ČÍSLO PROJEKTU ČÍSLO MATERIÁLU NÁZEV ŠKOLY AUTOR TÉMATICKÝ CELEK CZ.1.07/1.5.00/34.0423 ČÍSLO MATERIÁLU DUM3- Variace bez opakování – příklady. NÁZEV ŠKOLY Střední škola a Vyšší odborná škola cestovního ruchu, Senovážné náměstí 12, České Budějovice 370 01 AUTOR PaedDr.Alena Chalupová TÉMATICKÝ CELEK Kombinatorika ROČNÍK 2.-nástavbové studium, 4.-HŠ DATUM TVORBY Listopad 2013 Střední škola a Vyšší odborná škola cestovního ruchu, Senovážné náměstí 12, České Budějovice 370 01

Anotace: Prezentace Metodické pokyny: obsahuje ukázkově řešené příklady k procvičení učiva o variacích bez opakování Metodické pokyny: materiál slouží k procvičení a opakování učiva o variacích bez opakování

Variace bez opakování-příklady. Kombinatorika Variace bez opakování-příklady.

Variace bez opakování. V(k,n) = n.(n-1).(n-2).(n-3)….(n-k+1) Variace k-té třídy z n prvků bez opakování jsou takové uspořádané k-tice z n prvků, v nichž se každý prvek vyskytuje nejvýše jednou ( k n). značíme V(k,n) nebo Vk(n) Počet takových variací počítáme ze vzorce V(k,n) = n.(n-1).(n-2).(n-3)….(n-k+1)

Příklad 1-zadání: Kolik existuje 6-místných telefonních čísel s různými číslicemi? Kolik z nich začíná „7“ ? Kolik z nich je dělitelných „25“ ? Kolik z nich je dělitelných „25“ a začíná „7“ ?

Příklad 1-řešení a),b): a) n =10 …..počet číslic k = 6 …..záleží na pořadí, neopakují se, 0 nesmí být na začátku V(6,10) - V(5,9) =10.9.8.7.6.5 - 9.8.7.6.5 = = 136 080 telefonních čísel b) k 7 přidáme uspořádanou pětici vytvořenou z 9 číslic V(5,9) = 9.8.7.6.5 = 15 120

Příklad 1-řešení c),d): c) Číslo je dělitelné 25, když končí na dvojčíslí 00, 25, 50 nebo 75. Dvojčíslí 00 nevyhovuje (číslice se opakuje) před každé zbývající dvojčíslí vložíme uspořádanou čtveřici vytvořenou z 8 číslic 3 . V(4,8) = 3.8.7.6.5 = 5040 d) 7 na začátku, na konci dvojčíslí 25 nebo 50 (75 už nelze) 2 . V(3,7) = 2.7.6.5 = 420

Příklad 2-zadání: Kolik přirozených čísel s různými číslicemi menších než 500 lze zapsat pomocí číslic 4, 5, 6 a 7 ?

Příklad 2-řešení: Čísla jednociferná ..… V(1,4) = 4 Čísla dvojciferná….. V(2,4) = 4.3 =12 Čísla trojciferná, ale pouze se 4 na začátku… V(2,3) = 3.2 = 6 Celkem je 4 + 12 + 6 = 22 čísel

Příklad 3-zadání: Zvětšíme-li počet prvků o jeden, zvětší se počet variací 2. třídy bez opakování o 16. Určete původní počet prvků.

Příklad 3-řešení: Původní počet prvků….n V(2,n) Nový počet prvků…. n+1 V(2,n+1) o 16 víc V(2,n) + 16 = V(2,n+1) n.(n-1) + 16 = (n+1).n n2 - n + 16 = n2 + n 16 = 2n n = 8 Původní počet prvků byl 8.

Příklad 4-zadání: Určete počet všech nejvýše čtyřciferných čísel, v jejichž zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou.

Příklad 4-řešení: Nejvýše čtyřciferná jsou čísla, kde n =10; k = 1, 2, 3 nebo 4, ale musíme odečíst čísla začínající 0 V(1,10) + V(2,10) - V(1,9) +V(3,10) -V(2,9) +V(4,10) -V(3,9) = 10+10.9-9+10.9.8-9.8+10.9.8.7-9.8.7 = 5275

Příklad 5-zadání: Ve třídě se vyučuje 12 předmětů, denně je na rozvrhu 6 hodin, každý předmět pouze 1x. a) Kolik rozvrhů lze sestavit na 1 den? b) V kolika z nich je matematika 1.hodinu? c) V kolika z nich je matematika ?

Příklad 5-řešení: a) V(6,12) = 12.11.10.9.8.7 = 665 280 b) 1. hod je MAT, tzn. sestavujeme rozvrh na zbývajících 5 hodin z 11 předmětů V(5,11) = 11.10.9.8.7 = 55 440 c) MAT může být 1. až 6. hodinu, tj. 6 . 55 440 = 332 640 různých rozvrhů

Příklad 6-zadání: Ve výboru sportovního klubu je 6 mužů a 4 ženy. a) Kolika způsoby si mohou rozdělit 4 funkce (předseda, místopředseda, jednatel, pokladník)? Kolika způsoby to mohou udělat, pokud předseda má být muž a místopředseda žena nebo naopak? c) Kolika způsoby to mohou udělat, pokud žena má zastávat pouze 1z funkcí?

Příklad 6-řešení: Ve výboru sportovního klubu je 6 mužů a 4 ženy (celkem 10 lidí) a) V(4,10) = 10.9.8.7 = 5 040 b) (6 .4 .8. 7) . 2 = 1 344.2 = 2 688 m ž nebo naopak c) (4. 6. 5. 4) . 4 = 480.4 = 1 920 ž m m m 4 různé funkce

Příklad 7-zadání: Z kolika lze vytvořit 240 dvojčlenných variací bez opakování?

Příklad 7-řešení: V(2,n) = 240 n.(n-1) = 240 n2 - n - 240 = 0…řešíme kvadratickou rovnici D = 1 – 4.(-240) = 961 n1 = 16 n2 = -15N Hledané číslo je n = 16.

Příklad 8-zadání: Kolik prvků musí mít množina, aby počet čtyřčlenných variací bez opakování byl 2x větší než počet tříčlenných variací bez opakování ?

Příklad 8-řešení: V(3,n) .2 = V(4,n) n.(n-1).(n-2) .2 = n.(n-1).(n-2).(n-3) 2 = n-3 n = 5 Množina musí mít 5 prvků.

Příklad 9-zadání: Množina M = a, b, c, d . Určete počet všech variací 3. třídy bez opakování a vypište je.

Příklad 9-řešení: M = a, b, c, d  V(3,4) = 4.3.2 = 24 abc abd acd bcd acb adb adc bdc bac bad dac dbc bca bda dca dcb cab dab cad cbd cba dba cda cdb

Použitá literatura: Vlastní archiv autora CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 251 s. ISBN 80-719-6109-4. JIRÁSEK, František. Sbírka úloh z matematiky: pro SOŠ a studijní obory SOU. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1989, 479 s. Učebnice pro střední školy (Státní pedagogické nakladatelství). ISBN 80-042-1341-3.

Děkuji za pozornost.