DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Soukromá hotelová škola Bukaschool s. r. o. Most Kmochova 1823, 434 01 Most • +420 476 706 696 • info@bukaschool.cz www.bukaschool.cz DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL   Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0227 Název projektu Bukaschool Název školy Soukromá hotelová škola Bukaschool s.r.o., Kmochova 1823, 434 01 Most Vyučovací předmět Matematika Tematický okruh Funkce Ročník 1.-4. ročník Jméno autora Ladislav Bencs Období tvorby DUM září 2012 Označení DUM VY_32_INOVACE_02LB_MOCNINNE_FUNKCE Číslo a název klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Anotace Prezentace je určená k procvičování a fixaci učiva.

Mocninné funkce V této kapitole se budeme věnovat základním poznatkům o mocninných funkcích. Konkrétně se budeme zabývat těmito poznatky: Definice mocninných funkcí Rozdělení mocninných funkcí Definiční obory Obory hodnot Grafy mocninných funkcí Vlastnosti mocninných funkcí „Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ladislav Bencs.”

Definice mocninných funkcí Def.: Mocninná funkce se nazývá každá funkce, daná ve tvaru Kde n je celé číslo různé od nuly. Obecně se dá říci, že mocninná funkce je každá funkce vyjma funkce konstantní. Protože jsme ale dříve definovali funkci lineární a funkci kvadratickou, budeme se držet definice mocninných funkcí pro exponent n různý od 0;1;2. Z této definice nám přímo vyplývá, že v této kapitole se dozvíme jak vypadá umocnění na zápornou mocninu. „Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ladislav Bencs.”

Typy mocninných funkcí Nejdříve je nutné se zamyslet nad všemi možnostmi, jak mohou mocninné funkce být rozděleny. Prvotní rozdělelní na kladné a záporné exponenty je zřejmé, nad dalším rozdělením je nutné zamyslet se nad chováním mocnin. Z dřívějška víme, že každé číslo umocněné na druhou je vždy kladné číslo. Stejné pravidlo platí pro čtvrtou mocninu, šestou mocninu, osmou mocninu atd. Můžeme tedy zobecnit, že pro každou sudou mocninu je výsledek vždy kladná hodnota. Opačně je tomu u mocnin lichých. Pro kladná čísla dostávám číslo kladné, pro číslo záporné, dostávám číslo záporné. Dostávám tedy rozdělení na funkce s kladným sudým exponentem, kladným lichým exponentem, záporným sudým exponentem a záporným lichým exponentem. „Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ladislav Bencs.”

Definiční obory mocninných funkcí Definiční obor: hodnoty, které je možné dosadit do předpisu funkce Kladné sudé funkce: Protože opět nemáme omezení pro dosazení za x (nemáme zlomek ani odmocninu), potom je Df(x)=R Kladné liché funkce: Omezení pro x opět nemáme, tudíž Záporné sudé funkce: Podle pravidla dostáváme nutnost pro jmenovatel, aby se nerovnal nule, jinak by výraz neměl smysl. Proto Df(x)=R-{0} Záporné liché funkce: Stejně jako u předchozího typu, je nutné vyloučit z definičního oboru podmínku pro jmenovatel výrazu, tudíž Df(x) =R-{0} „Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ladislav Bencs.”

Obory hodnot mocninných funkcí Obor hodnot: hodnoty, které nám mohou vyjít ve výsledku Kladné sudé funkce: Protože při mocnění na kladné sudé číslo nám vychází vždy číslo kladné (tzn. fce má minimum), potom Hf(x)=‹0;∞) Kladné liché funkce: Při tomto typu funkce nám mohou vycházet jak čísla kladná, tak čísla záporná, proto Hf(x)=R Záporné sudé funkce: Protože ve jmenovateli je mocnina kladná, tak je jisté, že hodnoty budou vždy kladné, odtud plyne Hf(x)=(0;∞) Záporné liché funkce: Ačkoliv dostáváme ve jmenovateli lichou mocninu, stále existuje hodnota, kterou funkce nikdy nabývat nebude. Z Df vyplývá, že Hf(x) =R-{0} „Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ladislav Bencs.”

Grafy mocninných funkcí Stejně jako jsme vypsali Df a Hf pro jednotlivé typy funkcí, stejně tomu bude u grafu funkcí. Grafy se liší pouze zakřivením (čím vyšší exponent, tím větší zakřivení. „Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ladislav Bencs.”

Vlastnosti mocninných funkcí Kladné sudé funkce: nejsou ani rostoucí, ani klesající jsou sudé mají minimum nebo maximum Kladné liché funkce: jsou rostoucí nebo klesající jsou liché jsou prosté Záporné sudé funkce: nejsou ani rostoucí, ani klesající mají supremum nebo infimum Záporné liché funkce: nejsou ani rostoucí, ani klesající „Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ladislav Bencs.”

Bibliografické citace Doporučenou literaturou ke studiu je: ODVÁRKO, Oldřich a kol. Matematika pro střední odborné škola a studijní obory středních odborných učilišť. 3. část. 5. vyd. Havlíčkův Brod: Prometheus, 1996. ISBN 80-7196-039-X, s. 36-41 KUBEŠOVÁ, Naděžda. Matematika- přehled středoškolského učiva. Dotisk 2. vyd. Třebíč: Petra, 2007. ISBN 978-80-86873-05-3 LUKASZH. www.wikipedia.cz [online]. [cit. 3.9.2012]. Dostupný na WWW: http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Funkcie_mocniny2.png „Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ladislav Bencs.”