Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Použití derivací. 1) Tečna ke grafu funkce Mějme funkci f(x), bod a z definičního oboru a bod T(a, f(a)) na grafu funkce. Protože (viz definice) derivace.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Použití derivací. 1) Tečna ke grafu funkce Mějme funkci f(x), bod a z definičního oboru a bod T(a, f(a)) na grafu funkce. Protože (viz definice) derivace."— Transkript prezentace:

1 Použití derivací. 1) Tečna ke grafu funkce Mějme funkci f(x), bod a z definičního oboru a bod T(a, f(a)) na grafu funkce. Protože (viz definice) derivace f´(a) je směrnice tečny v bodě T, je směrnicová rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě T tato: Po úpravě Př.: Derivace obecně je a v bodě a Rovnice tečny v bodě T je potompo úpravě a f(a) T t

2 Napišme rovnici tečny ke grafu dané funkce v daném tečném bodě. Jeho ypsilonová souřadnice není zadána, snadno se vypočítá, je to f(a). a) b) c) d)

3 Věta o střední hodnotě Je to věta, která popisuje chování spojitých funkcí na uzavřeném intervalu, které tam mají vlastní derivaci. V.: Mějme funkci f(x), která je spojitá na intervalu a která má vlastní derivaci v (a,b). Věta říká, že v bodě (c, f( c)) je tečna ke grafu rovnoběžná s přímkou, která spojuje body (a, f(a)) a (b, f(b)). Věta se používá v mnoha teoretických odvozeních, my ji použijeme také k jistému odvození v následujících dvou odstavcích. a b f(a) f(b) c f(c) Potom lze najít alespoň jedno tak, že platí

4 L’Hospitalovo pravidlo Je pravidlo na počítání limit pomocí derivací. Používá se na tyto případy: počítáme limitu podílu je to neurčitý výraz V.: 1) Je-li nebo 2) Je-li a přitom existuje, pak je

5 Ukážeme pomocí věty o střední hodnotě, že to platí. Ta říká neboli Vezměme si třeba případ 1) Je-li Pak jsou obě funkce spojité v bodě 0 a můžeme použít větu (b=x). a je jasné že čili můžeme psát Protože limita nezávisí na hodnotě v bodě a, můžeme položit f(a)=g(a)=0. x cda

6 Příklady: Je třeba si zapamatovat, že ačkoliv je to podíl, Když zlomek nesplňuje podmínky věty, nelze pravidlo použít, ale použitím pravidla 2 1 nederivujeme jako podíl,ale děláme podíl derivací! vyjde nesmysl!!

7 Neurčité výrazy typu se musí nějak upravit na podíl, abychom mohli pravidlo použít:

8 Monotonní funkce Již víme – jsou to funkce rostoucí, neklesající, nerostoucí a klesající. Tyto vlastnosti se poznají velice snadno pomocí derivací: V.: Má-li funkce f(x) na intervalu I derivaci, potom Ukažme si, opět pomocí věty o střední hodnotě, proč to tak je, proberme třeba případ a).

9 jestliže pro všechny dvojice x0 podle bodu a) >0>0 Tedy i f(y)-f(x)>0, neboli 0

10 Příklady. 1. Kde je rostoucí funkce D(f)=R. Vypočtěme f´(x) a rozhodněme, kdy je kladná: Funkce je tedy rostoucí v intervalu (1, ). 2. Kde je klesající funkce D(f)=R. Vypočtěme f´(x) a rozhodněme, kdy je tentokrát záporná: Funkce je tedy klesající v intervalu (-, -1). Na zbytku D(f) je tedy nerostoucí, tj. klesající. Na zbytku D(f) je proto neklesající, tj. rostoucí.

11 Je jasné z obrázku, že funkce rostoucí a klesající ne množině M jsou prosté. Je-li tedy na množině M buď f´(x)>0 nebo f´(x)<0, je funkce f(x) na množině M prostá. Máme tedy tři možnosti, jak zjistit, že nějaká funkce je prostá: z obrázku – týká se hlavně elementárních funkcí složená z prostých je prostá derivace je buď kladná nebo záporná

12 Př.: Je funkce prostá pro Obrázek funkce neznáme a není to ani funkce složená, je to součin dvou elementárních. Vypočtěme tedy derivaci: a vyšetřeme např., kdy je kladná, tedy kdy je funkce rostoucí: Nerovnost vyřešíme nejlépe graficky: Funkce je rostoucí v intervalu Interval je jeho podmnožina, čili i na něm je funkce rostoucí, 1 Z obrázku je vidět, že tedy prostá.

