Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Matematika na základní škole (díl I. – 6. ročník ) přehled teorie teorie na příkladech příklady na procvičení (pracovní verze) © Petr Veleba, 2006.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Matematika na základní škole (díl I. – 6. ročník ) přehled teorie teorie na příkladech příklady na procvičení (pracovní verze) © Petr Veleba, 2006."— Transkript prezentace:

1 Matematika na základní škole (díl I. – 6. ročník ) přehled teorie teorie na příkladech příklady na procvičení (pracovní verze) © Petr Veleba, 2006

2 Hlavní nabídka aritmetik a geometri e ( a + b ) 2 1,3 +4,05 – 2,5 = 25 % z – 14 = V = a * b * c c 2 = a 2 + b 2 Konec

3 Aritmetika dělitelnost desetinná čísla zlomky Konec Menu

4 Geometrie úhly osová souměrnost středová souměrnost trojúhelník krychle kvádr rýsujeme tělesa Konec Menu

5 Dělitelnost přirozených čísel kdy je číslo dělitelné znaky dělitelnosti prvočíslo a číslo složené rozklad na součin prvočísel nejmenší společný násobek největší společný dělitel použití ve slovních úlohách příklady na procvičení Konec Menu

6 Kdy je číslo dělitelné O čísle můžeme říct, že je dělitelné daným číslem pouze tehdy, pokud dělení vyjde beze zbytku. př. 376 : 8 = 47 zbytek 0 číslo 376 je dělitelné číslem : 8 = 56 zbytek 4číslo 452 není dělitelné číslem 8 Každé číslo je násobkem čísla 1 i svým vlastním násobkem ( 25 * 1 = 25 ) Každé číslo je dělitelné číslem 1 a samo sebou (13 : 13 = 1, 13 : 1 = 13 ) Konec Menu

7 Znaky dělitelnosti Číslo je dělitelné číslem: 2, když jeho poslední číslice je 0, 2, 4, 6, 8např. 24, 4576, 108 3, když je ciferný součet čísel dělitelný 3 např. 252, 1674, 63 4, když je poslední dvojčíslí 00 nebo je dělitelné 4 např. 300, 124, 468 5, když je poslední číslice 0, 5 např. 250, 745, 635 6, když je dělitelné 2 i 3 zároveň např. 882, 6816, 78 8, když je poslední trojčíslí 000 nebo je dělitelné 8 např. 6000, , když je ciferný součet dělitelný 9 např. 234, 6525, 54 10, když je poslední číslicí 0 např. 450, 90, 2870 ciferný součet je součet jednotlivých číslic – např. číslo má ciferný součet 20 ( = 20) Konec Menu

8 Prvočíslo a číslo složené Prvočíslem nazýváme číslo, které je dělitelné pouze číslem 1 a samo sebou. Čísla mající alespoň tři dělitele jsou čísla složená. Prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, … Konec Menu

9 Rozklad na součin prvočísel Rozklad čísla na součin prvočísel: : 2 nebo 2 * : 3 2 * : 5 2 * 15 7 : 7 3 * = 2 * 3 * 5 * 7120 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 Dané číslo postupně dělíme co nejmenšími prvočísly až dojdeme ke konečnému prvočíslu, které již dále dělit nelze. Konec Menu Odkaz na: nejmenší společný násobeknejmenší společný násobeka největší společný dělitelnejvětší společný dělitel

10 Nejmenší společný násobek - n postupem, který najdeme na jiném místě, nejprve daná čísla rozložíme na součin prvočíselmístě hotové rozklady zapíšeme nejlépe pod sebe do hledaného společného násobku opíšeme jeden celý rozklad a z dalšího přidáme čísla, která se v tom prvním neobjevují př. najděte nejmenší společný násobek čísel 140 a = 2 * 2 * 5 * = 2 * 2 * 3 * 3 * 5 n( 140, 180) = 2 * 2 * 5 * 7 * 3 * 3 = 1260 Konec Menu

