Kmity HRW kap. 16.

Prezentace na téma: "Kmity HRW kap. 16."— Transkript prezentace:

1 Kmity HRW kap. 16

2 kmitání = opakující se pohyb
Kmity kmitání = opakující se pohyb Příklad: výsledná síla je úměrná výchylce částice z rovnovážné polohy a orientovaná proti výchylce zrychlení je úměrné výchylce a míří proti ní

3 perioda amplituda

4 perioda T = doba, za kterou se uskuteční jeden úplný kmit = nejkratší doba, za kterou se výchylka a rychlost (nebo jiné fyzikální veličiny popisující systém) vrátí na původní hodnoty frekvence f = počet kmitů za jednu sekundu výchylka amplituda

5 Pohybová rovnice pro harmonický pohyb
je totéž jako nebo Úkol: Co můžeme říct o této rovnici? Nyní najdeme její řešení.

6 Řešení pohybové rovnice pro harmonický pohyb
Zkusme funkci Je řešením pokud rovnici lze napsat také ve tvarech: Co jsme zjistili?

7 Úkol: nakreslete graf funkce
úhlová (kruhová) frekvence počáteční fáze - posun na ose t

8 Kontrola: má řešení očekávané vlastnosti?

9 Harmonický pohyb (shrnutí)
(lineární nebo harmonický oscilátor) pohybová rovnice její řešení Částice harmonicky kmitá kolem rovnovážné polohy. Výsledná síla je úměrná výchylce částice z rovnovážné polohy a orientovaná proti výchylce. Zrychlení je úměrné výchylce a míří proti ní.

10 Použití počátečních podmínek
Řešení obsahuje 2 reálné konstanty, které určíme z počátečních podmínek. ? ? Počáteční podmínky: (příklad 16.2) Časté zvláštní případy: 1. 2.

11 (amplituda zrychlení)
?

12 Energie harmonického oscilátoru
(konstanta, lze určit pomocí počátečních podmínek)

13 Energie harmonického oscilátoru
(konstanta, lze určit pomocí počátečních podmínek) (to samozřejmě muselo vyjít)

14 Střední hodnoty energií
Střední hodnota funkce za dobu jedné periody je

15 kmitá kolem rovnovážné polohy
substituce už umíme řešit - soustava kmitá se stejnou frekvencí jako bez konstantní síly - konstantní síla pouze posune rovnovážnou polohu kmitá kolem rovnovážné polohy

16 Torzní kyvadlo

17 Matematické kyvadlo pro malé amplitudy

18 Fyzické kyvadlo pro malé amplitudy
ověření výsledku pro matematické kyvadlo:

19 (1)

20 (2) (už jsme řešili)

21 Kmitání a rovnoměrný kruhový pohyb
(fázorový diagram) rotuje úhlovou rychlostí fázor

22 Znázornění v komplexní rovině

23 Tlumené kmity pružná síla brzdná síla?

24 Tlumené kmity pohybová rovnice pružná síla brzdná síla

25 Řešení pohybové rovnice tlumeného oscilátoru
předpokládáme řešení obecné řešení: Aperiodický pohyb (silný útlum) Mezní aperiodický pohyb (kritický útlum) Tlumený harmonický kmit (slabý útlum) 3 možnosti:

26 záleží na p.p., zde např. pro
1. Aperiodický pohyb záleží na p.p., zde např. pro (tlumení) roste Platí: 1. Výchylka konverguje k rovnovážné poloze, 2. Pro konečné časy projde částice rovnovážnou polohou nejvýše jednou

27 2. Mezní aperiodický pohyb
záleží na p.p., zde např. pro Platí: 1. Výchylka konverguje k rovnovážné poloze, 2. Pro konečné časy projde částice rovnovážnou polohou nejvýše jednou 3. Návrat do rovnováhy je nejrychlejší (ve srovnání s ostatními pohyby)

28 3. Tlumený harmonický kmit
reálné, tj. nebo Výchylka konverguje k rovnovážné poloze

29 3. Tlumený harmonický kmit - kmity s frekvencí
- amplituda exponenciálně klesá Pozn.: pro velmi slabý útlum

30 3. Tlumený harmonický kmit - kmity s frekvencí
- amplituda exponenciálně klesá Pozn.: pro velmi slabý útlum

31

32 Energie slabě tlumeného oscilátoru
netlumený oscilátor tlumený oscilátor exponenciálně klesá

33

34 Nucené kmity a rezonance
b  volné a nucené kmity, tj. dvě frekvence: - vlastní frekvence  - frekvence budící síly b

35 Nucené kmity a rezonance
? b  - pružná síla - brzdná síla - budící síla Po zapnutí budící síly: pohyb je superpozicí volných kmitů (jsou tlumené) a nucených kmitů. Po dostatečně dlouhé době: volné kmity vymizí a systém přejde do ustáleného stavu (nezávisí na p.p.), tj. vykonává pouze nucené kmity. ? ?

36 Nucené kmity a rezonance
b kmitající nosník  pružná síla ? ? brzdná síla

37 Nucené kmity a rezonance
b kmitající nosník  pružná síla pohybová rovnice brzdná síla

38 amplituda výchylky amplituda rychlosti amplituda zrychlení

39 Rezonance Poloha maxima - rezonanční frekvence

40 torzní kmity hřídele Bohumil Kučera, O zjevech resonance u parníků a železnic, Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 36 (1907), No. 1, 91–100

41 Amplituda a fáze výchylky rychlosti x se opožďuje za F v předbíhá F
v se opožďuje za F

42 Krouživé kmity hřídele
rychlost těžiště úhlová rychlost (pouze označení!) výchylka ve fázi kritické otáčky výchylka v protifázi