Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Limita funkce. Koncentrace 137 Cs v odpadním kanálu jaderné elektrárny se v časovém intervalu (t 1, t 2 ) řídí rovnicí c (t) = c 0 e -(t-t 0 ). V čase.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Limita funkce. Koncentrace 137 Cs v odpadním kanálu jaderné elektrárny se v časovém intervalu (t 1, t 2 ) řídí rovnicí c (t) = c 0 e -(t-t 0 ). V čase."— Transkript prezentace:

1 Limita funkce. Koncentrace 137 Cs v odpadním kanálu jaderné elektrárny se v časovém intervalu (t 1, t 2 ) řídí rovnicí c (t) = c 0 e -(t-t 0 ). V čase t 1 dojde k úniku tohoto prvku z elektrárny. Koncentrace v kanálu se zvýší na c 1 > c 0. Rozpad pak pokračuje podle vztahu c (t) = c 1 e -(t-t1) zleva zprava c 0 = 10 c 1 = 20 t 0 = 0 t 1 = 2

2 Kdyby pokračoval trend rozpadu z bodu t = 0 i v bodě t = 2, pak c (2) = 10e -2. “Prodloužení“ trendu je limita funkce v bodě t = 2 (v našem případě zleva). Kdybychom se blížili k bodu t = 2 zprava, (proti času), pak c(2) = 20 e -2. Na tomto příkladu je vidět  limita funkce v bodě je pokračování trendu funkce podle jejího chování v okolí tohoto bodu.  limita funkce v bodě nemusí být rovna funkční hodnotě v bodě. Funkce nemusí být v bodě vůbec definovaná!!  Pokud existují limity funkce v bodě zleva a zprava a obě se rovnají, pak limita znamená “přemostění“ kritického bodu podle chování funkce v okolí tohoto bodu.  Pokud existují limity funkce zleva a zprava v bodě a nerovnají se, pak nelze kritický bod “přemostit“, takže limita funkce v bodě neexistuje. Příklad y = 0.5x, x  R – {0}, y = 10 pro x = 0. [0, 0] Limita zleva se rovná limitě zprava. Podezřelou funkční hodnotu lze překlenout limitou v tomto bodě. Graf funkce “se spojí“.

3 Přesněji: ( ) Viz předchozí příklad. Body, které mohou být limitami jsou A = 0, A = 10. Vezmeme malý interval (-0.1, 0.1) v okolí bodu A = 0. Vzorem tohoto intervalu je interval na ose x tvaru (-0.2, 0.2) s “vykousnutým“ Bodem x = 0. Tyto intervaly si odpovídají ve smyslu, když x  (-0.2, 0.2) - {0}, pak y  (-0.1, 0.1). Tento postup popisuje průběh funkce v okolí bodu 0. Proto limita v bodě 0 je rovna 0. Zkusíme vzít malý interval (9.9, 10.1) v okolí bodu A = 10. Vzorem tohoto intervalu je interval (19.8,20.2), tedy interval, který neobsahuje bod x = 0. Proto A = 10 není limitou funkce v bodě 0. Ještě přesněji: Ať vezmu libovolný interval (A – , A +  ), pak existuje prstencové okolí bodu a, P = (a – , a +  )-{a} tak, že pro každé x  P je f ( x )  (A – , A +  ) ()

4 Nejpřesněji = Definice limity funkce: právě, když pro každé  > 0 existuje  > 0 tak, že když x  (a – , a +  )-{a}, pak f ( x )  (A – , A +  ). “okolí“ nekonečna jsou intervaly (k, + ∞ ), resp. (- ∞, k). právě, když pro každé  > 0 existuje k > 0 tak, že když x > k, pak f ( x )  (A – , A +  ). právě, když pro každé m > 0 existuje n > 0 tak, že když x > n, pak f ( x ) > m. právě, když pro každé  > 0 existuje  > 0 tak, že když x  (a, a +  ), pak f ( x )  (A – , A +  ). (limita v bodě a zprava – analogicky zleva)