11 Největší společný dělitel - D postupem, který najdeme na jiném místě, nejprve daná čísla rozložíme na součin prvočíselmístě hotové rozklady zapíšeme nejlépe pod sebe do hledaného společného dělitele opíšeme čísla, která se objevují ve všech rozkladech čísla, která nemají jiného společného dělitele než číslo 1, jsou nesoudělná př. najděte největší společný dělitel čísel 144 a = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 45 = 3 * 3 * 5( v obou rozkladech jsou dvě trojky) D( 144, 45 ) = 3 * 3 = 9 Konec Menu

12 Použití ve slovních úlohách Slovní úlohy na společný násobek či společný dělitel mají některé shodné rysy, které vám mohou usnadnit jejich řešení. Většinou zde, žáci či cvičenci nastupují do různých několikastupů, předměty se rozdělují do stejně početných skupin nebo se předměty rozdělují na stejné části. Nejprve samozřejmě musíme poznat zda je v dané úloze třeba hledat společný dělitel či násobek. Násobek hledáme v úlohách, kde se v zadání např. hovoří o tom, kdy se opět potkají různé dopravní prostředky nebo se hledá co nejmenší počet. Obecně se dá říct, že je to vždy, když hledáme číslo, které je větší než zadaná čísla. Dělitele hledáme tam, kde máte něco rozdělit na stejné části, nejlépe co největší. Obecně se dá říct, že je to vždy když hledáme číslo, které je menší než zadaná čísla. Čtěte tedy důkladně zadání a nezapomeňte odpovědět na danou otázku. Konec Menu

13 Příklady na procvičení Najdi největšího společného dělitele: D(24, 14) =D(36, 40) =D(132, 128) =D(21,16) = Najdi nejmenší společný násobek: n(12, 15) =n(14, 21) =n(28, 42) =n(8, 16, 24) = Vyřeš slovní úlohy: 1) 3 autobusy vyjíždí ve stejnou dobu ze stejné stanice. První se vrátí za 36 minut, druhý za 45 minut a třetí za 27 minut. Kdy se nejdříve na zastávce opět setkají všechny autobusy? 2) Dřevěné laťky dlouhé 1,2 m a 90 cm je třeba rozřezat na stejné kousky. Jak budou dlouhé a kolik jich bude? 3) Děti měli více než 50 a méně než 100 kuliček, když je rozdělí po 8 nebo po 6, žádné nezbydou. Kolik jich měli? 4) Z kolika dlaždic o rozměrech 20 a 30 cm můžeme sestavit čtverec? Máme k dispozici maximálně 100 dlaždic. Konec Menu

14 Zlomky co je zlomek, jeho zápis, smíšené číslo, … (2 snímky) co je zlomek, jeho zápis, smíšené číslo, … rozšiřování a krácení zlomků smíšené číslo porovnávání zlomků sčítání a odčítání zlomků sčítání a odčítání smíšených čísel násobení a dělení zlomků převod zlomků na desetinná čísla a naopak převod zlomků na desetinná čísla naopak složené zlomky a kombinace různých početních operací složené zlomky – řešený příklad příklady na procvičení Konec Menu

15 Co je zlomek Potřebujeme-li zapsat číslo vyjadřující část nebo několik částí celku použijeme zlomek nebo desetinné číslo čitatel (určuje vybraný počet částí celku) jmenovatel (určuje na kolik částí je celek rozdělen) zlomková čára (znamená dělení – tento zlomek by se tedy dal zapsat jako 2 : 9) Tento zlomek čteme: dvě devítiny př. jedna polovinapět šestin pokrač. Konec Menu