13 Extrémy funkcí lokálníglobální Jsou v bodech, v nichž je funkční hodnota větší nebo menší než hodnoty v jistém jejich okolí Jsou skutečně největší a nejmenší hodnoty funkce na určité množině

14 Lokální extrémy D.: Nechť a je bod z D(f) funkce f(x). Funkce má v bodě a 1)lokální maximum, jestliže můžeme najít nějaké okolí U bodu a tak, že pro všechna Je-li tato nerovnost ostrá, říká se mu ostré lokální maximum. 2) lokální minimum, jestliže můžeme najít nějaké okolí U bodu a tak, že pro všechna Je-li tato nerovnost ostrá, říká se mu ostré lokální minimum. x y 0 a f(x) f(a) x a x f(x) x y 0 UU ostré neostré minimum maximum

15 V1.: Funkce nabývá lokální extrémy buď v bodech, kde je f´(x)=0 Jsou to jediné body, podezřelé z lokálního extrému. Jinde být extrém nemůže. x y 0 tečna rovnoběžná s osou x nebo v bodech, kde f´(x) neexistuje (v hrotech).

16 V2.: Nechť a je bod, podezřelý z lokálního extrému funkce f(x). Potom: 1)Je-li funkce v některém levém okolí bodu a rostoucí a v některém pravém okolí bodu a klesající, má v bodě a ostré maximum. 2) Je-li funkce v některém levém okolí bodu a klesající a v některém pravém okolí bodu a rostoucí, má v bodě a ostré minimum. x y 0 a a aa levé okolí pravé okolí

17 V3.: Má-li funkce v bodě a, podezřelém z lokálního extrému, první a druhou derivaci (tzn. f´(a)=0), potom: 1) je-li f´´(a)<0, je v bodě a ostré maximum. 2) je-li f´´(a)>0, je v bodě a ostré minimum. Podmínka f´(a)=0 sama nestačí k tomu, aby byl v bodě a lokální extrém! Třeba funkce f(x)= má v bodě 0 derivaci rovnou nule (f´(x)= ), x y 0 konkávní konvexní ale extrém v bodě 0 není. 0

18 Příklady: 1. Najděme lokální extrémy funkce D(f)=R. D(f´)=R, derivace existuje všude, Jediné možné body, kde mohou být extrémy, jsou ty, kde je f´=0. Vyšetřeme nejprve bod x= z hlediska věty 2, Když si nakreslíme obrázek derivace, vidíme, V bodě x=1 je tedy ostré lokální minimum, b) Bod x=-1 vyšetřeme podle věty 3. v bodě x=-1 je ostré lokální maximum, tj. podívejme se, jak se funkce chová kolem tohoto bodu. na jejím grafu nejsou hroty. Tedy: f(1)=-2. f(-1)= že nalevo od bodu 1 je f´<0... funkce tam klesá, a napravo je f´>0….funkce roste.

19 2. Najděme lokální extrémy funkce D(f)=R. D(f´)=R, derivace opět existuje všude, Zase jsou jediné možné body, kde mohou být extrémy, jen ty, kde je f´=0: Protože existuje f´´a je celkem lehké ji vypočítat, použijme větu 3. v bodě x=1 je ostré lokální maximum. na jejím grafu nejsou hroty. V případě, že je f´´ složitá, je lepší použít větu 2.

20 3. Najděme lokální extrémy funkce D(f´)=R-{2}, derivace existuje všude na D(f) a jak je vidět, nikdy se nerovná 0 Lokální extrémy tedy nemá žádné. (je pořád záporná, funkce klesá na každé části D(f)). 1 2

21 Globální extrémy D.: Nechť. Funkce nabývá v bodě a globální maximum na množině M, jestliže pro všechny body množiny M platí: Přesně řečeno: Funkce nabývá v bodě a globální minimum na množině M, jestliže pro všechny body množiny M platí: Číslo f(a) se nazývá potom maximální resp. minimální hodnotou funkce f(x) na množině M, označují se. Globální extrémy funkce na množině jsou největší a nejmenší hodnoty, které funkce na množině nabývá.

