Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

BRVKA Karl T.W. Weierstrass (1815 –1897). BRVKA Cílem je zjistit vlastnosti funkce a načrtnout její graf. U každé funkce budeme určovat: 1)Definiční obor.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "BRVKA Karl T.W. Weierstrass (1815 –1897). BRVKA Cílem je zjistit vlastnosti funkce a načrtnout její graf. U každé funkce budeme určovat: 1)Definiční obor."— Transkript prezentace:

1 BRVKA Karl T.W. Weierstrass (1815 –1897)

2 BRVKA Cílem je zjistit vlastnosti funkce a načrtnout její graf. U každé funkce budeme určovat: 1)Definiční obor D(f) 2)Obor hodnot R(f) 3)Omezenost (zdola, shora) 4)Paritu (sudost, lichost) 5)Periodicitu 6)Monotónnost (rostoucí resp. klesající) 7)Extrémy (lokální, globální) a inflexe 8)Konkavitu a konvexitu 9)Limity v nevlastních a významných bodech 10)Asymptoty 11)Graf

3 BRVKA Definiční obor je množina x, kterým je přiřazeno nějaké y. Zjišťujeme tedy, která x nelze do předpisu dosadit.  Nejčastěji se vyskytující jevy:  Dělení výrazem, který může být roven 0. Nulou dělit nelze, taková x z D(f) proto vyřadíme. V těchto bodech bude mít graf nejčastěji svislou asymptotu.  Logaritmus, D(logw) = R+. Zjišťujeme, kdy je w větší než 0  Sudá odmocnina. Nelze je počítat ze záporných čísel. Určíme, kdy je odmocňovaný výraz kladný. Definiční obor je množina y, která jsou přiřazena nějakému x. Místo složitého počítání z předpisu si prohlédneme výsledný graf a eventuálně dopočítáme významné body.

4  Pokud je funkce f(x) shora omezená, existuje horní mez, obor hodnot R(f) je shora omezený.  Pokud je funkce f(x) zdola omezená, existuje dolní mez d a obor hodnot R(f) je zdola omezený.  Pokud je funkce f(x) omezená, je obor hodnot R(f) omezený zdola i shora. BRVKA RR R R Z 5.přednášky - FUNKCE Výsledkem zjišťování omezenosti je jeden z údajů: omezená zdola, omezená shora, je omezená, není omezená.

5  Funkce f(x) je sudá, jestliže je graf osově souměrný podle osy y, platí f(x) = f(– x). (D(f) je také souměrný)  Funkce f(x) je lichá, jestliže je graf středově souměrný podle počátku, platí f(x) = –f(– x). (D(f) je také souměrný) Sudá Lichá BRVKA Z 5.přednášky - FUNKCE Funkce f(x) je periodická s periodou t, jestliže f(x + t) = f(x) pro všechny hodnoty x z D(f). Funkce opakuje své hodnoty po určité konečné periodě.

6 BRVKA  Zjišťujeme intervaly, ve kterých je funkce rostoucí resp. klesající. Využijeme derivaci: Věta: Pokud má funkce f(x) na intervalu I derivaci, platí: a)Je-li derivace f ´(x) > 0 na I, je na něm ROSTOUCÍ. b)Je-li derivace f ´(x) < 0 na I, je na něm KLESAJÍCÍ. Víme: Směrnice tečny ke grafu funkce f(x) v daném bodě a je rovna derivaci funkce f(x) v tomto bodě. tg α = f ´(a) Pokud je α 0 a tedy i derivace je kladná. Pokud je α > 90 o, je tg α < 0 a tedy i derivace je záporná. y x α > 90 o f ´(x) < 0 α < 90 o f ´(x) > 0

7 BRVKA  Zjišťujeme, kde má funkce minima, maxima a inflexe. Věta: Pokud má funkce f(x) v bodě a extrém, tak se derivace v tomto bodě (pokud existuje) rovná 0. f ´(x) = 0 Víme: Rostoucí funkce má kladnou derivaci, klesající funkce má zápornou derivaci. V místě, kde se mění typ monotonie, je extrém a derivace je nulová (mění se znaménko). y x α = 90 o f ´(x) = 0 α = 0 o f ´(x) = 0 Poznámka: Tam, kde je derivace nulová, je pouze bod „podezřelý“ z extrému, jednak nevíme, jestli je to minimum nebo maximum, a jednak to může být inflexe (viz dále).

8 BRVKA Bod, kde je f ´(x) = 0, ale není to maximum ani minimum. y x α = 0 o f ´(x) = 0 Základní otázka: Jak odlišit inflexe od extrémů? a) Úvahou – v inflexi nemění derivace znaménko, protože se nemění typ monotonie (na obr. je funkce rostoucí) b) Pomocí druhé derivace – kterou ještě neznáme. Laicky: když jsme mohli derivovat funkci a její derivace je také funkce, není důvod, proč bychom nemohli derivovat dál.