16 Co je zlomek – další pojmy Zlomek v základním tvaru – zlomek, který již nelze více zkrátit Velikost zlomku – u zlomku můžeme určit zda je větší než jedna (čitatel je větší než jmenovatel – nepravý zlomek) nebo menší než jedna (čitatel je menší než jmenovatel – pravý zlomek) nebo zda je zlomek roven 0 (pokud je čitatel roven nule) a zda má vůbec zlomek smysl (nemá smysl pokud by jmenovatel byl roven nule, protože nulou dělit nelze) Převrácený zlomek – zlomek, ve kterém se z čitatele stane jmenovatel a ze jmenovatele čitatel, používá se při dělení zlomků zpět < 0> 0= 0 nemá smysl !!! a zlomek k němu převrácený je Konec Menu

17 Rozšiřování a krácení zlomků Zlomky lze rozšiřovat a krátit aniž by došlo ke změně jejich velikosti. Krácení je vydělení čitatele i jmenovatele stejným číslem. Rozšíření je vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem. = = Konec Menu

18 Smíšené číslo Smíšené číslo – číslo složené z dvou částí : z celků a ze zlomku počet celkůzlomková část Čteme: tři celé a dvě pětiny Převod: 3 celky = 15 pětin, přidáme ještě 2 pětiny a dostáváme 17 pětin (3 * = 17) Převod opačně:(16 : 7 = 2 celé a 2 sedminy zbydou) Konec Menu

19 Porovnávání zlomků Pokud chceme porovnat dva zlomky, musíme je nejprve upravit (rozšiřováním nebo krácením) na společný jmenovatel. Společný jmenovatel určíme nejlépe jako nejmenší společný násobek daných jmenovatelů.nejmenší společný násobek

20 Sčítání a odčítání zlomků Chceme-li sečíst nebo odečíst dva zlomky musíme je, stejně jako u porovnávání, nejprve upravit na společného jmenovatele a poté jejich čitatele sečteme či odečteme.společného jmenovatele Výsledek upravíme krácením na základní tvar nebo na smíšené číslo. n(5,4) = 20 n(12,8) = 24 Konec Menu

21 Sčítání a odčítání smíšených čísel Při sčítání a odčítání, ve kterém se objeví smíšená čísla můžeme buď smíšená čísla převést na nepravé zlomky a počítat jako v předchozím případě nebo s celky i se zlomky počítat zvlášť (pozor při odčítání – viz vzorový příklad) nebo První způsob můžete použít jen pokud je zlomková část prvního čísla větší než zlomková část druhého čísla, převodem na nepravý zlomek tento problém odpadá, viz. druhý způsob. Konec Menu

22 Násobení a dělení zlomků Násobíme-li dva zlomky, vynásobíme čitatel s čitatelem a jmenovatel se jmenovatelem. Při násobení zlomku přirozeným číslem buď přirozené číslo napíšeme jako zlomek a poté násobíme jako dva zlomky a nebo daným přirozeným číslem vynásobíme pouze čitatel a jmenovatel pouze opíšeme. Při násobení a dělení můžeme během výpočtu používat krácení, které nám může usnadnit výpočet. Krátit můžeme vždy jeden čitatel s jedním jmenovatelem. 1 2 nebo Konec Menu

23 Převod zlomků na desetinná čísla Pro převod zlomků na desetinné číslo je třeba si uvědomit, že zlomková čára znamená dělení, proto vydělíme-li čitatel jmenovatelem dostaneme desetinné číslo. Dělení však může vyjít s periodou nebo se zbytkem a potom je třeba výsledek zaokrouhlit. Pokud tedy potřebujeme počítat přesně, je lépe počítat se zlomky. Snadný převod je v případě, kdy je jmenovatel roven 10, 100, 1000, … nebo kdy jmenovatel rozšíříme na 10, 100, 1000, … (zde stačí správně zlomek přečíst) Čteme: žádná celá sedm desetin Čteme: sedm desetin Konec Menu

24 Převod desetinných čísel na zlomky Převod z desetinných čísel je jednodušší, protože stačí desetinné číslo dobře přečíst a zapsat ve formě zlomku, poté je možné zlomek zkrátit na základní tvar. Čteme: žádná celá šedesát dvě setiny Čteme: šedesát dvě setiny Čteme: jedna celá devět desetin Čteme: jedna celá a devět desetin Konec Menu

