Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám

Prezentace na téma: "Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám"— Transkript prezentace:

1 Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/

2 Matematické vzdělávání Tematická oblast: Pravděpodobnost Předmět:
Šablona: III/2 č. materiálu: VY_32_INOVACE_175 Jméno autora: Mgr. Drozdová Barbora Třída/ročník: IV. Datum vytvoření: Vzdělávací oblast: Matematické vzdělávání Tematická oblast: Pravděpodobnost Předmět: Matematika Výstižný popis způsobu využití, případně metodické pokyny: Pravděpodobnost sjednocení jevů, pravděpodobnost nezávislých jevů, podmíněná pravděpodobnost, typové příklady Klíčová slova: sjednocení, nezávislé jevy, podmíněná pravděpodobnost Druh učebního materiálu: výukový list

3 Pravděpodobnost sjednocení jevů
Pro pravděpodobnost jevů A, B platí:

4 Pravděpodobnost sjednocení dvou jevů, které se vylučují

5 Dosadíme do rovnosti: pro vylučující jevy platí:

6 Příklad Určete pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne součet sedm nebo aspoň na jedné kostce padne šestka.

7 Řešení: Připustíme, že oba jevy mohou nastat současně. Jev A „padnutí součtu 7“, jev B „padnutí aspoň jedné šestky.

8 Určíme množinu výsledků těmto jevům příznivých.
Výsledky příznivé jevu A: (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) m(A) = 6 P(A) = 6/36

9 Výsledky příznivé jevu B:
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) m(B) = 11 P(B) = 11/36

10 jsou příznivé výsledky:
(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) Je tedy Jevu

11 Pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne součet sedm nebo padne šestka aspoň na jedné kostce, je rovna . .

12 Pravděpodobnost nezávislých jevů
Řekneme, že jevy A a B jsou nezávislé, jestliže platí:

13 Řekneme, že jevy A, B, C, jsou nezávislé, jestliže
a navíc

14 Obecně, jevy A, B, C, , Z se nazývají nezávislé, jestliže pravděpodobnosti průniků libovolných dvou, tří, čtyř, . . z nich jsou rovny součinům jejich pravděpodobností. Jsou-li jevy A, B, C, Z nezávislé, jsou nezávislé i každé dva z nich.

15 Jsou-li A, B nezávislé jevy, potom také A, B´ jsou nezávislé a rovněž A´, B a A´, B´ jsou nezávislé.

16 Příklad Určete pravděpodobnost, že ve dvou hodech kostkou padne v prvním hodu šestka a ve druhém nepadne.

17 Řešení: Jev A „padnutí šestky v 1. hodu“ Jev B „nepadnutí šestky ve 2. hodu“ Tyto jevy jsou nezávislé, neboť výsledek druhého hodu není ovlivněn výsledkem hodu prvního. P(A) = 1/6 P(B) = 5/6

18 Abychom nalezli hledanou pravděpodobnost jevu A
B, určíme množinu všech možných výsledků, které mohou nastat Ω = [(1, 1) (1, 2) (1, 6) (2, 1) (6, 5) (6, 6)] Výsledky příznivé jevu A B jsou (6, 1)(6, 2)(6, 3)(6, 4) (6, 5)

19 B) = 5/36 platí: platí P(A

20 Podmíněná pravděpodobnost:
libovolného jevu A za podmínky B je definována jako takto:

21 Jsou-li jevy A, B nezávislé, pak ze vzorce vyplývá, že
P(A/B) = P(A) a také P(B/A) = P(B). Tedy nastání jevu B nezmění pravděpodobnost jevu A a naopak.

22 Příklad: Hodíme 2 kostkami, bílou a černou. Jaká je pravděpodobnost, že na bílé kostce padla 5 za podmínky, že padl součet 9?

23 Řešení: Označme jevy, o nichž je řeč: Odtud:

24 Literatura: Doc. RNDr. Emil CALDA, CSc.: Matematika pro gymnázia, kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Doc. RNDr. Emil CALDA, CSc.:Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU 3. díl