Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Diskrétní matematika Opakování - příklady. Příklad 1 Nalezněte kostru následujícího grafu Kruskalovým algoritmem. 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Diskrétní matematika Opakování - příklady. Příklad 1 Nalezněte kostru následujícího grafu Kruskalovým algoritmem. 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10."— Transkript prezentace:

1 Diskrétní matematika Opakování - příklady

2 Příklad 1 Nalezněte kostru následujícího grafu Kruskalovým algoritmem. 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5

3 Kruskalův algoritmus: Opakuj následující kroky, dokud je to možné: Z hran grafu G, které dosud nebyly vybrány, vyber nejkratší hranu, která nevytváří žádnou kružnici s hranami již vybranými. Množina vybraných hran je kostrou grafu G, která je navíc minimální 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5

4 Kruskalův algoritmus: Opakuj následující kroky, dokud je to možné: Z hran grafu G, které dosud nebyly vybrány, vyber nejkratší hranu, která nevytváří žádnou kružnici s hranami již vybranými. Množina vybraných hran je kostrou grafu G, která je navíc minimální 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5

5 Kruskalův algoritmus: Opakuj následující kroky, dokud je to možné: Z hran grafu G, které dosud nebyly vybrány, vyber nejkratší hranu, která nevytváří žádnou kružnici s hranami již vybranými. Množina vybraných hran je kostrou grafu G, která je navíc minimální 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5

6 Kruskalův algoritmus: Opakuj následující kroky, dokud je to možné: Z hran grafu G, které dosud nebyly vybrány, vyber nejkratší hranu, která nevytváří žádnou kružnici s hranami již vybranými. Množina vybraných hran je kostrou grafu G, která je navíc minimální 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5

7 Kruskalův algoritmus: Opakuj následující kroky, dokud je to možné: Z hran grafu G, které dosud nebyly vybrány, vyber nejkratší hranu, která nevytváří žádnou kružnici s hranami již vybranými. Množina vybraných hran je kostrou grafu G, která je navíc minimální 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5

8 Kruskalův algoritmus: Opakuj následující kroky, dokud je to možné: Z hran grafu G, které dosud nebyly vybrány, vyber nejkratší hranu, která nevytváří žádnou kružnici s hranami již vybranými. Množina vybraných hran je kostrou grafu G, která je navíc minimální 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5

9 Kruskalův algoritmus: Opakuj následující kroky, dokud je to možné: Z hran grafu G, které dosud nebyly vybrány, vyber nejkratší hranu, která nevytváří žádnou kružnici s hranami již vybranými. Množina vybraných hran je kostrou grafu G, která je navíc minimální 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5

10 Kruskalův algoritmus: Opakuj následující kroky, dokud je to možné: Z hran grafu G, které dosud nebyly vybrány, vyber nejkratší hranu, která nevytváří žádnou kružnici s hranami již vybranými. Množina vybraných hran je kostrou grafu G, která je navíc minimální 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5

11 Kruskalův algoritmus: Opakuj následující kroky, dokud je to možné: Z hran grafu G, které dosud nebyly vybrány, vyber nejkratší hranu, která nevytváří žádnou kružnici s hranami již vybranými. Množina vybraných hran je kostrou grafu G, která je navíc minimální 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5

12 Kruskalův algoritmus: Opakuj následující kroky, dokud je to možné: Z hran grafu G, které dosud nebyly vybrány, vyber nejkratší hranu, která nevytváří žádnou kružnici s hranami již vybranými. Množina vybraných hran je kostrou grafu G, která je navíc minimální 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5

13 Kruskalův algoritmus: Opakuj následující kroky, dokud je to možné: Z hran grafu G, které dosud nebyly vybrány, vyber nejkratší hranu, která nevytváří žádnou kružnici s hranami již vybranými. Množina vybraných hran je kostrou grafu G, která je navíc minimální 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5

14 Kruskalův algoritmus: Opakuj následující kroky, dokud je to možné: Z hran grafu G, které dosud nebyly vybrány, vyber nejkratší hranu, která nevytváří žádnou kružnici s hranami již vybranými. Množina vybraných hran je kostrou grafu G, která je navíc minimální 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5

15 Kruskalův algoritmus: Opakuj následující kroky, dokud je to možné: Z hran grafu G, které dosud nebyly vybrány, vyber nejkratší hranu, která nevytváří žádnou kružnici s hranami již vybranými. Množina vybraných hran je kostrou grafu G, která je navíc minimální 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5