25 Složené zlomky a kombinace poč. operací Složené zlomky jsou jen jiný způsob zápisu, kdy se místo dělení používá zlomková čára, je zde potřeba dát pozor na umístění znaménka rovná se vedle hlavní zlomkové čáry. V příkladech s více početními operacemi musíme dodržovat následující pravidla: nejprve řešíme početní operace v závorkách pokud je za sebou více početních operací, a to i v závorce, nejprve násobíme a dělíme a teprve potom sčítáme a odčítáme pokud je za sebou více sčítání a odčítání (nebo násobení a dělení), počítáme postupně zleva doprava při sčítání a násobení můžeme využít komutativnosti, tj. záměny sčítanců nebo činitelů pozor na zápis, opisujte vždy celý příklad i když s některou částí zrovna nepočítáte, pamatujte, že znaménko rovná se musí platit Konec Menu řešený příklad

26 Složené zlomky - příklady Konec Menu

27 Příklady na procvičení Konec Menu

28 Desetinná čísla zápis desetinných čísel porovnávání desetinných čísel zaokrouhlování desetinných čísel sčítání a odčítání desetinných čísel násobení dělení 10, 100, 1000, … dělení desetinného čísla přirozeným číslem (2 snímky) dělení desetinného čísla přirozeným číslem dělení desetinného čísla desetinným číslem více početních operací příklady na procvičení Konec Menu

29 Zápis desetinných čísel Desetinné číslo je složeno ze tří částí: celků, desetinné čárky a desetinné části. Desetinná část je pojmenována podle posledního řádu.. 45,246 čteme: 45 celých 246 tisícin celky desetinná čárka desetinysetinytisíciny Konec Menu

30 Porovnávání desetinných čísel Při porovnávání desetinných čísel porovnáváme nejdříve počet celků, při jejich rovnosti postupně porovnáváme desetiny, setiny, tisíciny atd. až najdeme řád, ve kterém se čísla liší. 12,3 > 5,0689 první číslo je větší, protože 12 celků je více než 5 0,2506 < 0,2536 druhé číslo je větší, protože na místě tisícin je 3, což je víc než 0 tisícin u prvního čísla Konec Menu

31 Zaokrouhlování desetinných čísel Při větším počtu desetinných míst počítáme většinou s čísly zaokrouhlenými, která pro výpočet stačí. U výsledku si ale musíme být vědomi menší nepřesnosti. Pokud zaokrouhlujeme na určitý řád, např. desetiny, zajímá nás číslice na následujícím řádu, tj. setiny. Jestliže počet setin je 0 až 4 počet desetin zůstane stejný a následné číslice již nepíšeme, pokud počet setin bude 5 až 9, počet desetin se zvětší o 1. př. 0,652 zaokrouhleno na setiny je 0,65 protože za setinami je 2, proto se počet setin nezmění 12,493 zaokrouhleno na desetiny je 12,5 protože za desetinami je 9, proto se počet setin zvýší ze 4 na 5 Konec Menu

32 Sčítání a odčítání desetinných čísel Chceme-li sečíst nebo odečíst dvě desetinná čísla, musíme dodržet následující pravidlo: sčítáme vždy stejné řády, tj. celky s celky, desetiny s desetinami, setiny se setinami atd. Při zápisu pod sebou čísla zapisujeme pod sebe tak, aby byla desetinná čárka pod desetinnou čárkou a na stejném místě se objeví i desetinná čárka ve výsledku. Při nestejném počtu des. čísel je možné doplnit nuly. př. 42,36 + 2,864 = 45,224 nebo 42,360 2,864 45, ,045 – 1,2= 561, , , ,845 Zde je možné doplnit nulu pro přehlednost v zápisu. Konec Menu

