Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová."— Transkript prezentace:

1 4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová

2 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. © Lagová, Kalčevová

3 © L&K3 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení Transformace Simplexová tabulka Přírůstek účelové funkce Alternativní OŘ

4 © L&K4 Příklad 3.1 Najděte podle základní věty LP OŘ této úlohy graficky: x 1 + 2x 2 ≤ 120 x 1 + 4x 2 ≤ 180 (3.1) x 1 ≤ 110 x j ≥ 0, j = 1, 2 z = 40x x 2... max. Kolik bude mít soustava ekvivalentních rovnic ZŘ ?

5 © L&K5 x1x1 x2x A B D C I H F G E Obrázek 3.1 − ZPŘ úlohy (3.1) Grafické řešení

6 © L&K6 Úloha má devět ZŘ, desáté je v nekoneč- nu (třetí omezení je rovnoběžné s osou x 2 ) Z nich pět je nezáporných Optimálním řešením je to ZPŘ, které má nejvyšší hodnotu účelové funkce: A: x (1) = (0, 0, 120, 180, 110) T, z = 0 B: x (2) = (0, 45, 30, 0, 110) T, z = 2700 C: x (3) = (60, 30, 0, 0, 50) T, z = 4200 D: x (4) = (110, 5, 0, 50, 0) T, z = 4700 E: x (5) = (110, 0, 10, 70, 0) T, z = 4400.

7 © L&K7 SIMPLEXOVÁ METODA Jak jsme viděli, je možno OŘ úlohy LP nalézt mezi základními přípustnými ře- šeními V praxi však vzniká zásadní problém, kterým je počet ZPŘ S rostoucím m a n roste horní hranice počtu ZPŘ velice rychle Např. pro n = 10, m = 5 je to 252 n = 100, m = 10 je větší než bilión n = 1000, m = 400 je to

8 © L&K8 Je však možné využít základní větu LP efektivněji Není třeba počítat všechna ZŘ, ale vhod- ně z nich vybírat: − pouze základní přípustná řešení − z nich vybírat jen ta, která jsou vzhle- dem k hledanému extrému „perspek- tivní“ Znamená to vlastně sledovat „cestu“, která vede přes základní přípustná ře- šení k základnímu optimálnímu řešení

9 © L&K9 Metodu odvodil a její konečnost dokázal v padesátých letech 20. století americký vědec německého původu George Ber- nard Dantzig Podle její grafické interpretace ji nazval simplexová metoda (SM) Konvexní obal n +1 bodů (n bodů a počátek) je nazýván n-rozměrný Je to tedy konvexní množina, která má počátek a konečný počet krajních bodů s i m p l e x

10 © L&K10 PRINCIP SM Najdeme jedno ze ZPŘ úlohy LP, které považujeme za výchozí řešení (VŘ) iteračního postupu Přejdeme k dalšímu ZPŘ, které má lepší hodnotu účelové funkce (v krajním případě stejnou) V konečném počtu kroků dojdeme buď: − k optimálnímu řešení − nebo k závěru, že OŘ neexistuje

11 © L&K11 VÝCHOZÍ ŘEŠENÍ SM Teoreticky může být výchozím řešením libovolné ZŘ soustavy ekvivalentních rov- nic v (2.14), které splňuje i podmínky ne- zápornosti Náhodným výběrem je však obtížné zajistit nezápornost libovolného ZŘ Zvolíme např. v (2.13) náhodně: x 2 = 0, x 4 = 0

12 © L&K12 x 1 + 2x 2 + x 3 = 120 x 1 + 4x 2 + x 4 = 180 x 1 − x 2 − x 5 = 90 x 1 + x 6 = 110 Dosadíme x 2 = 0, x 4 = 0 Základním řešením je vektor ? x = (180, 0, -60, 0, 90, -70) T Vidíme, že toto ZŘ soustavy rovnic je ne- přípustné

13 © L&K13 JEDNOFÁZOVÁ SM Nejjednodušší je nalezení výchozího řeše- ní v soustavě vlastních omezení, která ob- sahuje pouze nerovnice typu ≤ Ke každé nerovnici ≤ přičteme přídatnou proměnnou Přídatné proměnné mají jednotkový vektor koeficientů Dostaneme tak soustavu rovnic v kano- nickém tvaru ?

