Stáhnout prezentaci
Prezentace se nahrává, počkejte prosím
1
Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0208 Šablona:III/2č. materiálu:VY_32_INOVACE_79 Jméno autora:Mgr. Iva Vrbová Třída/ročník:3.E/ třetí ročník Datum vytvoření:2. 12. 2012
2
Vzdělávací oblast:Člověk a logické myšlení Tematická oblast:Komplexní čísla Předmět:Matematika Název učebního materiálu:Binomická rovnice – odvození řešení Výstižný popis způsobu využití, případně metodické pokyny: Prezentace obsahuje odvození obecného vztahu a znázornění kořenů binomické rovnice jako vrcholů pravidelných rovinných útvarů. Rozdíl řešení v oboru reálných a komplexních čísel. Klíčová slova:Binomická rovnice; Kořeny binomické rovnice; Grafické znázornění kořenů binomické rovnice Druh učebního materiálu:prezentace
3
Binomická rovnice
4
Binomickou rovnicí se nazývá rovnice tvaru:, kde postup řešení (nepište): 1)Uvědomíme si, že rovnice má n kořenů. 2)Separujeme n-tou mocninu proměnné x. 3)KČ a převedeme z AT na GT – včetně period funkcí sinus a kosinus. 4)Rovnici odmocníme – opakem n-té mocniny je n-tá odmocnina: a)na levé straně získáme hodnotu proměnné x, b)na pravé straně odmocníme KČ a pomocí Moivreovy věty.
5
rovnice má n kořenů a C a lze zapsat v AT osamostatníme x n, GT opakem n-té mocniny je n-tá odmocnina umocňujeme-li součin, umocňujeme každého z činitelů užijeme Moivreovu větu
6
Znázornění čísla x k v Gaussově rovině Pravidelným n-úhelníkem je pro n = 3: n = 4: n = 5: rovnostranný trojúhelník, čtverec, pravidelný pětiúhelník,... Kořeny x 0, x 1, x 2,..., x n – 1 binomické rovnice leží pro n > 2 v Gaussově rovině ve vrcholech pravidelného n-úhelníku vepsaného do kružnice: se středem v počátku, s poloměrem.
7
x y 0 x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 další kořeny
8
Porovnejte řešení rovnice: v oboru čísel reálných: R, v oboru čísel komplexních: C.
9
Řešení rovnice v R: rovnice má 3 kořeny Závěr: –Nalezli jsme pouze jeden ze tří kořenů dané rovnice, který je reálný. –Zbývající dva kořeny zřejmě nejsou reálné.
10
Řešení rovnice v C vzorec
11
Vycházeli jsme z AT (zadání rovnice), tudíž výsledky x 0, x 1, x 2 opět převedeme z GT na AT. k = 0: x 0 = 2. (cos0 + i sin0 ) k = 1: x 1 = 2. (cos120 + i sin120 ) k = 2: x 2 = 2. (cos240 + i sin240 ) x k = 2. cos(0 + k. 120 ) + i sin(0 + k. 120 ) , k = 0, 1, 2 (0 + 0. 120 )= 0 (0 + 1. 120 )= 120 (0 + 2. 120 )= 240
12
Závěr: V oboru komplexních čísel jsme nalezli všechny tři kořeny zadané rovnice: –první z kořenů je reálný, –další dva imaginární.
13
Znázornění kořenů x 0, x 1, x 2 v Gaussově rovině: x 0 x0x0 x1x1 x2x2 y x k = 2. cos(0 + k. 120 ) + i sin(0 + k. 120 ) , k = 0, 1, 2
14
poznámka: K řešení binomické rovnice dospějete, když dodržíte postup, který jsme uplatnili při odvození vztahu (vzorce) pro kořeny binomické rovnice nebo přímo dosadíte do odvozeného vzorce (vztahu) pro kořeny binomické rovnice.
15
Použitá literatura: PETRÁNEK, O.; CALDA, E.; HEBÁK, P. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 4. část. 5. vyd. Praha : Prometheus, 2004. ISBN 8071960403. Kapitola 1, s. 9–47 JIRÁSEK, F.; BRANIŠ, K.; HORÁK, S.; VACEK, M. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 2. část. 3. vyd. Praha : Prometheus, 2003. ISBN 8071960128. Kapitola 1, s. 11–46
Podobné prezentace