33 Násobení desetinných čísel Při násobení dvou desetinných čísel nejprve čísla vynásobíme jakoby to byla čísla přirozená, sečteme počet desetinných míst u obou činitelů a tento počet vyznačíme ve výsledku (počítáno zprava). Při zápisu nerovnáme desetinnou čárku pod desetinnou čárku. Při výpočtu využijte komutativnosti (možnosti záměny činitelů) a násobte číslo s větším počtem číslic číslem s menším počtem. př. 2,6 * 5,082 = 5,082 * 2,6 = 13,2132 5,082 3 des. místa * 2,6 1 des. místo , des. místa Konec Menu

34 Dělení 10, 100, 1000 … Toto dělení je, zjednodušeně řečeno, pouze posouvání desetinné čárky směrem doprava o příslušný počet míst a to při dělení 10 o 1 místo, při 100 o 2 místa, při 1000 o 3 atd. (neboli kolik nul, tolik míst) Nejčastější použití je při převodech jednotek z menší jednotky na větší. př. 256,2 : 10 = 25,62(posun o 1 místo) 1,0689 : 1000 = 0, (posun o 3 místa) 53,6 cm = 0,536 m (číslo 53,6 jsme dělili 100) Konec Menu

35 Dělení des. čísla číslem přirozeným Oproti dělení přirozených čísel je rozdíl v tom, že v momentě, kdy sepisujete první číslici za desetinnou čárkou, zapíšete desetinnou čárku i ve výsledku (viz př.). Na závěr pozor na zbytek (viz př.). př. 12,607 : 5 = 2, 12,607 : 5 = 2,521 (zbytek 0,002) Součástí př. je zkouška: 07 2,521 0,002 * 5 12,605 + zb. 0,002 12,607 u zbytku pozor, sepsaný zbytek 2 je v řádu tisícin, proto je zbytek 0,002 (přehledný zápis vám usnadní práci) pokrač. Konec Menu

36 Dělení des. čísla číslem přirozeným Potřebujeme-li přesnější výsledek nebo je-li naděje, že při pokračování dělení vyjde výsledek beze zbytku, můžeme v dělenci připsat za desetinnou čárku libovolný počet nul, protože nuly připsané za desetinnou čárkou na konec čísla nezmění jeho velikost. Tento postup lze použít i při dělení desetinným číslem. př. 2, : 7 = 0, (zbytek 0,000003) zkouška: 0, * , , , , zpět Konec Menu

37 Dělení des. čísla des. číslem Dělení desetinným číslem je třeba nejprve upravit na dělení číslem přirozeným a to tak, že dělenec i dělitel vynásobíme 10, 100, 1000, … tak aby se z dělitele stalo přirozené číslo. Výsledný zbytek potom nesmíme zapomenout stejným číslem vydělit. U zkoušky používáme čísla z původního zadání příkladu. př. 3,46 : 0,3 = 11,5 (zb. 0,01) upravíme na (násobíme 10) 34,6 : 3 = 11,5 zb. 0,1) 04 zk. 11,5 16 * 0,3 0,1 upravíme na 0,01 (vydělíme 10) 3,45 0,01 3,46 Konec Menu

38 Kombinace početních operací V příkladech s více početními operacemi musíme dodržovat následující pravidla: nejprve řešíme početní operace v závorkách pokud je za sebou více početních operací, a to i v závorce, nejprve násobíme a dělíme a teprve potom sčítáme a odčítáme pokud je za sebou více sčítání a odčítání (nebo násobení a dělení), počítáme postupně zleva doprava při sčítání a násobení můžeme využít komutativnosti, tj. záměny sčítanců nebo činitelů pozor na zápis, opisujte vždy celý příklad i když s některou částí zrovna nepočítáte, pamatujte, že znaménko rovná se musí platit řešený příklad Konec Menu

