Kmity HRW2 kap. 15 HRW kap. 16.

Prezentace na téma: "Kmity HRW2 kap. 15 HRW kap. 16."— Transkript prezentace:

1 Kmity HRW2 kap. 15 HRW kap. 16

2 kmitání = opakující se pohyb
Kmity kmitání = opakující se pohyb Příklad: výsledná síla je úměrná výchylce částice z rovnovážné polohy a orientovaná proti výchylce zrychlení je úměrné výchylce a míří proti ní

3 perioda amplituda

4 perioda T = doba, za kterou se uskuteční jeden úplný kmit = nejkratší doba, za kterou se výchylka a rychlost (nebo jiné fyzikální veličiny popisující systém) vrátí na původní hodnoty frekvence f = počet kmitů za jednu sekundu výchylka amplituda

5 Pohybová rovnice pro harmonický pohyb
je totéž jako nebo Úkol: Co můžeme říct o této rovnici? Nyní najdeme její řešení.

6 Řešení pohybové rovnice pro harmonický pohyb
Zkusme funkci Je řešením pokud rovnici lze napsat také ve tvarech: Co jsme zjistili?

7 Úkol: nakreslete graf funkce
úhlová (kruhová) frekvence počáteční fáze - posun na ose t

8 Kontrola: má řešení očekávané vlastnosti?

9 Harmonický pohyb (shrnutí)
(lineární nebo harmonický oscilátor) pohybová rovnice její řešení Částice harmonicky kmitá kolem rovnovážné polohy. Výsledná síla je úměrná výchylce částice z rovnovážné polohy a orientovaná proti výchylce. Zrychlení je úměrné výchylce a míří proti ní.

10 Použití počátečních podmínek
Řešení obsahuje 2 reálné konstanty, které určíme z počátečních podmínek. ? ? Počáteční podmínky: (příklad HRW2 15.2) Časté zvláštní případy: 1. 2.

11 (amplituda zrychlení)
?

12 Energie harmonického oscilátoru
(konstanta, lze určit pomocí počátečních podmínek)

13 Energie harmonického oscilátoru
(konstanta, lze určit pomocí počátečních podmínek) (to samozřejmě muselo vyjít)

14 Střední hodnoty energií
Střední hodnota funkce za dobu jedné periody je

15 kmitá kolem rovnovážné polohy
substituce už umíme řešit - soustava kmitá se stejnou frekvencí jako bez konstantní síly - konstantní síla pouze posune rovnovážnou polohu kmitá kolem rovnovážné polohy

16

17 [HRW2, kap. 15 úloha 69]

18 Torzní kyvadlo

19 Matematické kyvadlo pro malé amplitudy

20 Fyzické kyvadlo pro malé amplitudy
ověření výsledku pro matematické kyvadlo:

21

22 [HRW2, kap. 15 úloha 45]

23 HRW2 15/106 HRW 16/51 (1)

24 HRW2 15/106 HRW 16/51 (2) (už jsme řešili)

25

26 Kmitání a rovnoměrný kruhový pohyb
(fázorový diagram) rotuje úhlovou rychlostí fázor

27 Znázornění v komplexní rovině

28 Tlumené kmity pružná síla brzdná síla?

29 Tlumené kmity pohybová rovnice pružná síla brzdná síla

30 Tlumené kmity

31 Řešení pohybové rovnice tlumeného oscilátoru
předpokládáme řešení obecné řešení: Aperiodický pohyb (silný útlum) Mezní aperiodický pohyb (kritický útlum) Tlumený harmonický kmit (slabý útlum) 3 možnosti:

32 záleží na p.p., zde např. pro
1. Aperiodický pohyb záleží na p.p., zde např. pro (tlumení) roste Platí: 1. Výchylka konverguje k rovnovážné poloze, 2. Pro konečné časy projde částice rovnovážnou polohou nejvýše jednou

33 2. Mezní aperiodický pohyb
záleží na p.p., zde např. pro Platí: 1. Výchylka konverguje k rovnovážné poloze, 2. Pro konečné časy projde částice rovnovážnou polohou nejvýše jednou 3. Návrat do rovnováhy je nejrychlejší (ve srovnání s ostatními pohyby)

34 3. Tlumený harmonický kmit
reálné, tj. nebo Výchylka konverguje k rovnovážné poloze

35 3. Tlumený harmonický kmit - kmity s frekvencí
- amplituda exponenciálně klesá Pozn.: pro velmi slabý útlum

36 3. Tlumený harmonický kmit - kmity s frekvencí
- amplituda exponenciálně klesá Pozn.: pro velmi slabý útlum

37

38 Energie slabě tlumeného oscilátoru
netlumený oscilátor tlumený oscilátor exponenciálně klesá

39 [HRW2, kap. 15 úloha 59]

40 Nucené kmity a rezonance
b  volné a nucené kmity, tj. dvě frekvence: - vlastní frekvence  - frekvence budící síly b

41 Nucené kmity a rezonance
? b  - pružná síla - brzdná síla - budící síla Po zapnutí budící síly: pohyb je superpozicí volných kmitů (jsou tlumené) a nucených kmitů. Po dostatečně dlouhé době: volné kmity vymizí a systém přejde do ustáleného stavu (nezávisí na p.p.), tj. vykonává pouze nucené kmity. ? ?

42 Nucené kmity a rezonance
b kmitající nosník  pružná síla ? ? brzdná síla

43 Nucené kmity a rezonance
b kmitající nosník  pružná síla pohybová rovnice brzdná síla

44 Řešení pohybové rovnice nucených kmitů
(použijeme komplexní vyjádření) předpokládané partikulární řešení rovnice platí pro všechna t

45 Řešení pohybové rovnice nucených kmitů
? ?

46 amplituda výchylky amplituda rychlosti amplituda zrychlení

47 Rezonance Poloha maxima - rezonanční frekvence

48 Nucené kmity: amplituda a fáze
výchylky rychlosti x se opožďuje za F v předbíhá F v se opožďuje za F

49 [HRW2, kap. 15 úloha 63]

50 Rezonance: torzní kmity hřídele
Bohumil Kučera, O zjevech resonance u parníků a železnic, Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 36 (1907), No. 1, 91–100

51 Rezonance: Krouživé kmity hřídele
rychlost těžiště úhlová rychlost (pouze označení!) výchylka ve fázi kritické otáčky výchylka v protifázi