14 © L&K14 Položíme-li všechny strukturní proměnné rovny nule, je přídatná proměnná rovna pravé straně svého omezení Výchozím řešením je tedy vektor x (1) = (0, 0,..., 0, b 1,..., b m ) (3.2) Toto řešení má maximálně* m kladných složek (základní proměnné), tj. mini- málně n složek nulových (nezákladní pro- měnné) Podle definice je to tedy ZPŘ

15 © L&K15 Vypočtěte výchozí řešení úlohy (3.1) 1. Nerovnice vyrovnáme na rovnice: x 1 + 2x 2 + x 3 = 120 x 1 + 4x 2 + x 4 = 180 (3.3) x 1 + x 5 = 110 x j ≥ 0, j = 1, 2, …, 5 Dosadíme nulové hodnoty strukturních proměnných x 1 = 0, x 2 = 0 Vypočteme x 3 = 120, x 4 = 180 x 5 = 110 Příklad 3.2

16 © L&K16 Proměnné x 3, x 4 a x 5 jsou základní pro- měnné (bázické) Hodnota základní proměnné je rovna pravé straně omezení Proměnné x 1, x 2 jsou nezákladní (nebá- zické) Hodnota nezákladní proměnné je rovna nule Vektor x (1) = (0, 0, 120, 180, 110) T (3.4) je výchozím řešením SM

17 © L&K17 2. Upravíme účelovou funkci tak, aby všech- ny proměnné byly na levé straně, tj. anu- lujeme ji: z - 40x x 2 = 0 (3.5) Dostáváme MM v kanonickém tvaru: x 1 + 2x 2 + x 3 = 120 x 1 + 4x 2 + x 4 = 180 x 1 + x 5 = x x 2 + z = 0 x j ≥ 0, j = 1, 2, …, 5

18 © L&K18 Čtvrtou základní proměnnou je zde z Má zvláštní postavení, zůstává základní proměnnou po celou dobu výpočtu Výchozí hodnota účelové funkce je z (1) = 0 Výchozí řešení můžeme zapsat včetně této hodnoty: x (1) = (0, 0, 120, 180, 110, 0) Grafickým znázorněním výchozího řešení je bod se souřadnicemi [0,0], tj. počátek

19 © L&K19 ITERAČNÍ POSTUP Po získání výchozího řešení začíná opa- kování iterací SM Každá iterace SM má tři části: 1.test optima 2.zlepšení řešení 3.transformace Podle základní věty LP končí iterační postup v konečném počtu kroků naleze- ním OŘ nebo zjištěním, že neexistuje

20 © L&K20 1. TEST OPTIMA Položíme si otázku: Co se stane s hodnotou účelové funkce, jestliže nulovou hodnotu některé nezákladní proměnné zvýšíme? Vyjdeme z výchozího řešení (3.4): x (1) = (0, 0, 120, 180, 110) T Položíme x 1 =1 a dosadíme do anulované účelové funkce (3.5): z − 40x 1 = 0, tj. z = =40 Zvýší-li se hodnota proměnné x 1 o jednot- ku, vzroste hodnota z o 40

21 © L&K21 Položme nyní x 2 =1. Po dosazení je z − 60x 2 = 0, tj. z = 60 S růstem proměnné x 2 o jednotku vzroste hodnota z o 60 Je-li u nezákladní proměnné v anulované účelové funkci záporný koeficient, s růs- tem hodnoty této proměnné hodnota úče- lové funkce z vzroste Absolutní hodnota tohoto koeficientu ukazuje velikost přírůstku funkce z na jednu jednotku proměnné x j

22 © L&K22 2. ZLEPŠENÍ ŘEŠENÍ Zvolíme některou nezákladní proměnnou se záporným koeficientem v účelové funkci (3.5): z - 40x x 2 = 0 Je-li v účelové funkci více záporných koefi- cientů, volíme obvykle ten, který znamená nejvyšší přírůstek účelové funkce na jed- notku proměnné, tj. nejmenší koeficient Podle koeficientů v řádce z je v absolutní hodnotě (tj. nejmenší) vyšší druhý, zvo- líme tedy x 2

