Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

BRVKA Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716).

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "BRVKA Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716)."— Transkript prezentace:

1 BRVKA Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716)

2 BRVKA V dalším výkladu budeme rozlišovat:  DERIVACE FUNKCE V BODĚ … to je číslo  DERIVACE FUNKCE … to je funkce Souvislost mezi nimi: pokud určíme funkční hodnotu derivace funkce v bodě a, získáme derivaci v bodě a. Význam derivací:  Určování extrémů – minim a maxim, např. při daném povrchu tělesa získat maximální objem – „konzerva“  Vyšetřování průběhu funkce – kreslení grafu funkce a určování vlastností  Fyzikální aplikace – např. rychlost je derivace dráhy podle času, zrychlení je derivace rychlosti podle času ….

3 BRVKA Mějme funkci f(x) definovanou v okolí bodu a. Proměnnou a zvětšíme o hodnotu h, tím se zvětší funkční hodnota o f(a+h)– f(a). Průměrná změna funkční hodnoty je potom: Což je geometricky směrnice sečny: y x a f(a)f(a) a+h f(a+h) f(a+h)–f(a) h Pokud zmenšujeme velikost h k nule h→0, stává se ze sečny tečna a zlomek nám určuje „okamžitou“ limitní změnu funkční hodnoty…a to už je derivace v bodě.

4 BRVKA Definice: Mějme funkci f(x) definovanou v okolí bodu a. Derivace funkce f v bodě a je: Pokud počítáme limity zleva a zprava, jedná se o derivaci zleva a zprava. Definice: Mějme funkci f(x) definovanou na intervalu I, která má v každém bodě tohoto intervalu vlastní derivaci. Derivace funkce f je funkce f ´(x), která každému x přiřadí derivace funkce f v bodě x. Pokud známe funkční předpis derivace, můžeme určovat derivaci funkce v bodě dosazením do předpisu. Věta o souvislosti derivace a spojitosti: Funkce je spojitá v každém bodě, ve kterém má vlastní derivaci.

5  Geometrický význam derivace funkce pro její graf: Směrnice tečny ke grafu funkce f(x) v daném bodě a je rovna derivaci funkce f(x) v tomto bodě. BRVKA y x a f(a)f(a) tg α = f ´(a) Pozn.: Směrnice tečny (někdy směrnice grafu) je tangens úhlu α, který tečna svírá s osou x (jejím kladným směrem). Tečna ke grafu v bodě a má rovnici y = f ´(a).x + b. Koeficient b určíme dosazením za [x,y] = [a, f(a)]. α

6 BRVKA Funkce f,g mají derivace, c je konst. Funkce g○f je složená funkce, kde g je vnější a f vnitřní funkce.

7 BRVKA  Typické zadání zní: „zderivujte“, tím se míní to, že hledáme předpis funkce, která je derivací zadané.  Většinou je potřeba předpis upravit tak, abychom mohli použít tabulku derivací.

8 BRVKA  Derivace součinu NENÍ součin derivací!  V součinu derivujeme vždy jen jeden činitel, ostatní činitele necháme beze změny, členy po zderivování sčítáme.

9 BRVKA  Vzorec je složitější a je nutno zachovat pořadí funkcí.

10 BRVKA  Laicky: Máme dvě funkce f(x) a g(x). Složená funkce vznikne, jestliže výsledek (funkční hodnotu) jedné funkce dosadíme do druhé funkce za x. Definice: Funkce h je složena z funkcí g, f, právě když platí: (def.obor funkce h je množina těch x z def.oboru f, pro které je jejich funkční hodnota z def.oboru funkce g) a pro každé x z D(h) platí h(x) = g ( f (x)). Složenou funkci h označujeme symbolem h = g ○ f (čteme h se rovná g na f nebo g složeno s f). Skládání funkcí není komutativní ⇒ g ○ f NENÍ f ○ g. Dodatek: Pokud platí h = g ○ f říká se někdy, že funkce f je funkce vnitřní a funkce g je funkce vnější.

11  Především musíme v předpisu umět najít vnitřní a vnější funkci. Pro derivování je víceméně jedno, která je která, ale v zásadě platí: vnitřní je ta, kterou bychom do kalkulačky zadali dřív, kdybychom počítali postupně.  Najděte vnitřní (f) a vnější (g) funkce v předpisech: BRVKA

12  Derivujeme zvlášť vnitřní (f) a vnější (g) funkce a mezi sebou jejich derivace NÁSOBÍME.  Zderivujte předchozí funkce: BRVKA

13  Zadání většinou zní: „Určete rovnici tečny ke grafu funkce f(x) vedené jejím bodem a.“  Návod: 1)Určíme funkční hodnotu f(a) dosazením čísla a do předpisu funkce. 2)Zderivujeme funkci f(x), získáme funkci f ´(x). 3)Do předpisu derivace f ´(x) dosadíme číslo a, máme f ´(a), což je směrnice tečny. 4)Do očekávané rovnice tečny y = f ´(a).x + b dosadíme za y = f (a) (získáno v bodě 1) a za x = a. Dopočítáme b a napíšeme rovnici tečny. BRVKA

14  Určete rovnici tečny ke grafu funkce f(x) = 2x 2 + 8x – 1 vedené jejím bodem a = –1. 1) Určíme funkční hodnotu f(a) dosazením čísla a do předpisu funkce. f(–1) = 2.(–1) (–1) – 1 = –7 2) Zderivujeme funkci f(x), získáme funkci f ´(x). f ´(x) = 2.2x + 8 = 4x + 8 3) Do předpisu derivace f ´(x) dosadíme číslo a, máme f ´(a). f ´(–1) = 4.(–1) + 8 = 4 4) Do očekávané rovnice tečny y = f ´(a).x + b dosadíme za y = f (a) (získáno v bodě 1) a za x = a. Dopočítáme b a napíšeme rovnici tečny. y = 4x + b → –7 = 4.(–1) + b → b = –3 y = 4x – 3 BRVKA

15 A to je pro dnešek vše, děkuji za pozornost. BRVKA


Stáhnout ppt "BRVKA Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716)."

Podobné prezentace


Reklamy Google