ČÍSLO PROJEKTU ČÍSLO MATERIÁLU NÁZEV ŠKOLY AUTOR TÉMATICKÝ CELEK CZ.1.07/1.5.00/34.0423 ČÍSLO MATERIÁLU DUM12-Binomická věta- výklad, příklady NÁZEV ŠKOLY Střední škola a Vyšší odborná škola cestovního ruchu, Senovážné náměstí 12, České Budějovice 370 01 AUTOR PaedDr.Alena Chalupová TÉMATICKÝ CELEK Kombinatorika ROČNÍK 2.-nástavbové studium, 4.-HŠ DATUM TVORBY Prosinec 2013 Střední škola a Vyšší odborná škola cestovního ruchu, Senovážné náměstí 12, České Budějovice 370 01

Anotace: Prezentace seznámí žáky s pojmy binomická věta, binomický rozvoj, binomický koeficient, seznámí žáky s vyjádřením (k+1) členu rozvoje obsahuje ukázkově řešené příklady k procvičení daného učiva Metodické pokyny: výukový materiál

Kombinatorika Binomická věta.

(a+b)n = ? Při řešení různých algebraických úloh potřebujeme občas umocnit dvojčlen a + b na nezáporné číslo n, tj. vypočítat (a + b)n. Vzorce pro n=0, n=1, n=2 a n=3 už známe: (a + b)0 = 1 (a + b)1 = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Vypočítáme ještě (a + b)4: (a + b)4 = (a + b)3 · (a + b) = = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) · (a + b) = = a4 + 3a3b + 3a2b2 + ab3 + a3b + 3a2b2 + 3ab3 + b4 = = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Co jsme zjistili? Koeficienty mnohočlenů vzniklých umocněním dvojčlenu (binomu) (a+b) na n-tou odpovídají číslům příslušného řádku Pascalova trojúhelníku, nazýváme je tedy binomické koeficienty. exponenty mocnin se základem a klesají od n k nule a naopak exponenty mocnin se základem b rostou od nuly k n. Součet exponentů je v každém členu stejný a je roven n.

(a + b)5 = ? Příslušný řádek Pascalova trojúhelníku pro n=5 je 1 5 10 10 5 1 (a + b)5=a5 +5a4b1+10a3b2+10a2b3+5a1b4 + b5

(a + b)n = ? Příslušný řádek Pascalova trojúhelníku pro n je + zobecněním předchozího odvodíme vzorec Zkrácený zápis:

Poznámka: Odvozená rovnost se nazývá binomická věta a platí pro libovolná a,bR, nN Výraz na pravé straně vzorce nazýváme binomický rozvoj výrazu (a + b)n (k+1)-ní člen binomického rozvoje lze vyjádřit výrazem

Příklad 1-zadání: Určete binomický rozvoj výrazu (2 + x)6 =

Příklad 1-řešení:

Příklad 2-zadání: Určete binomický rozvoj výrazu (x3 - 1)5 =

Příklad 2-řešení: (x3 - 1)5 =

Příklad 3-zadání: V binomickém rozvoji výrazu určete 4. člen.

Příklad 3-řešení: (k+1)-ní člen binomického rozvoje je V našem rozvoji n=6, pro 4.člen je k=3

Příklad 4-zadání: V binomickém rozvoji výrazu určete člen, který neobsahuje proměnnou x

Příklad 4-řešení: (k+1)-ní člen binomického rozvoje je , po úpravě: Koeficienty jsou pro konkrétní k číslaN Pokud tento člen nemá obsahovat x 5. člen rozvoje neobsahuje x.

Použitá literatura: Vlastní archiv autora CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 251 s. ISBN 80-719-6109-4. JIRÁSEK, František. Sbírka úloh z matematiky: pro SOŠ a studijní obory SOU. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1989, 479 s. Učebnice pro střední školy (Státní pedagogické nakladatelství). ISBN 80-042-1341-3.

Děkuji za pozornost.