23 © L&K23 Tato proměnná bude mít v další iteraci kladnou hodnotu (označíme ji obecně t) V omezeních (3.4) dosadíme x 2 = t > 0 : x 1 + 2t + x 3 = 120 x 1 + 4t + x 4 = 180 (3.6) x 1 + x 5 = 110 Dosadíme x 1 = 0 a vypočteme hodnoty základních proměnných: x 3 = x 4 = (3.7) x 5 =

24 © L&K24 Z podmínek nezápornosti vyplývá: x 3 = 120 − 2t ≥ 0 x 4 = 180 − 4t ≥ 0 (3.8) x 5 = 110 − 0t ≥ 0 Odtud je ? Zvolíme nejvyšší možnou hodnotu t: t = min (60, 45) = 45 (3.9)

25 © L&K25 Dosadíme do (3.8) a vypočteme nové hod- noty základních proměnných ? x 3 = x 4 = x 5 = Vidíme, že proměnná x 4 se vynulovala, proměnné s kladnou hodnotou jsou opět tři: x (2) = (0, 45, 30, 0, 110) T Vektor x (2) je tedy ZPŘ

26 © L&K26 Co se stane, jestliže hodnotu nové základ- ní proměnné nezvolíme podle (3.9)? a. Zvolíme nejdříve t < 45 např. pro t = 30 je z (3.8) nové řešení...? Je to PŘ ? Je to ZPŘ ?

27 © L&K27 b. Zvolíme nyní t > 45 např. pro t = 50 je nové řešení ? Je to ZPŘ ? Graficky odpovídá výměně základní pro- měnné a nezákladní proměnné přechod od jednoho vrcholu konvexního polyedru ke druhému

28 © L&K28 3. TRANSFORMACE ŘEŠENÍ Novou základní proměnnou nazveme vstupující proměnná Proměnnou, jejíž hodnota se vynulovala nazveme vystupující proměnná Vstupující proměnná je v další iteraci zá- kladní, musí proto mít jednotkový vektor koeficientů Soustavu omezení i účelovou funkci bude- me transformovat Gaussovou metodou úplné eliminace Výpočet uspořádáme do tabulky

29 © L&K29 SIMPLEXOVÁ TABULKA Řádky tabulky (ST) odpovídají vlastním omezením V posledním řádku je účelová funkce Sloupce tabulky odpovídají vektorům koe- ficientů strukturních a přídatných proměn- ných Pravé strany vlastních omezení jsou po- sledním sloupcem tabulky V prvním sloupci jsou základní proměnné dané iterace

30 © L&K30 Výchozí řešení Tab. 3.1 Strukturní proměnné Přídatné proměnné Základní proměnné Hodnota účelové funkce Pravé strany Koeficienty účelové funkce Strukturní koeficienty

31 © L&K31 Ze simplexové tabulky přečteme ZPŘ: − hodnoty základních proměnných jsou rovny pravým stranám − nezákladní proměnné jsou rovny nule V tabulce 3.1 jsou základní proměnné: x 3 = 120, x 4 = 180,x 5 = 120 Nezákladní proměnné jsou: x 1 = 0, x 2 = 0 Vektor výchozího řešení je: x (1) =(0, 0, 120, 180, 120), z (1) =0 Grafickým znázorněním je bod A

32 © L&K32 x2x2 1 x x 2  120 x 1  x x 2  180 [110,5] [110,0][120,0] [60,30] [0,0] [0,45] [0,60] x1x1 „Pan Simplex“ přichází A C B D E Obrázek 3.2 − Výchozí ZPŘ

33 © L&K33 1. Test optima a určení vstupující proměnné Najdeme nejmenší koeficient v řádce z: a. je-li nezáporný, není možno zvýšit hodnotu účelové funkce: → OŘ b. je-li záporný, nalezli jsme proměnnou, která zlepší hodnotu účelové funkce: → vstupující proměnná Sloupec této proměnné označíme jako klíčový sloupec

34 © L&K34 Tab. 3.2 Klíčový sloupec Nejmenší koeficient v řádce účelové funkce je −60: vstupující proměnnou je x 2, klíčový sloupec je druhý

35 © L&K35 2. Určení vystupující proměnné Tabulku rozšíříme o další sloupec, který označíme symbolem t Vypočteme podíly pravých stran b i a klad- ných koeficientů klíčového sloupce a za- píšeme do sloupce t Najdeme nejmenší z vypočtených podílů Určíme tak vystupující proměnnou a klíčový řádek