39 Kombinace početních operací Konec Menu zpět 0,9 * 1,6 + (2,1 + 4,2 – 0,7) - 2 * 0,8 = (začneme závorkou) = 0,9 * 1,6 + 5,6 - 2 * 0,8 = (pokračujeme násobením) = 1,44 + 5,6 - 1,6 = (teď již počítáme zleva doprava) = 7,04 – 1,6 = = 5,44 Pozor: i když počítáme např. pouze závorku, musíme opsat zbytek příkladu, aby byla zachována rovnost

40 Příklady na procvičení Konec Menu Vypočítej: 0,23 + 5,47 =2,5 + 2,6 = 0, ,69 =52,6 + 0,57 = 12,5 – 3,6 =0,698 – 0,05 = 56,3 – 4,02 =59,3 – 58,6 = 7,5 * 0,5 =13,06 * 6,2 = 0,28 * 3,6438 =447,03 * 0,5 = 123,05 : 100 =56,2381 :10 = 5,985 : 1000 =0,689 : 100 = 43,5 : 3 =5,068 : 7 = 69,12 : 6 =0,58 : 9 = 24,8 : 0,8 =0,345 : 0,03 = 0,64 : 3,2 =93,05 : 0,5 = 2,8094 : 2,4 =0,6585 : 4,05 = 5,7405 : 0,056 =2,039 : 8,1 = 5,1 + 2,4 * 0,3 – 0,7 = 2,04 * 1,5 – 3,07 * 0,7 = 5,8 + 2,5 : 0,5 – 6,7 = ( 1,56 + 0,26 ) * ( 3,04 – 1,96 ) = 3,5 + 0,7 – 2,4 + 1,5 – 0,9 = 2,05 + 6,04 – 4,09 + 3,2 * 0,4 =

41 Úhly co jsou úhly typy úhlů typy dvojic úhlů konstrukce: úhloměrem x kružítkemúhloměremkružítkem osa úhlu sčítání a odčítání úhlů početně sčítání úhlů graficky odčítání úhlů příklady na procvičení Konec Menu

42 Úhly Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami (ramena úhlu) se stejným počátečním bodem (vrchol úhlu). Úhel označujeme malými písmeny řecké abecedy nebo 3 body. Velikost úhlu měříme ve stupních, případně i v minutách a vteřinách (1 stupeň = 60 minut, 1 minuta = 60 vteřin). Pro konstrukci používáme úhloměr nebo v některých případech kružítko. C A B ß Konec Menu Zápis jednotek: 1 stupeň = 1 o 1 minuta = 1‘ 1 vteřina = 1‘‘

43 Úhly - typy úhlů Rozlišujeme několik typů úhlů: nulový úhel – velikost 0 o ostrý úhel - velikost je menší než 90 o tupý úhel - velikost je větší než 90 0 a menší než 180 o pravý úhel – velikost 90 o přímý úhel - velikost 180 o plný úhel – velikost 360 o konvexní úhel – jestliže úsečka spojující dva body ležící na ramenech úhlu náleží úhlu, hovoříme o konvexním úhlu nekonvexní úhel - jestliže úsečka spojující dva body ležící na ramenech úhlu nenáleží úhlu, hovoříme o konvexním úhlu, velikost tohoto úhlu je větší než 180 o a menší než 360 o Konec Menu obrázky jednotlivých typů

44 Typy úhlů nulový ostrý pravý přímý plný tupý. zpět Konec Menu

45 Úhly - typy úhlů Dvojice úhlů : styčné úhly - dva úhly se společným 1 ramenem úhly vedlejší - dva styčné úhly se jejichž nesplývající ramena jsou opačné polopřímky, součet jejich velikostí je úhly vrcholové - dva konvexní úhly se společným vrcholem, jejichž ramena jsou navzájem opačné polopřímky, jsou vždy shodné úhly souhlasné - první rameno obou úhlů leží na přímce, jejich druhá ramena jsou souhlasně rovnoběžné polopřímky, jsou vždy shodné úhly střídavé - první rameno obou úhlů leží na přímce, jejich druhá ramena jsou nesouhlasně rovnoběžné polopřímky, jsou vždy shodné úhly přilehlé - součet těchto úhlů je Konec Menu obrazová příloha

