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová

2 5. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA III. © Lagová, Kalčevová

3 © L&K3 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Konečnost SM Degenerace a její odstranění Obecné maticové vyjádření ST Analýza citlivosti pravých stran Postoptimalizační změny b Analýza citlivosti cenových koeficientů Postoptimalizační změny c

4 © L&K4 KONEČNOST SM Konečnost simplexové metody vyplývá ze základní věty LP: –optimální řešení hledáme mezi základními přípustnými řešeními –základních přípustných řešení je konečný počet –podle testu optima v každé iteraci zvýšíme hodnotu účelové funkce –v konečném počtu tedy musíme dojít k optimálnímu řešení nebo k závěru, že neexistuje.

5 © L&K5 DEGENERACE V ÚLOZE LP Degenerované řešení je základní přípustné řešení, které má méně než m kladných složek, tj. více než n – m nulových složek Znamená to, že jedna nebo více základ- ních proměnných je rovna nule V ST je alespoň jedna pravá strana rovna nule

6 © L&K6 Degenerace v ST K degeneraci v ST může dojít dvěma způ- soby: − při zadání úlohy LP − během výpočtu (je-li několik stejných mi- nimálních podílů podle (4.2)) Je-li proti nulové pravé straně v klíčovém sloupci kladný koeficient, je hodnota vstupující proměnné rovna nule: x k = t = 0

7 © L&K7 Zacyklení báze Je-li t =0, je nulový i přírůstek z: Δz = −z k.0 = 0 Tato situace může vést k zacyklení: − po určitém počtu kroků se opět vrací již známá kombinace základních proměn- ných (známá báze) − postup se opakuje donekonečna (viz pří- klad podle Bealea v Systému LinPro) − toto zacyklení báze je velmi vzácné

8 © L&K8 Příklad 5.1 Je dána úloha LP: Přičteme přídatné proměnné a přepíšeme výchozí řešení do tabulky

9 © L&K9 Nejednoznačnost klíč. řádku Klíčový řádek je 1. nebo 2. Nejednoznačnost pokračuje i v dalších iteracích Zvolíme-li vždy první z možností, vracíme se po sedmi iteracích zpět k výchozí bázi Tab. 5.1

10 © L&K10 Zacyklení báze Tab. 5.2 Výpočet v LinPro byl po 30. iteracích ukon- čen

11 © L&K11 Odstranění degenerace Nejznámější jsou tři způsoby: 1.Modifikace testu optima − snaží se o nenulovou změnu účelové funkce podle (3.10) 2. Charnesova metoda − upraví nulové pravé strany na kladné 3. Blandovo pravidlo − modifikuje určení klíčového sloupce i klíčového řádku

12 © L&K12 1. Modifikace testu optima Klíčový sloupec vybereme třetí Klíčový řádek je jednoznačně třetí Změna účelové funkce je: ? Ve třetí iteraci vypočteme OŘ Tab. 5.3

13 © L&K13 Manuální výpočet v LinPro Tab. 5.4 V 1. iteraci je klíčový sloupec třetí

14 © L&K14 2. iterace Tab. 5.5 Zvolte klíčový sloupec a řádek ?

15 © L&K15 3. iterace - OŘ x (3) =(0; 0, 04; 1; 0; 0,03;0; 0) T, z = -0,05 Tab. 5.6 Optimálním řešením je vektor

16 © L&K16 2. Charnesova metoda Pravé strany upravíme na kladná čísla: b(ε) = b +  ε j a j (5.2) kde 0 < ε < 1 je malé kladné číslo blízké nule Začínáme sloupcem, který má v poten- ciálních klíčových řádcích kladné koefi- cienty Toto uspořádání dodržujeme po celou do- bu výpočtu Dostaneme tak perturbované pravé stra- ny, které jsou všechny kladné

17 © L&K17 Perturbované pravé strany b 1 (ε) = 0 +1/4 ε - 60 ε 2 - 1/25 ε ε ε b 2 (ε) = 0 +1/2 ε - 90 ε 2 - 1/50 ε ε ε Tab Uspořádání sloupců:

18 © L&K18 Určení klíčového řádku Místo pravých stran b i dosadíme pertur- bované pravé strany b i (ε) podle (5.2) V tab. 5.7 zvolíme např. ε = 0,001: b 1 (ε) = 0, , b 2 (ε) = 0, Dělíme pravé strany b i (ε) kladnými koefi- cienty klíčového sloupce a najdeme mini- mum: t=min(0,00019/(1/4), 0,00041/(1/2)) = =min(0,00076, 0,00082)=0,00076