36 © L&K36 Klíčový řádek x 3 = 120 − 2.t ≥ 0 → t =120/2 = 60 x 4 = 180 − 4.t ≥ 0 → t = 180/4 = 45 Pro x 5 hodnotu t neurčujeme Vystupující proměnnou je x 4, klíčový řá- dek je druhý Tab. 3.3

37 © L&K37 Klíčový prvek Tab. 3.4 Na průsečíku klíčového sloupce a klíčového řádku leží klíčový prvek Tabulku transformujeme metodou úplné eliminace tak, aby v klíčovém sloupci byl jednotkový vektor s jedničkou na místě klíčového prvku

38 © L&K38 3. TRANSFORMACE ŘEŠENÍ 1. V klíčovém řádku zapíšeme proměnnou x 2 2. Klíčový řádek dělíme 4 3. Násobíme ho (-2) a připočteme k 1. řádku 4. Třetí řádek opíšeme 5. Klíčový řádek násobíme (-60) a přičteme k účelové funkci Novým řešením je vektor x (2) =(0, 45, 30, 0, 110), z (2) =2700 Grafickým znázorněním je bod B

39 © L&K39 Transformace tabulky Tab. 3.5  

40 © L&K40 x2x2 1 x x 2  120 x 1  x x 2  180 [110,5] [110,0][120,0] [60,30] [0,0] [0,45] [0,60] x1x1 „Pan Simplex“ začíná vyrábět A C B D E Obrázek 3.3 − 2. iterace

41 © L&K41 Zlepšení řešení Tab. 3.6 Řešení v tabulce 3.6 x (2) =(0,45,30,0,110) T,z=2700 není optimální Vstupující proměnná je x 1 Vystupující proměnná je x 3 ? - odvoďte Proměnné x 1 x 2 x 3 x 4 x 5  i t x 3 1/ / x 2 1/ x z j

42 © L&K42 Transformace tabulky Tab. 2.9 V tabulce 3.7 je řešení x (3) =(60, 30, 0, 0, 50) T,z = 4200 Grafickým znázorněním je vrchol C Proměnné x 1 x 2 x 3 x 4 x 5  i t x x x / x z j Tab. 3.7

43 © L&K43 x2x2 1 x x 2  120 x 1  x x 2  180 [110,5] [110,0][120,0] [60,30] [0,0] [0,45] [0,60] x1x1 „Pan Simplex“ zvyšuje zisk A C B D E Obrázek 3.4 − 3. iterace

44 © L&K44 Zlepšení řešení Tab. 2.9 Řešení v tabulce 3.8 x (3) =(60, 30, 0, 0, 50) T,z = 4200 není optimální Vstupující proměnná je ? Vystupující proměnná je ? Proměnné x 1 x 2 x 3 x 4 x 5  i t x x x / x z j Tab. 3.8

45 © L&K45 Transformace tabulky Tab Test optima: v řádce účelové funkce není žádný záporný koeficient. Řešení v tabulce 3.9 je optimální: x (4) = (110, 5, 0, 50, 0) T, z = Grafickým znázorněním je bod D Tab

46 © L&K46 x2x2 OPTIMUM 1 x x 2  120 x 1  x x 2  180 [110,5] [110,0][120,0] [60,30] [0,0] [0,45] [0,60] x1x1 „Pan Simplex“ nachází optimum A C B D E Obrázek 3.6 − OŘ

47 © L&K47 Ekonomická interpretace OŘ V (3.1) jsme z úlohy LP v příkladu 1.1 vy- nechali třetí omezení, ostatní interpretace se nemění Z tab. 3.9 přečteme vektor OŘ: x (4) = (110, 5, 0, 50, 0) T, z = 4700 Firma bude vyrábět 110 krabiček šroubků a 5 krabiček matic Čas lisu je celý využit, balicí linka má 50 minut volných, počet KŠ je přesně 110 Maximální zisk je 4700 Kč

48 © L&K48 Verifikace OŘ Všechny podmínky modelu jsou splněny: 1. Spotřeba času lisu nepřekročí 120 min. 2. Balení spotřebuje jen 130 min. 3. Počet krabiček šroubků dosáhne horní hranice 110