46 Dvojice úhlů styčnévedlejšívrcholové zpět střídavésouhlasnépřilehlé Konec Menu

47 Úhly – konstrukce úhlů (úhloměrem) Narýsujeme rameno úhlu a vyznačíme vrchol. Nyní přiložíme úhloměr tak, aby značka na úhloměru splývala s vrcholem úhlu a značka 0 0 ležela na rameni. Na úhloměru přečteme příslušnou velikost rýsovaného úhlu, uděláme značku a tu poté spojíme s vrcholem úhlu. př. sestrojte úhel AVB o velikosti 25 o V 0o0o 45 o 90 o 180 o 135 o 25 o A B Konec Menu

48 Úhly – konstrukce úhlů (kružítkem) Narýsujeme rameno úhlu a vyznačíme vrchol. Kružítko zabodneme do vrcholu a uděláme část kružnice o něco větší než plánovaný úhel. Aniž změníme rozevření kružítka uděláme další oblouk se středem v bodě, kde první oblouk protnul narýsované rameno úhlu. Tam kde se první oblouk protnul s druhým vznikne bod, který po spojení s vrcholem vytvoří úhel s velikostí Opakováním postupu lze narýsovat úhly, jejichž velikost je násobkem čísla 60. Další velikosti lze narýsovat rozdělením daného úhlu na půl sestrojením osy úhlu.sestrojením osy úhlu Takto lze tedy sestrojit např. úhly 60 0, 120 0, 30 0, 90 0,15 0 Konec Menu řešený příklad

49 Úhly – konstrukce úhlů (kružítkem) Postup konstrukce úhlu o velikosti 60 o : Zpět na úhly 1. rameno s vrcholem 2. kružnice se středem ve vrcholu 3. kružnice se středem v bodě A a poloměrem stejným jako první kružnice 4. druhé rameno AV B Konec Menu

50 Sestrojení osy úhlu (rozpůlení úhlu) Postup: 1. uděláme část kružnice protínající obě ramena se středem ve vrcholu úhlu 2. z obou bodů, kde se protnuly ramena s obloukem, uděláme opět oblouky tentokrát se středem ve zmíněných dvou bodech 3. bod, kde se protnuly oba oblouky, spojíme čerchovanou čarou s vrcholem Konec Menu X Y osa o Využití: při konstrukci kružnice vepsané trojúhelníku při dělení úhlu dvěma

51 Úhly – sčítání a odčítání početně Konec Menu Při početním sčítání a odčítání je třeba si dát pozor na jednotky 45 o 25‘ + 2 o 52‘ 3‘‘ = 48 o 17‘ 3‘‘ 45 o 25‘ 2 o 52‘ 3‘‘ 47 o 77‘ 3‘‘ = 48 o 17‘ 3‘‘ 45 o 25‘ - 2 o 52‘ 3‘‘ = 42 o 32‘ 57‘‘ 45 o 25‘’ 44 o 84‘ 60‘‘ - 2 o 52‘ 3‘‘ 42 o 32‘ 57‘‘ Pokud počet minut či vteřin přesáhne 60, upravíme výsledek. 1 o 17‘ Máme-li „málo“ minut nebo vteřin, „půjčíme“ si 1 stupeň nebo 1 minutu, abychom od většího čísla odčítali číslo menší. 1 o = 60‘ 1‘ = 60‘‘

52 Úhly – sčítání graficky Postup: narýsujeme první úhel (α) druhý úhel (β) narýsujeme jako styčný úhel s úhlem prvním krajní ramena tvoří výsledný úhel (γ) α β γ Konec Menu

53 Úhly – odčítání graficky Postup: narýsujeme první úhel (α) - ten větší druhý úhel (β) narýsujeme do prvního úhlu – 1 rameno mají společné zbytek do toho většího úhlu je výsledný úhel (γ) α β γ Konec Menu

