Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Soustavy souřadnic – přehled Jana Šestáková Šiková.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Soustavy souřadnic – přehled Jana Šestáková Šiková."— Transkript prezentace:

1 Soustavy souřadnic – přehled Jana Šestáková Šiková

2 Soustava souřadnic  Soustava souřadnic je vzájemně jednoznačné zobrazení, které bodu přiřadí uspořádanou n-tici čísel – souřadnice bodu.  Zobrazení S dané repérem, kde O je počátek soustavy souřadnic a e i jsou souřadnicové osy

3 K čemu nám je?  Zavedení souřadné soustavy umožňuje zkoumat geometrické útvary analytickými metodami.  Přechod od jedné soustavy k druhé nám může zjednodušit například počítání dvojného nebo trojného integrálu.

4 Vektorová funkce,…

5

6

7 Lokálně inverzní vektorová funkce

8 Substituce v integrálech  Při výpočtu dvojných a trojných integrálů se využívá přechodu od Kartézských k jiným (křivočarým) souřadnicím.

9 Substituce v dvojném integrálu

10 Substituce v trojném integrálu

11 Druhy souřadných soustav  Ortogonální a kosoúhlé  Přímočaré a křivočaré

12 Afinní soustava  Zobrazení S přiřazující každému bodu X z afinního prostoru A n uspořádanou n-tici (prvek z R n )  S, e i jsou jednotkové vektory – osy, O je počátek, ve kterém se osy protínají

13 Kartézská soustava  Ortogonální soustava souřadnic  S, e i jsou prvky ortonormální báze – osy, O je počátek, ve kterém se všechny osy protínají  V R 2 např. (O,x,y), kde O=[0,0], x = (1,0), y = (0,1)

14

15 Kosoúhlá soustava  Soustava souřadnic, u kterých osy svírají jiný než pravý úhel  S, e i jednotkové vektory – osy, O - počátek, ve kterém se všechny osy protínají

16

17 Polární soustava  Křivočará soustava souřadnic v rovině  S, kde O je počátek, r je vzdálenost bodu od počátku, φ je orientovaný úhel mezi spojnicí tělesa a počátku a zvolenou osou ležící v rovině.  V R 2 počátek [0,0] Kartézské, zvolená osa x Kartézská

18

19

20

21 Úhlová soustava  Poloha bodu určena 2 úhly v rovině i na sféře  Úsečka AB délky c (jednotka), úhel α je úhel BAC a β je úhel ABC, kde C je bod, jehož chceme znát souřadnice ( α, β )

22

23 Válcová (cylindrická) soustava  Křivočará soustava v prostoru  S, zavede se polární soustava souřadnic a z je kolmice k rovině s polární soustavou, procházející počátkem

24

25

26

27 Sférická (kulová) soustava  Křivočará soustava v prostoru  S, kde O je počátek, r vzdálenost bodu od počátku, φ je orientovaný úhel, který svírá osa o 1 ve zvolené rovině s průmětem spojnice bodu s počátkem v téže rovině, υ je orientovaný úhel, který svírá tentýž průmět se spojnicí bodu a počátku.

28

29

30

31 Homogenní souřadnice  Pravoúhlá homogenní souřadnice bodu v rovině je dána uspořádanou trojicí čísel  Homogenní souřadnice (x,y,w) bodu P[x k,y k ], kde [x k,y k ] je souřadnice v kartézské soustavě, když x k = x/w, y k = y/w. Pokud je w = 0, pak odpovídá vektoru v rovině (nevlastní bod), které nelze určit z kartézských souřadnic  V prostoru je bod dán čtveřicí čísel a matice transformací je rozměru 4x4

32  Transformace jako posunutí, otočení, změna měřítka a osová souměrnost, lze díky homogenním souřadnicím zapsat pomocí matic a vektorů  Snadno lze zapsat i skládání transformací jako násobení matic odpovídající příslušným transformacím

33

34 Příklady – substituce v integrálu  Následují 2 příklady jak je možné použít převody z kartézských soustav na polární nebo sférické při výpočtu integrálu.  1) kartézské -> polární (oblast přes kterou integrujeme je mezikruží)  2) kartézské -> sférická (oblast přes kterou integrujeme je část koule)

35

36

37 Další souřadnicové systémy v rovině (ortogonální)  Parabolický  Hyperbolický  Eliptický  Bipolární

38

39 Další souřadnicové systémy v prostoru (ortogonální)  Parabolické, parabolickoválcové, paraboloidické  Elipsoidické, eliptickoválcové  Bisférické, bipolární cylindrické  další

40 Souřadnicové systémy na referenčních plochách používaným v matematické kartografii  Geodetická zeměpisná šířka φ a délka λ – souřadnice bodu na povrchu elipsoidu: φ úhel normály elipsoidu s rovinou rovníku, λ úhel rovin poledníku a nultého poledníku  Geocentrická zeměpisná šířka β a délka λ – β úhel spojnice středu referenční plochy a bodu s rovinou rovníku  Redukovaná zeměpisná šířka ψ a délka λ – body z elipsoidu se promítnou na kouli, ψ úhel spojnice středu s promítnutým bodem a rovinou rovníku  A další (Soldnerovy, polární sférické, pravoúhlé prostorové, kartografické, izometrické)

41 Další souřadnicové systémy  V nebeské mechanice – obzorníková, rovníková, ekliptikální soustava a další  V teoretické mechanice – zobecněné souřadnice

42 Použitá literatura  Matematická analýza II – RNDr. Petr Tomiczek (Plzeň 2006)  Matematické vzorce – Dr. Ing. Hans – Jochen Bartsch, SNTL Praha 1983   Geometrie 1 (pomocný učební text) – Miroslav Lávička (Plzeň 2008)  Geometrické a počítačové modelování (pomocný učební text) – Doc. RNDr. František Ježek, CSc. (Plzeň 2009)


Stáhnout ppt "Soustavy souřadnic – přehled Jana Šestáková Šiková."

Podobné prezentace


Reklamy Google