49 © L&K49 PŘÍRŮSTEK z Rozdíl mezi novou a původní hodnotou účelové funkce: ∆z = − z j. t (3.10) je absolutní přírůstek * účelové funkce Je dán součinem dvou veličin: –jednotkovým přírůstkem účelové funkce ( koeficient z j * (násobený -1)) –maximální možnou velikostí vstupující proměnné (t)

50 © L&K50 Příklad 3.3 Zopakujeme: V tabulce 3.2 jsme vybrali v první iteraci vstupující proměnnou x 2 : Absolutní přírůstek účelové funkce je ?

51 © L&K51 Přírůstek účelové funkce přinese i pro- měnná x 1 Jednotkový přírůstek je ? Proměnná x 1 může nabýt hodnoty ? Celkový přírůstek účelové funkce je ? Vidíme, že proměnná x 1 přinese větší pří- růstek účelové funkce

52 © L&K52 Výpočet v LinPro Tab Jako klíčový sloupec vybereme první, vstu- pující proměnná je x 1

53 © L&K53 2. iterace Tab Vstupující proměnná je x 2

54 © L&K54 3. iterace Tab Ve třetí iteraci jsme našli OŘ ?

55 © L&K55 x2x2 OPTIMUM 1 x x 2  120 x 1  x x 2  180 [110,5] [110,0][120,0] [60,30] [0,0] [0,45] [0,60] x1x1 „Pan Simplex“ jde jinudy A C B D E Obrázek 3.7 − „Jiná cesta“

56 © L&K56 ALTERNATIVNÍ OŘ Jakou hodnotu má koeficient z j u nezá- kladní proměnné x j v OŘ * ? a. z j > 0:  s růstem hodnoty x j se hod- nota z sníží b. z j = 0:  s růstem hodnoty x j se hod- nota z nezmění - zvolíme-li proměnnou x j jako vstupu- jící, dostaneme v další iteraci jiné OŘ - tzv. alternativní OŘ

57 © L&K57 Nové OŘ má stejnou hodnotu účelové funkce Má ale jiné základní proměnné Víme, že v tomto případě je OŘ nekoneč- ně mnoho Jak je vypočteme ? Takto vypočtené OŘ není základní, pouze přípustné

58 © L&K58 Příklad 3.4 Uvažujme kapacitní problém (3.1) x 1 + 2x 2 ≤ 120 x 1 + 4x 2 ≤ 180 x 1 ≤ 110 x j ≥ 0, j = 1, 2 s novou účelovou funkcí * z = 40x x 2... max. Simplexovou metodou vypočteme OŘ

59 © L&K59 OŘ v LinPro Tab Řešení v tabulce je optimální: x (3) =(60, 30, 0, 0, 50) T, z = 4800 U nezákladní proměnné x 4 je z 4 = 0  AOŘ Přejdeme k ručně řízenému výpočtu

60 © L&K60 Ručně řízený výpočet Tab Zvolíme klíčový sloupec čtvrtý, klíčový řádek třetí Transformujeme řešení

61 © L&K61 AOŘ Tab V  tabulce je AOŘ: x (4) = (110, 5, 50, 0, 0) T, z = 4800 U nezákladní proměnné x 5 je koeficient z 5 = 0

62 © L&K62 Optimálním řešením je i každá konvexní kombinace dosud vypočtených OŘ Např.: x (5) = 1/3 x (3) + 2/3 x (4) = = 1/3 (60, 30, 0, 0, 50) T + + 2/3 (110, 5, 0, 50, 0) T = = (93 1/3, 13 1/3, 0, 33 1/3, 16 2/3) z (5) = 93 1/ /3. 80 = 4800 Je toto OŘ základní ?

63 © L&K63 x2x2 OPTIMUM 1 x x 2  120 x 1  x x 2  180 [110,5] [110,0][120,0] [60,30] [0,0] [0,45] [0,60] x1x1 „Pan Simplex“ a jiná funkce zisku A C B D E OPTIMUM Obrázek 3.8 − Alternativní OŘ F  OPTIMUM

64 © L&K64 KONEC


Stáhnout ppt "4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová."

Podobné prezentace


Reklamy Google