9  Jestliže má funkce f(x) (první) derivaci f ´(x), potom druhou derivací funkce f(x) rozumíme funkci f ´´(x), která vznikne derivováním funkce f ´(x). BRVKA Význam druhé derivace pro určování extrémů: Pokud se první derivace rovná nule f ´(x) = 0, potom: a) f ´´(x) = 0 – v x je inflexe. b) f ´(x) > 0 – v x je minimum. c) f ´(x) > 0 – v x je maximum. Úvaha: jestliže se v extrému měnila monotonie (v maximu z rostoucí na klesající, v minimu obráceně), co se mění v inflexi, pokud se vůbec něco mění.

10 Bod grafu leží NAD sečnou. BRVKA Nejlépe jsou tyto vlastnosti vidět z grafů: y x Konkávní funkce Bod grafu leží POD sečnou. y x Konvexní funkce Věta: Pokud má funkce f(x) na intervalu I druhou derivaci, pak: a)Je-li na I druhá derivace f ´´(x) < 0, je na I KONKÁVNÍ. b)Je-li na I druhá derivace f ´´(x) > 0, je na I KONVEXNÍ. Úvaha – dokončení: v inflexi se mění konkavita a konvexita.

11 BRVKA  Limity v nevlastních a důležitých bodech, což jsou krajní a vynechané body definičního oboru, můžeme počítat známým způsobem jako klasickou limitu.  Nebo můžeme použít kalkulačku a zkusíme dosadit buď hodně velké číslo pro limitu v nevlastních bodech, nebo číslo, které se moc neliší od důležitého bodu, např. místo čísla 2 dosazujeme 1,999 a 2,001, většinou to stačí. Příklady, kde to nestačí dělat nebudeme.  Pokud jste to ještě neudělali, kupte si kalkulačku.

12 BRVKA  Asymptota je přímka, ke které se graf funkce přibližuje, ale nikdy se jí nedotkne. Rozlišujeme tři druhy asymptot: 1) SVISLÉ – většinou v bodech vyloučených z definičního oboru (např. tangens), jsou vidět v grafu. 2) VODOROVNÉ – většinou u (zdola, shora) omezeného oboru hodnot. Jsou vidět v grafu nebo je určíme jako limitu v nevlastním bodě. 3) ŠIKMÉ – na rozdíl od předchozích dvou nemusí být vidět z grafu, počítáme je pomocí derivací. R

13 BRVKA Vlevo jsou asymptoty, vpravo nikoliv, porovnejte grafy. Pokud najdeme asymptotu, musí to být z našeho grafu vidět.  Asymptota je přímka, proto očekáváme předpis ve tvaru: y = Ax + B, koeficienty A a B musíme určit. Počítáme pro + ∞ a – ∞ zvlášť. Pokud limita neexistuje, není asymptota, pokud existuje, pokračujeme výpočtem B. Pokud neexistuje, není asymptota, pokud existuje, zapíšeme rovnici.

14 BRVKA Najděte všechny asymptoty funkce: Všechny asymptoty budeme určovat početně (nemáme graf). Počítáme limity pro + ∞ a – ∞ zvlášť. Pokud pro některou vyjde reálné číslo, máme vodorovnou asymptotu a šikmou už hledat nebudeme. Pokud vyjde něco jiného, hledáme šikmou asymptotu. Bod vyřazený z D(f) je 0. Určíme limitu v 0, protože se limity zleva a zprava mohou lišit, jednu si vybereme. V x = 0 je SVISLÁ asymptota. V – ∞ je VODOROVNÁ asymptota y = 1. V ∞ není žádná asymptota.

15  Najděte všechny asymptoty funkce: BRVKA  Najděte extrémy a intervaly monotonie:

16  Nakreslení grafu je zlatým hřebem programu, musíme do obrázku zapracovat všechny dříve zjištěné informace a naopak z něj nějaké nové informace získat.  Je vhodné dopočítat si některé důležité hodnoty – např. průsečíky s osami, funkční hodnoty extrémů apod. BRVKA Toto je typický výsledný graf. Musí z něj být vidět, kde je funkce konvexní nebo konkávní, kde má extrémy a především to musí být graf funkce – jednomu x je přiřazeno maximálně jedno y.

17  Vyšetřete průběhy funkcí: BRVKA

18 A to je pro dnešek vše, děkuji za pozornost. BRVKA


Stáhnout ppt "BRVKA Karl T.W. Weierstrass (1815 –1897). BRVKA Cílem je zjistit vlastnosti funkce a načrtnout její graf. U každé funkce budeme určovat: 1)Definiční obor."

Podobné prezentace


Reklamy Google