Kmitání antény s míčkem při konstantním zrychlení automobilu Autor: Bc. Michal Bouda Datum: Matematické modelování

2/11 Zadání úlohy Zadání úlohy:  Úkolem je vyšetřit pohyb kmitání antény s míčkem upevněné na automobilu Specifikace úlohy:  Automobil koná rovnoměrně zrychlený pohyb  Uvažuji pouze horizontální pohyb automobilu, nikoliv vertikální způsobený nerovností vozovky  Neuvažuji vliv podnebí (vítr, déšť, …)

3/11 Postup řešení  Úloha je řešena ve 3 krocích: 1.řešení samotného pohybu automobilu 2.řešení kmitání antény bez tlumení 3.řešení kmitání antény s tlumením

4/11 1. Pohyb automobilu  Dáno: m 1 … hmotnost míčku m …. hmotnost automobilu k ….. tuhost antény r …... poloměr kola automobilu I 1 …. setrvačný moment I 2 …. setrvačný moment e ….. rameno valivého odporu M H … hnací moment  pohyb automobilu je obecný – řešení rozkladem 31 =  případ čistého valení  pro výpočet použijeme metodu virtuálních prací

5/11 Virtuální práce   Práce, která je výsledkem působení všech působících sil na částici při jejím libovolném posunutí   Lze použít na vyřešení rovnováhy mechanické soustavy Matematická formulace   Pokud na i-tou částici působí síly s výslednicí, pak při virtuálním posunutí lze virtuální práci vyjádřit jako Virtuální práce vazbových sil je rovna nule  Znamená to, že musí platit rovnice: kde jsou výslednice vazbových sil i-tého hmotného bodu a jsou virtuální posunutí

6/11 1. Pohyb automobilu  Dáno: m 1 … hmotnost míčku m …. hmotnost automobilu k ….. tuhost antény r …... poloměr kola automobilu I 1 …. setrvačný moment I 2 …. setrvačný moment e ….. rameno valivého odporu M H … hnací moment  pohyb automobilu je obecný – řešení rozkladem 31 =  případ čistého valení  pro výpočet použijeme metodu virtuálních prací

7/11 2. Kmitání – bez tlumení  x 1 – absolutní pohyb (výchylka) míčku  Řešíme rozkladem obecného pohybu: 31 = … relativní pohyb (kmitání) míčku vůči karoserii s výchylkou y(t) = ? 21 … unášivý pohyb karoserie vůči vozovce Dáno: a …zrychlení automobilu m1 … hmotnost míčku k … tuhost antény počáteční podmínky:t = 0:  Platí: x 1 (t) = x(t) + y(t)  Podmínka rovnováhy:  Řešení se skládá z řešení:  homogenního  partikulárního

8/11 2. Kmitání – bez tlumení  Homogenní řešení → hledáme homogenní řešení diferenciální rovnice (tzn. s nulovou pravou stranou) …vlastní frekvence  Tvar obecného řešení odhadneme takto:  Po dosazení:  Po dosazení a úpravě: ( C1 + C2 ) … A ( C1 – C2 ) i … B  Partikulární řešení → hledáme odhadem podle pravé strany  y P musí splňovat rovnici  Výsledné řešení  Absolutní výchylka antény:

9/11 3. Kmitání – s tlumením  Postup řešení je stejný jako případ bez tlumení Dáno: a …zrychlení automobilu m 1 … hmotnost míčku k … tuhost antény počáteční podmínky:t = 0:  Platí: x 1 (t) = x(t) + y(t)  Podmínka rovnováhy:  Řešení se skládá z řešení:  homogenního  partikulárního

10/11 3. Kmitání – s tlumením  Homogenní řešení → hledáme homogenní řešení diferenciální rovnice (tzn. s nulovou pravou stranou)  Tvar obecného řešení odhadneme takto:  Po dosazení:  Po dosazení a úpravě: ( C1 + C2 ) … A ( C1 – C2 ) i … B  Partikulární řešení → hledáme odhadem podle pravé strany  y P musí splňovat rovnici  Výsledné řešení  Absolutní výchylka antény:

11/11