5 Vlastnosti limit a operace s limitami.  Limita funkce nemusí existovat (viz 1. příklad přednášky).  Pokud limita existuje, pak existuje právě 1.  Pokud jednostranné limity existují a nerovnají se, pak limita funkce v tomto bodě neexistuje.  Pokud některá z jednostranných limit neexistuje, pak limita funkce v tomto bodě neexistuje.  Limita funkce v bodě existuje právě, když existují obě jednostranné limity v tomto bodě a rovnají se. Nechť existují vlastní (tj. ne nekonečné) limity Pak pokud

6 Výpočet limit Výpočty jsou založeny na asymptotických vlastnostech funkcí. = 0, n < m = a n / b n, n = m = ∞, n > m = 0, k > l = a k / b l, k = l = ∞, k < l, k - l sudé neexistuje, k < l, k-l liché

7 Příklady Protoneexistuje. neexistuje

8 Spojitost funkce. Funkce f je spojitá v bodě a  D(f) právě, když Omezenost funkce na množině. Funkce f je  omezená zdola na množině A  D( f )  existuje K tak, že pro každé x  A je f ( x )  K.  omezená shora na množině A  D( f )  existuje K tak, že pro každé x  A je f ( x )  K.  omezená na množině A  D( f )  je omezená shora a současně je omezená zdola na A. Funkce f je spojitá zleva v bodě a  D(f) právě, když Funkce f je spojitá zprava v bodě a  D(f) právě, když Funkce f je spojitá na intervalu (a, b), je-li spojitá v každém vnitřním bodě intervalu a v krajních bodech je spojitá zleva (resp. zprava). Je-li funkce f spojitá na intervalu (a, b), pak je na tomto intervalu omezená, tedy existují čísla m a M tak, že m  f (x)  M pro každé x  (a, b).

9 Příklad. Věta o střední hodnotě. Nechť f je funkce spojitá na intervalu  D( f ). Nechť f (a) < f( b ) (nebo f(a) > f(b)). Pro každé L takové, že f (a) L > f(b)), existuje alespoň jedno c  (a, b) tak, že f ( c ) = L. Příklad f ( 1 ) = -5, f ( 2 ) = 35. Existuje tedy x  (1, 2) tak, že f( x ) = 0. Víme tedy, že v tomto intervalu leží kořen polynomu. Věta o dvou policajtech. Nechť f ( x )  g ( x )  h ( x ) pro všechna x  (a, b) vyjma eventuálně x = c. Pak 

10 Postup při výpočtu limit. Počítejme. 1. a  R, f je spojitá v bodě a. Pak = f ( a ). 2.f není spojitá v bodě a,, f (a)  A, jedná se o odstranitelnou nespojitost. f se předefinuje v bodě a hodnotou A a upravená funkce je spojitá., A  B, jedná se o neodstranitelnou nespojitost neexistuje. některá z jednostranných limit neexistuje, jedná se o neodstranitelnou nespojitost, neexistuje. Poznámka. Pokud výraz f (a) je typu, je nutno použít k výpočtu limit asymptotických vlastností funkcí.

11 Příklad. Dokažte, že funkce f ( x ) = -7, x = -2 je spojitá v bodě x = funkce je v tomto bodě definovaná. 2. Funkce je tedy v bodě -2 spojitá. Funkce f = 1/x je spojitá na svém definičním oboru. V bodě x = 0 funkce spojitá není (protože tam není definovaná). Funkce f = 1/x, x  0, f (0) = 10 není spojitá na svém definičním oboru. (Bodem nespojitosti je bod x = 0.) Na množině R – {0} je f spojitá.

12 2. Vypočítejte 3. Vypočítejte Příklady. 1. Předpokládejme, že velikost populace v čase t je dána vztahem Jestliže N (0) = 10, vypočtěte limitní populační velikost, tj. limitu v +  Pro který čas t je hodnota N ( t ) rovna polovině limitní velikosti populace.


Stáhnout ppt "Limita funkce. Koncentrace 137 Cs v odpadním kanálu jaderné elektrárny se v časovém intervalu (t 1, t 2 ) řídí rovnicí c (t) = c 0 e -(t-t 0 ). V čase."

Podobné prezentace


Reklamy Google