19 © L&K19 Postup je možno zjednodušit Hodnotu perturbované pravé strany b i (ε) není třeba počítat Vzhledem k tomu, že každý další sloupec je násoben menším číslem, má na hodno- tu b i (ε) menší vliv Stačí tedy hodnotu t počítat postupně ze seřazených sloupců tabulky Tímto způsobem je klíčový řádek vždy určen jenoznačně

20 © L&K20 Příklad 5.2 Uvažujme opět úlohu (5.1) Určete klíčový řádek ve třetí iteraci Char- nesovou perturbační metodou Zachovejte přitom seřazení sloupců podle tabulky 5.7: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7

21 © L&K21 Charnesova metoda Tab Klíčový řádek určíme ze druhého sloupce podle ?

22 © L&K22 Optimální řešení x (3) =(0; 0, 04; 1; 0; 0,03;0; 0) T, z = -0,05 V 6. iteraci vypočteme OŘ: Tab. 5. 9

23 © L&K23 3. Blandovo pravidlo Je jednodušší než Charnesova metoda: –volíme vždy první možný klíčový sloupec bez ohledu na absolutní hodnotu koeficientu z j –volíme první možný klíčový řádek –metoda byla odvozena experimentálně (zvolte manuální výpočet v systému LinPro)

24 © L&K24 Příklad 5.3 Řešte úlohu (5.1) podle Blendova pravidla Určete klíčový sloupec a klíčový řádek v páté iteraci Obvyklým způsobem (vede k zacyklení) bychom volili klíčový sloupec pátý Podle Blandova pravidla volíme první možný, tj. druhý V sedmé iteraci vypočteme optimální ře- šení

25 © L&K25 Blandovo pravidlo Tab Volíme klíčový sloupec druhý (nikoliv pá- tý)

26 © L&K26 Optimální řešení Tab Optimální řešení x (7) =(0; 0,04; 1; 0; 0,03; 0; 0) T, z = -0,05 jsme vypočetli v 7. iteraci

27 © L&K27 OBECNÉ VYJÁDŘENÍ ST Výchozí řešení 1FSM: kde je... A [m.n] matice koeficientů a ij b [m.1] vektor pravých stran b i c T [1.n] vektor cen c j E [m.m] jednotková matice Obr. 5.1 – Výchozí řešení v ST (5.3)

28 © L&K28 Báze v ST Vektory strukturních koeficientů zá- kladních proměnných v s-té iteraci tvoří bázi B s Všechny vektory strukturních koeficientů nezákladních proměnných jsou v s-té iteraci vyjádřeny jako lineární kombinace vektorů báze B s * Matice báze výchozího řešení v 1FSM je jednotková matice vektorů přídatných proměnných

29 © L&K29 Výchozí řešení Matice báze Inverzní matice báze Báze výchozího řešení Tab. 5.12

30 © L&K30 Inverzní matice báze s-té iterace Vektory báze s-té iterace najdeme ve vý- chozí simplexové tabulce ve sloupcích základních proměnných s-té iterace K matici báze B s existuje inverzní matice báze B s -1 Inverzní matice báze je v tabulce s-té iterace na místě jednotkové výchozí báze V JFSM je to ve sloupcích přídatných pro- měnných

31 © L&K31 Báze v s-té iteraci Výchozí řešení 2. iterace Matice báze 2. iterace B 2 Inverzní matice báze 2. iterace B 2 -1 Tab

32 © L&K32 Rozšířená matice báze kde je vektor cen základních proměn- ných v s-té iteraci Matice k ní inverzní: Matici báze rozšíříme o řádek účelové funkce: (5.4) (5.5)

33 © L&K33 Obecné vyjádření s-té iterace  Obr. 5.2 (5.6) Výchozí ST ve tvaru (5.3) násobíme zleva rozšířenou inverzní matici báze (5.5):

34 © L&K34 kde je: B s -1 Amatice transformovaných strukturních koeficientů B s -1 bhodnoty základních proměn- ných c B T B s -1 A - c T koeficienty z j u strukturních proměnných c B T B s -1 koeficienty z j u přídatných proměnných c B T B s -1 bhodnota účelové funkce