16 Kruskalův algoritmus: Opakuj následující kroky, dokud je to možné: Z hran grafu G, které dosud nebyly vybrány, vyber nejkratší hranu, která nevytváří žádnou kružnici s hranami již vybranými. Množina vybraných hran je kostrou grafu G, která je navíc minimální 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 5 7 1 6 7 10 5 1 3 7 5 6 3

17 Příklad 2 Nalezněte nejkratší cestu v grafu z bodu 1 do bodu 14 Dijkstrovým algoritmem 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5

18 Dijkstrův algoritmus Výchozí vrchol označíme hodnotou 0 a ostatní vrcholy označíme hodnotou 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5 0

19 Z vrcholu 1 se můžeme dostat do vrcholů 2 a 4 a to: do vrcholu 2 za 5 jednotek a do vrcholu 4 za 6 jednotek. Zapíšeme to do grafu. 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5 0 6 5

20 Nyní vezmeme nejmenší vrchol, který jsme ještě neměli a změníme vzdálenosti do jeho sousedů 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5 0 6 5

21 Vezmeme další nejmenší vrchol, který jsme ještě neměli a změníme vzdálenosti do jeho sousedů 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5 0 6 5 16

22 Vezmeme další nejmenší vrchol, který jsme ještě neměli a změníme vzdálenosti do jeho sousedů 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5 0 6 5 16 17

23 Vezmeme další nejmenší vrchol, který jsme ještě neměli a změníme vzdálenosti do jeho sousedů 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5 0 6 5 16 17 19

24 Vezmeme další nejmenší vrchol, který jsme ještě neměli a změníme vzdálenosti do jeho sousedů 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5 0 6 5 16 17 19 20

25 Vezmeme další nejmenší vrchol, který jsme ještě neměli a změníme vzdálenosti do jeho sousedů 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5 0 6 5 16 17 19 20 29 20 26

26 Vezmeme další nejmenší vrchol, který jsme ještě neměli a změníme vzdálenosti do jeho sousedů. Pokud máme 2 nejmenší vrcholy – vybereme libovolný z nich 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5 0 6 5 16 17 19 20 26 20 26 30 29

27 Další nejnižší hodnota je hodnota 21 v cílovém vrcholu, algoritmus tedy můžeme ukončit. 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5 0 6 5 16 17 19 20 26 20 26 30 25 21

28 Nalezení nejkratší cesty: Postupujeme od cíle a hledáme cestu tím, že od hodnoty posledního vrcholu odčítáme vzdálenosti mezi ním a jeho sousedy. Tam kde se výsledek rovná hodnotě sousedního vrcholu vede nejkratší cesta 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5 0 6 5 16 17 19 20 26 20 26 30 25 21

29 Nalezení nejkratší cesty: 21 – 9 = 25 21 – 1 = 20 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5 0 6 5 16 17 19 20 26 20 26 30 25 21

30 Nalezení nejkratší cesty: 20 – 5 = 25 20 – 3 = 17 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5 0 6 5 16 17 19 20 26 20 26 30 2525 21

31 Nalezení nejkratší cesty: 17 –10 = 16 17 – 7 = 10 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5 0 6 5 16 17 19 20 26 20 26 30 2525 21

32 Nalezení nejkratší cesty: 10 – 10 = 6 10 – 5 = 5 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5 0 6 5 16 17 19 20 26 20 26 30 2525 21

33 Nalezení nejkratší cesty: 5 – 5 = 0 Nalezli jsme nejkratší cestu v grafu z vrcholu 1 do vrcholu 14 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10 3 5 7 1 6 7 9 9 5 1 3 7 5 0 6 5 16 17 19 20 26 20 26 30 2525 21

34 Příklad 3 Obarvěte následující graf metodou nezávislých množin 2134 56 10 8 9 7

35 Metoda nezávislých množin: -do grafu zapíšeme stupně jednotlivých vrcholů -vrcholy můžeme seřadit: a) náhodně b) seřadit vzestupně podle stupně c) volíme vrchol s aktuálně nejmenším stupněm 2 2 34 43 4 4 4 2 2134 56 10 8 9 7

36 Metoda nezávislých množin: -Zvolíme řazení vrcholů možností : b) seřadit vzestupně podle stupně tedy: 1 6 7 2 5 3 4 8 9 10 2 2 34 43 4 4 4 2 2134 56 10 8 9 7

37 Metoda nezávislých množin: -Zvolíme řazení vrcholů možností : b) seřadit vzestupně podle stupně 1 6 7 2 5 3 4 8 9 10 Mějme barvy: 1 2 3 4 2 2 34 43 4 4 4 2 2134 56 10 8 9 7

