Číslo projektu Číslo materiálu název školy Autor Tématický celek CZ.1.07/1.5.00/34.0423 Číslo materiálu DUM 3b -Úhel vektorů a skalární součin vektorů, výklad+příklady. název školy Střední škola a Vyšší odborná škola cestovního ruchu, Senovážné náměstí 12, České Budějovice 370 01 Autor PaedDr. Alena Chalupová Tématický celek Analytická geometrie Ročník 2.-nástavbové studium, 4.-HŠ Datum tvorby Říjen 2012 Střední škola a Vyšší odborná škola cestovního ruchu, Senovážné náměstí 12, České Budějovice 370 01

Metodické pokyny: Výkladová část hodiny Anotace: Prezentace vysvětlí pojem úhel vektorů definuje skalární součin vektorů obsahuje ukázkově řešené příklady k procvičení daného učiva Metodické pokyny: Výkladová část hodiny

Úhel vektorů a skalární součin vektorů – výklad+příklady Analytická geometrie Úhel vektorů a skalární součin vektorů – výklad+příklady

Úhel vektorů pro dva nenulové souhlasně rovnoběžné vektory AB a AC definujeme jejich úhel =0° pro dva nenulové nesouhlasně rovnoběžné vektory AB a AC definujeme jejich úhel =180°

Úhel vektorů pro dva nenulové různoběžné vektory AB a AC definujeme jejich úhel jako konvexní úhel CAB, tj. °180° je-li =90°, potom jsou vektory na sebe kolmé velikost úhlu vektorů nezávisí na jejich umístění a vypočítá se pomocí skalárního součinu vektorů

Skalární součin definujeme mezi dvěma vektory a zachycuje vztah mezi velikostí vektorů a jejich úhlem. značíme ho jako běžný součin u.v výsledkem skalárního součinu je reálné číslo, není to vektor

Jsou dány dva vektory u = (u1, u2) a v = (v1, v2), pak jejich skalární součin je roven Pro skalární součin dvou vektorů zároveň platí kde  je velikost úhlu těchto vektorů.

Poznámka: Skalární součin vektorů je roven 0, když aspoň jeden z vektorů je nulový nebo jsou vektory kolmé Úhel vektorů je dán vzorcem

Příklad 1-zadání: Určete skalární součin vektorů: (2,1).(-3,2)= (-1,-4).(-3,-2)= (4,5).(-10,8)= (-6,5).(0,5;0)=

Příklad 1-řešení: (2,1).(-3, 2)=2.(-3)+1.2=-6+2= -4 (-1,-4).(-3,-2)=(-1).(-3)+(-4).(-2)=3+8=11 (4, 5).(-10, 8)=4.(-10)+5.8=-40+40= 0 …..vektory jsou kolmé (-6, 5).(0,5; 0)=(-6).0,5+5.0=-3+0= -3

Příklad 2-zadání: Doplňte chybějící souřadnici tak, aby vektory byly kolmé: (u1; 2);(4, 6) (1, 0); (3, v2) (-3, u2); (0, 5)

Příklad 2-řešení: (u1; 2).(4, 6)= 4u1+12= 0 u1 = -3 (1, 0).(3, v2)=3+0. v2 = 0 30 v2 neexistuje (-3, u2).(0, 5)= 0+5u2 = 0 u2 = 0

Příklad 3-zadání: K daným vektorům určete vektory kolmé (normálové) : (-3, 2) (6,-2) (-1,-4) (4, 5)

Příklad 3-řešení: (-3, 2) (2,3) nebo (-2,-3) a všechny (6,-2) (2,6) Souřadnice kolmého vektoru určíme tak, že sou- řadnice původního vektoru zaměníme a u jedné z nich změníme znaménko, pak bude skalární součin vektorů roven 0 : (-3, 2) (2,3) nebo (-2,-3) a všechny jejich násobky (6,-2) (2,6) (-1,-4) (4,-1) (4, 5) (5,-4)

Příklad 4-zadání: K vektoru u=(4, -3) určete takový kolmý vektor, aby jeho velikost byla rovna jedné.

Příklad 4-řešení: K vektoru u=(4, -3) bude kolmý každý vektor v o souřadnicích (3k, 4k), neboť 4.3k+(-3).4k=0 Velikost vektoru je jedna Hledané vektory jsou dva:

Použitá literatura: Vlastní archiv autora CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1999, 208 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6139-6. JIRÁSEK, František. Sbírka úloh z matematiky: pro SOŠ a studijní obory SOU. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1989, 479 s. Učebnice pro střední školy (Státní pedagogické nakladatelství). ISBN 80-042-1341-3.

Děkuji za pozornost.