35 © L&K35 Např. transformovaná matice A ve druhé iteraci v tabulce 5.13 je podle vzorců na obr. 5.2: B s -1 A =. = =

36 © L&K36 Postoptimalizační analýza Obecných vzorců (5.6) můžeme využít k analýze optimálního řešení Umožňují sledovat vliv řady různých změn v původním modelu na optimální řešení To rozšiřuje možnosti LOM, který je sta- tický a deterministický Rovněž to umožňuje řadu různých experi- mentů, které by s reálným systémem ne- byly uskutečnitelné Různé možnosti probereme postupně

37 © L&K37 Přidání procesu V matematickém modelu úlohy LP to zna- mená přidat strukturní proměnnou x p Její vektor a p transformujeme: α p (s) = B s −1 a p a vypočteme koeficient z p : z p = c B T α p (s) − c p (5.7) Testujeme jeho znaménko: - je−li z p < 0, je nový proces výhodný - je-li z p < 0, není nový proces výhodný

38 © L&K38 Příklad 5.4 V tabulce 5.14 je OŘ úlohy LP z příkladu 3.1 Určete, jaký vliv bude mít na optimální řešení, jestliže se firma zavede výrobu podložek: - jedna krabička se vylisuje za 2 min., zabalí se za 1 min. Cena jedné krabičky je 50 Kč. Tab. 5.14

39 © L&K39 Přidání proměnné x 6 Transformujeme vektor a 6 : · = Vypočteme koeficient v řádce z: ? Je výroba podložek pro firmu výhodná....? Kdy bude a proč ?

40 © L&K40 Optimální řešení Optimální řešení se po přidání proměnné x 6 nezměnilo: x * =(110, 5, 0, 50, 0) T, z = 4700 Podložky by se mohly vyrábět, pokud by jejich jednotkový zisk byl alespoň 60 Kč Tab. 5.15

41 © L&K41 ANALÝZA CITLIVOSTI Analýza citlivosti stanoví meze změn, ne- boli interval stability: 1. pravých stran omezení b i 2. cenových koeficientů c j Pokud se hodnota b i nebo c j mění v těchto mezích (jednotlivě), není porušena optima- lita současného řešení Nemění se báze optimálního řešení, tj. zá- kladní proměnné

42 © L&K42 1. PRAVÉ STRANY OMEZENÍ Jednou z podmínek optimality řešení je nezápornost pravých stran Pro transformované pravé strany tedy musí platit B s −1 b ≥ 0 (5.8) Jestliže se změní některá pravá strana, může být tento vztah porušen Předpokládejme, že se změní pouze b p, tj. pravá strana v p-tém omezení

43 © L&K43 Podle podmínek nezápornosti musí být B s −1 b * ≥ 0, (5.9) kde ve vektoru b * jsou všechny složky rov- ny původním hodnotám (tedy konstanty), až na p-tou, která je rovna b p * Vztah (5.4) rozepíšeme po složkách (viz Lagová, Jablonský: Lineární modely) Dostaneme soustavu m nerovnic, které omezí hodnotu pravé strany b p *

44 © L&K44 Ze soustavy nerovnic stanovíme: − dolní mez hodnoty p-té pravé strany d p − horní mez hodnoty p-té pravé strany h p Leží-li pravá strana p-tého omezení v intervalu stability b p *   d p, h p  (5.10) není porušena primární přípustnost a tedy ani optimalita řešení Základní proměnné zůstávají tytéž, mohou se ale změnit jejich hodnoty

45 © L&K45 Příklad 5.5 Je dána úloha LP: x 1 + 2x 2 ≤ 120 x 1 + 4x 2 ≤ 180 x 1 ≤ 110 x j ≥ 0, j = 1, 2 z = 40x x 2... max. Určete intervaly stability pravých stran V tabulce 5.16 je OŘ této úlohy

46 © L&K46 Tab Odtud je OŘ Pro jaké hodnoty pravých stran zůstane toto řešení optimální ? x = ( 110, 5, 0, 50, 0) , z = 4700

47 © L&K47 1. Dosadíme z tabulky (5.14) do B s −1 b * ≥ 0: Rozepíšeme: 110 ≥ 0 1/2·b 1 − 1/2·110 ≥ 0 → b 1 ≥ 110 −2·b ≥ 0 → b 1 ≤ 145. ≥