22 Otázka je, kdy funkce takové hodnoty nabývá. V.: Spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývá vždy své maximální a minimální hodnoty. x y 0 M f(x) max f min f

23 Teď kde se tyto hodnoty mají hledat? V.: Spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývá svých maximálních a minimálních hodnot buď v bodech lokálních extrémů Jinde je tedy nebudeme hledat…..Možné situace jsou: f(x) max f min f x 0 M y Neexistují lokální extrémy,extrémy jsou jen na krajích x 0 M y f(x) max f min f extrémy jsou v bodech lokálních extrémů x 0 M y min f max f jeden extrém je na kraji, druhý v lokálním extrému nebo v krajních bodech intervalu. f(x)

24 Příklady: 1) Najděme globální extrémy funkce Funkce je spojitá na uzavřeném intervalu, globální extrémy existují. Proberme nejprve krajní body: f(-1)=0, Kdyby funkce neměla žádný lokální extrém, Hledejme nyní lokální extrém: V bodě 0 je tedy lokální maximum, Nyní je třeba porovnat tyto tři hodnoty: Proto je Je-li je –3<0<1. bylo by v bodě -1 maximum 0 a v bodě 2 minimum –3. pro všechny ostatní hodnoty platí M na intervalu. f(2)=-3. f(0)=1.

25 2) Najděme globální extrémy funkce na intervalu. Funkce je spojitá na uzavřeném intervalu, Proberme nejprve krajní body: f(0)=0, Hledejme nyní lokální extrém: Proto je 0 3 M globální extrémy existují. f(3)=-3/2.

26 Konvexní a konkávní funkce První derivace podává informaci o tendencích funkce – o růstu a klesání. Druhá derivace podává informaci o tvaru ( prohnutí) grafu funkce. D.: Spojitá funkce na intervalu I je konvexní, jestliže pro každou trojici bodů x

27 V.: Má-li funkce na intervalu I druhou derivaci, potom: a) je-li pro všechny body z I f´´(x)>0, je funkce konvexní b) je-li pro všechny body z I f´´(x)<0, je funkce konkávní. x yz X Z Y x yz X Z Y konvexníkonkávní

28 Příklady: a) Rozhodněme, kde je konvexní funkce Vypočtěme druhou derivaci: f´´(x)>0 pro x<0 funkce je konvexní pro záporná x. b) Rozhodněme, kde je konkávní funkce Funkce je tedy na svém D(f) konkávní. 1

29 Inflexní bod Inflexní bod je tam, kde graf funkce mění svoji křivost Druhá derivace tedy kolem tohoto bodu mění své znaménko, proto musí v něm být f´´(x)=0. D.: Spojitá funkce má v bodě (a, f(a)) inflexní bod, V.: Má-li funkce na svém D(f) třetí derivaci, pak inflexe je v bodě a, ve kterém je f´´(a)=0 a přitom f´´(x) mění kolem bodu a znaménko, tedy f´´´(a). přechází z konvexní do konkávní, nebo naopak. nebo naopak. Někdy říkáme,že v bodě a má funkce inflexi. jesliže je na nějakém intervalu (a, b) konvexní a na nějakém intervalu (c, a) je konkávní,

30 Příklad. Rozhodněme, zda má funkce na svém D(f) inflexi. Vypočteme druhou derivaci: Bod x=1 je tedy podezřelý z inflexe. Nalevo od něj je kladná, napravo záporná. Jen pro zajímavost: Podíváme-li se na graf druhé derivace (je to přímka, která protíná osu x v bodě x=1), mění jasně kolem bodu x=1 znaménko. Funkce má v bodě x=1 proto inflexi. f´´´(x)=-6 a ta se nerovná nikdy nule, což potvrzuje předešlý závěr. 6

31 Asymptoty ke grafu funkce Asymptoty jsou svislé (vertikální) v konečných bodech Asymptoty jsou přímky, k nimž se graf funkce v jistých bodech blíží. D.: Má-li funkce v některém konečném bodě alespoň z jedné strany nekonečnou limitu, má v bodě x=0 jasně svislou asymptotu. a vodorovné (horizontální) a obecné šikmé v nekonečnech. má v tomto bodě svislou asymptotu. tedy platí-li v některém bodě a alespoň jeden ze vztahů Př. Funkce

32 tedy platí-li v některém nekonečnu jeden ze vztahů Př.: Funkce má v kladném nekonečnu asymptotu y=0 a v záporném zase 0 má v tomto nekonečnu vodorovnou asymptotu. D.: Má-li funkce v některém nekonečnu konečnou limitu,

33 D.: Funkce má v některém nekonečnu obecnou asymptotu y=ax+b, jestliže v tom nekonečnu platí

34 V.: Má-li funkce v některém nekonečnu obecnou asymptotu y=ax+b, potom: Př.: Najděme obecnou asymptotu funkce l´Hospital pr. jsou-li obě limity konečné. v kladném nekonečnu.

35 Asymptota má tvar y=x.


Stáhnout ppt "Použití derivací. 1) Tečna ke grafu funkce Mějme funkci f(x), bod a z definičního oboru a bod T(a, f(a)) na grafu funkce. Protože (viz definice) derivace."

Podobné prezentace


Reklamy Google