38 Hledáme první nezávislou množinu. Do první nezávislé množiny začleníme vrchol 1. 1 6 7 2 5 3 4 8 9 10 2 2 34 43 4 4 4 2 2 1 34 56 10 8 9 7

39 Vrcholy 2 a 8 nemůžeme přiřadit do první nezávislé množiny. Další vrchol, který lze přiřadit do první nezávislé množiny je vrchol 6. 1 6 7 2 5 3 4 8 9 10 2 2 34 43 4 4 4 2 2 1 34 56 10 8 9 7

40 Vrcholy 5 a 10 nemůžeme přiřadit do první nezávislé množiny. Další vrchol, který lze přiřadit do první nezávislé množiny je vrchol 7. 1 6 7 2 5 3 4 8 9 10 2 2 34 43 4 4 4 2 2 1 34 56 10 8 9 7

41 Vrcholy 3 a 4 nemůžeme přiřadit do první nezávislé množiny. Další vrchol, který lze přiřadit do první nezávislé množiny je vrchol 9. 1 6 7 2 5 3 4 8 9 10 2 2 34 43 4 4 4 2 2 1 34 56 10 8 9 7

42 Dostali jsem první nezávislou množinu, kterou nyní můžeme obarvit první barvou a to barvou modrou. 1 6 7 2 5 3 4 8 9 10 2 2 34 43 4 4 4 2 2 1 34 56 10 8 9 7

43 Nyní hledáme druhou nezávislou množinu. Do druhé nezávislé množiny začleníme vrchol 2. 2 5 3 4 8 10 2 2 34 43 4 4 4 2 2 1 34 56 10 8 9 7

44 Vrcholy 3 a 8 nemůžeme přiřadit do druhé nezávislé množiny. 2 5 3 4 8 10 2 2 34 43 4 4 4 2 21 34 56 10 8 9 7

45 Další vrchol, který lze přiřadit do druhé nezávislé množiny je vrchol 5. Vrcholy 4 a 10 nemůžeme přiřadit do druhé nezávislé množiny. 2 5 3 4 8 10 2 2 34 43 4 4 4 2 2 1 34 56 10 8 9 7

46 Dostali jsem druhou nezávislou množinu, kterou nyní můžeme obarvit druhou barvou a to barvou červenou. 2 5 3 4 8 10 2 2 34 43 4 4 4 2 2 1 34 56 10 8 9 7

47 Nyní hledáme třetí nezávislou množinu. Do třetí nezávislé množiny začleníme vrchol 3. Vrchol 8 nemůžeme přiřadit do třetí nezávislé množiny. 3 4 8 10 2 2 34 43 4 4 4 2 2 1 34 56 10 8 9 7

48 Do třetí nezávislé množiny začleníme vrchol 4. Vrchol 10 nemůžeme přiřadit do třetí nezávislé množiny. 3 4 8 10 2 2 34 43 4 4 4 2 2 1 3 4 56 10 8 9 7

49 Dostali jsem třetí nezávislou množinu, kterou nyní můžeme obarvit třetí barvou a to barvou černou. 3 4 8 10 2 2 34 43 4 4 4 2 2 1 3 4 56 10 8 9 7

50 Nyní hledáme čtvrtou nezávislou množinu. Do čtvrté nezávislé množiny začleníme vrchol 8. 8 10 2 2 34 43 4 4 4 2 2 1 3 4 56 10 8 9 7

51 Do čtvrté nezávislé množiny začleníme vrchol 10. 8 10 2 2 34 43 4 4 4 2 2 1 3 4 56 10 8 9 7

52 Dostali jsem čtvrtou nezávislou množinu, kterou nyní můžeme obarvit čtvrtou barvou a to barvou zelenou. Nyní máme graf obarvený. 8 10 2 2 34 43 4 4 4 2 2 1 3 4 56 10 8 9 7

53 Příklad 4 K následujícímu grafu nalezněte duální graf 2134 56 10 8 9 7

54 Duální graf je takový graf, jehož vrcholy odpovídají stěnám původního grafu a hrany vedou mezi každou dvojicí stěn, které sdílejí společnou hranu. 2134 56 10 8 9 7

55 Duální graf


Stáhnout ppt "Diskrétní matematika Opakování - příklady. Příklad 1 Nalezněte kostru následujícího grafu Kruskalovým algoritmem. 1 2 3 45 6 7 9 8 10 11 12 13 14 6 10."

Podobné prezentace


Reklamy Google