Metrické vlastnosti.  Odchylka dvou r ů znob ěž ných p ř ímek je velikost ka ž dého z ostrých nebo pravých úhl ů, které p ř ímky spolu svírají. • (R.

Prezentace na téma: "Metrické vlastnosti.  Odchylka dvou r ů znob ěž ných p ř ímek je velikost ka ž dého z ostrých nebo pravých úhl ů, které p ř ímky spolu svírají. • (R."— Transkript prezentace:

1 Metrické vlastnosti

2  Odchylka dvou r ů znob ěž ných p ř ímek je velikost ka ž dého z ostrých nebo pravých úhl ů, které p ř ímky spolu svírají. • (R ů znob ěž ky spolu „svírají“ dva úhly, v ž dy bereme ten menší.)  Odchylka dvou rovnob ěž ných p ř ímek je 0  (0 rad). • (Také bychom mohli brát úhel 180 , ale dohoda ř íká 0 .)  Odchylka dvou mimob ěž ných p ř ímek je odchylka r ů znob ěž ných p ř ímek vedených libovolným bodem prostoru rovnob ěž n ě s danými mimob ěž kami. • (Abychom mohli zjistit, jaká je odchylka mimob ěž ek, musíme z nich „ud ě lat“ r ů znob ěž ky. V ě tšinou sta č í zvolit na jedné z nich vhodný bod a v n ě m sestrojit rovnob ěž ku s druhou p ř ímkou.)

3  Dv ě p ř ímky jsou k sob ě kolmé práv ě tehdy, kdy ž jejich odchylka je 90 . • Dv ě úse č ky jsou kolmé, práv ě kdy ž le ž í na kolmých p ř ímkách.  P ř ímka a rovina jsou k sob ě kolmé práv ě tehdy, kdy ž je p ř ímka kolmá ke všem p ř ímkám roviny. • P ř ímka kolmá k rovin ě se nazývá kolmice k rovin ě. Pr ů se č ík p ř ímky a roviny je pata kolmice.  Kriterium kolmosti p ř ímky a roviny: • Je-li p ř ímka kolmá ke dv ě ma r ů znob ěž kám roviny, pak je k rovin ě kolmá.  Na záv ě r: • Daným bodem lze vést k dané rovin ě jedinou kolmici. • Daným bodem lze vést k dané p ř ímce jedinou kolmou rovinu.

4  Pro libovolné p ř ímky p, q a libovolné roviny  a  platí: • Je-li p  a q , je p  q. • Je-li p  a p  q, je q . • Je-li  p a  p, je . • Je-li p  a , je p .  Dv ě roviny jsou k sob ě kolmé práv ě tehdy, kdy ž jedna z nich obsahuje p ř ímku kolmou k druhé rovin ě.  Pravoúhlé promítání • pravoúhlý pr ů m ě t bodu • pravoúhlý pr ů m ě t p ř ímky – promítací rovina p ř ímky

5  Odchylka dvou rovin je odchylka jejich pr ů se č nic s rovinou, která je k ob ě ma rovinám kolmá.  Jsou-li roviny  a  a také  a  rovnob ěž né, pak  ≮  =  ≮ .  Není-li p ř ímka kolmá k rovin ě, je odchylka p ř ímky a roviny rovna odchylce p ř ímky a jejího pravoúhlého pr ů m ě tu do této roviny. Odchylka p ř ímky a roviny, k ní ž je kolmá, je 90  (  rad).  Pro libovolné p ř ímky p, q a libovolné roviny  a  platí: • Jestli ž e , pak  ≮ p  =  ≮ p  • Jestli ž e p  q, pak  ≮ p  =  ≮ q  • Jestli ž e  a p  q, pak  ≮ p  =  ≮ p  =  ≮ q  =  ≮ q 

6  Vzdálenost bod ů A, B je délka úse č ky AB, zna č íme ji  AB .  Vzdálenost bodu A od p ř ímky p je délka úse č ky AP, kde P je pata kolmice k vedené v rovin ě Ap bodem A k p ř ímce p. Zna č íme ji  Ap . Le ž í-li bod A na p ř ímce p, je  Ap  =0.  Vzdálenost bodu A od roviny  je vzdálenost bodu A a jeho pravoúhlého pr ů m ě tu A do roviny . Zna č íme ji  A . Le ž í-li bod A v rovin ě , je  A  =0.

7  Kritérium rovnob ěž nosti p ř ímky a roviny a rovnob ěž nosti dvou rovin • P ř ímka p je rovnob ěž ná s rovinou , jestli ž e lze na p ř ímce p najít dva r ů zné body le ž ící v tém ž e poloprostoru ohrani č eném rovinou , které mají od roviny  stejnou vzdálenost. • Dv ě roviny  a  jsou rovnob ěž né, jestli ž e lze v rovin ě  najít t ř i r ů zné body, které nele ž í v té ž e p ř ímce, ale le ž í v tém ž e poloprostoru s hrani č ní rovinou  a které mají od roviny  stejnou vzdálenost.

8  Vzdálenost dvou rovnob ěž ných p ř ímek je vzdálenost libovolného bodu jedné p ř ímky od druhé p ř ímky. Vzdálenost p ř ímek p, q zna č íme  pq .  Vzdálenost dvou rovnob ěž ných rovin je vzdálenost libovolného bodu jedné roviny od druhé roviny. Vzdálenost rovin  a  zna č íme .  Vzdálenost p ř ímky od roviny s ní rovnob ěž né je vzdálenost libovolného bodu p ř ímky od této roviny. Vzdálenost p ř ímky p a roviny  zna č íme  p .  Vzdálenost dvou mimob ěž ných p ř ímek p, q je délka úse č ky PQ, kde body P, Q jsou po ř ad ě pr ů se č íky mimob ěž ek p, q s takovou p ř í č kou mimob ěž ek, která je k ob ě ma z nich kolmá. Vzdálenost zna č íme  pq .