Číslo projektuCZ.1.07/1.5.00/ Název školyGymnázium, Soběslav, Dr. Edvarda Beneše 449/II Kód materiáluVY_42_INOVACE_12_31 Název materiáluExtrémy funkce AutorMgr. Ivana Stefanová Tematická oblastMatematika Tematický okruhDiferenciální počet Ročník4 Datum tvorbyprosinec 2013 Pokud není uvedeno jinak, použitý materiál je z vlastních zdrojů autora.

Extrémy funkce

– souhrnné označení pro maximum a minimum funkce Maximum:největší hodnota na dané množině Minimum:nejmenší hodnota na dané množině Extrémy funkce

Extrémy lokálníglobální hledají se na celém D f dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině D f hledají se na okolích bodů Funkce f má v bodě x 0 lokální minimum, existuje-li takové okolí Funkce f má v bodě x 0 lokální maximum, existuje-li takové okolí Platí-li v nerovnostech uvedených v předchozí definici rovnost jen pro x = x 0, pak říkáme, že funkce f má v bodě x 0 ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum.

Je-li funkce f spojitá na uzavřeném intervalu, pak: jejím globálním maximem je maximum ze všech lokálních maxim, jejím globálním minimem je minimum ze všech lokálních minim. Funkce f má na intervalu I v bodě x 0 globální maximum, jestliže Funkce f má na intervalu I v bodě x 0 globální minimum, jestliže

Má-li funkce v bodě lokální extrém a existuje-li v tomto bodě derivace funkce, pak je derivace nulová (tečna je rovnoběžná s osou x). POZOR! Obrácená věta neplatí!

V bodě x 0 není extrém, přestože Body, pro které platí se nazývají stacionární body. Extrém v nich být může, ale nemusí.

Jak zjistíme, zda ve stacionárních bodech nastává extrém?

Rostoucí funkce má kladnou derivaci, klesající funkce má zápornou derivaci. V místě, kde se mění typ monotonie, je extrém a derivace je nulová.

Pokud má ve stacionárním bodě x 0 existovat extrém musí v tomto bodě první derivace změnit znaménko. Jak zjistíme, zda ve stacionárních bodech nastává extrém?

Extrém může (ale nemusí) nastat i v bodě, kde derivace neexistuje. Z grafu na obr. je zřejmé, že existuje minimum funkce v bodě x 0, přitom funkce nemá v bodě x 0 derivaci.

Extrémy funkce a druhá derivace Jestliže má funkce f (x) první derivaci f ´(x), potom druhou derivací funkce f (x) rozumíme funkci f ´´(x), která vznikne derivováním funkce f ´(x). Nechť a nechť existuje v bodě x 0 druhá derivace. Je-li, má funkce f v bodě x 0 ostré lokální maximum. Je-li, má funkce f v bodě x 0 ostré lokální minimum. Je-li, nelze o existenci lokálního extrému rozhodnout.

Použité zdroje: 1.Hrubý D., Kubát J. Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet. Vydání 1., Praha, Prometheus, s.r.o., s. ISBN Řídká E., Blahunková D., Chára P. Maturitní otázky – Matematika. První dotisk 1. vydání, Praha, Fragment, s.r.o., s. ISBN (1. vydání, 2007) Použité obrázky: Vytvořeno autorem v programu GeoGebra.