48 © L&K48 Odtud je interval stability první pravé stra- ny: b 1 *   110, 145  Proměnné x 1, x 2 a x 4 zůstanou základní Bude-li disponibilní čas lisu alespoň 110 minut a nanejvýše 145 minut, bude pro firmu nadále optimální vyrábět šroub- ky i matice Disponibilní čas balicí linky bude stále nevyčerpán

49 © L&K49 Příklad 5.6 Řešte úlohu z předchozího příkladu za změněných podmínek: a. disponibilní čas lisu je 135 minut b. disponibilní čas lisu je 90 minut Určete, zda změna ovlivní optimalitu řeše- ní Vypočtěte nové optimální řešení Srovnejte s původním optimálním řešením Úlohu vyřešte v systému LinPro

50 © L&K50 OŘ původní úlohy Tab Interval stability pravé strany prvního omezení je b 1   110, 145 

51 © L&K51 OŘ nové úlohy: b 1 * =135 Tab Základní proměnné se nezměnily Změnil se počet KM: 12,5 (dříve 5) Snížil se zbytek času balicí linky z 50 na 20 Zvýšil se zisk na 5150 Kč

52 © L&K52 OŘ nové úlohy : b 1 * =90 Matice se vůbec nevyrábí Čas lisu se vyčerpal, na balicí lince zbývá 90 min. Počet KŠ je o 20 menší než 110 (90) Zisk se snížil na 3600 Kč Tab. 5.19

53 © L&K53 2. CENOVÉ KOEFICIENTY V OŘ maximalizační úlohy je v řádce z: c B T B s −1 A − c T ≥ 0 c B T B s −1 ≥ 0 (5.11) Změní-li se některý cenový koeficient, může být porušena optimalita řešení Koeficient z j je podle obecného vzorce: z j = c B T B s −1 a j  c j (5.12) Odtud je zřejmé, že změna ceny nezáklad- ní poměnné má na optimalitu řešení jiný vliv než změna ceny základní proměnné

54 © L&K54 1.Mění se cena nezákladní proměnné x j - změní se jedna složka vektoru c T - vektor c B T se nezmění Ze vzorce (5.13) je zřejmé, že z j * = c B T B s −1 a j − (c j + ∆c j ) = z j − ∆c j (5.13) kde ∆c j je velikost změny c j Podmínka zachování optimality řešení: z j − ∆c j ≥ 0, tj. ∆c j ≤ z j (5.14) zjzj

55 © L&K55 Odtud je zřejmé, že cena nezákladní proměnné v maximalizační úloze může klesat neomezeně Růst je omezen původní hodnotou ceny zvýšenou o z j : h j = c j + z j Interval stability ceny nezákladní proměnné v maximalizační úloze je tedy c j  ( -, h j  (5.15) ∞

56 © L&K56 2. Mění se cena základní proměnné x k - změní se vektor c B T i vektor c T Musí se přepočítat všechny koeficienty účelové funkce Novou cenu c k * dosadíme do c B T B s −1 A  c T ≥ 0 (5.15) c B T B s −1 ≥ 0 Rozepíšeme soustavu nerovnic a vypoč- teme i nterval stability ceny základní pro- měnné: c k   d k, h k  kde d k, h k jsou meze ceny c k

57 © L&K57 Příklad 5.7 Vypočtěte interval stability cen proměn- ných x 2 a x 3, je-li vektor cen strukturních proměnných c T =(10, 7, 12) V tabulce je optimální řešení úlohy LP: Tab. 5.20

58 © L&K58 1. Proměnná x 2 je nezákladní Interval stability c 2 je z tab. 5.19: c 2  ( -, = 22  Optimalita řešení nebyla porušena Zvolíme novou cenu c 2 * =20 ( ∆c 2 =13) Tab Základní proměnné ani jejich hodnota se nezměnily Nezměnila se ani hodnota z

59 © L&K59 2. Proměnná x 3 je základní sestavíme soustavu nerovnic podle (5.15): · − ≥ · ≥ kde symbol Δ označuje měnící se hodnoty c 3 Odtud je: ………………………………….. ?

60 © L&K60 Zvolíme novou hodnotu c 3 * = 30 mimo tento interval V přepočtené řádce z bude alespoň jeden koeficient záporný: Tab Je porušena optimalita řešení Nové OŘ se počítá simplexovou me- todou

61 © L&K61 KONEC


Stáhnout ppt "4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová."

Podobné prezentace


Reklamy Google