54 Úhly – příklady na procvičení Konec Menu 1)Narýsuj úhly o velikosti 26 o, 71 o, 105 o, 247 o 2)Kružítkem sestroj úhly o velikosti 45 o, 15 o, 90 o, 135 o 3) První dva úhly z předchozího příkladu graficky sečti a druhé dva odečti 4) Proveď početně 52 o 13´ + 23 o 51´ =148 o 26´´ - 37 o 45´ = 112 o 5´6´´ + 9 o 55´56´´ =78 o 13´5´´ - 2 o 49´58´´ = 5) Dopočítej velikosti zbývajících úhlů (podívej se na vlastnosti úhlů v trojúhelníku): ?130 o ?? 44 o ?? ? ?? ? ? 124 o 85 o ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??

55 Osová souměrnost Osová souměrnost je typ shodného zobrazení, tzn. že výsledný obraz je shodný s původním, ale je v tomto případě zrcadlově převrácený přes osu souměrnosti. Od všech bodů daného geometrického útvaru sestrojíme kolmice na osu souměrnosti a vzdálenost bod osa přeneseme kružítkem na opačnou stranu osy, kde vznikne obraz daného bodu. A C‘ B osa o B‘ C A‘ zápis: O(o): A A‘ čteme: v osové souměrnosti s osou o přiřazujeme bodu A bod A‘ aa Konec Menu procvič si:

56 Osová souměrnost - příklady Sestroj obraz v osové souměrnosti s osou o: A B C D S T X Y Z o o o o AB CD zpět Konec Menu

57 Středová souměrnost Středová souměrnost je další typ shodného zobrazení. Daný geometrický útvar se přemístí přes daný střed souměrnosti. Obraz je vodorovně i svisle převrácený. Všechny body daného geometrického útvaru spojíme se středem souměrnosti a vzdálenost bod střed přeneseme kružítkem na opačnou stranu od středu, kde vznikne obraz daného bodu. A C B S zápis: S(S): A A‘ čteme: ve středové souměrnosti se středem S přiřazujeme bodu A bod A‘ B‘ A‘ C‘ a a Konec Menu procvič si:

58 Středová souměrnost - příklady Sestroj obraz ve středové souměrnosti se středem S: zpět B C D S T X Z S A AB CD S S Y Konec Menu

59 Trojúhelník základní vlastnosti (2 snímky) základní vlastnosti typy trojúhelníků typy konstrukce způsoby konstrukce základní symboly používané v popisu konstrukce příklady Konec Menu

60 Trojúhelník – základní vlastnosti c a b A T B A, B, C - vrcholy a, b, c - strany pokrač. vbvb vava vcvc v a, v b, v c – výšky ( kolmice na protější stranu) tctc tbtb tata t a, t b, t c – těžnice ( spojují vrchol se středem protější strany) T – těžiště ( rozděluje těžnice v poměru 1:2) α, β, γ – vnitřní úhly C αβ γ Konec Menu

61 Trojúhelník – základní vlastnosti Vnitřní úhly: pro vnitřní úhly platí, že jejich součet je 180 o Délky stran (trojúhelníková nerovnost): součet délek dvou kratších stran musí být větší než délka strany nejdelší, pokud tato podmínka není splněna, trojúhelník nelze sestrojit. Ověřujeme ještě před konstrukcí. Kružnice vepsaná trojúhelníkuKružnice vepsaná trojúhelníku: střed kružnice leží na průsečíku os vnitřních úhlů a kružnice se dotýká všech stran Kružnice opsaná trojúhelníkuKružnice opsaná trojúhelníku: střed kružnice leží na průsečíku os stran a kružnice prochází všemi vrcholy zpět ( α+ β+ γ = 180 o ) Konec Menu

62 Typy trojúhelníků rovnostranný všechny strany jsou stejně dlouhé a všechny vnitřní úhly měří 60 o rovnoramenný a = b = c pravoúhlý jeden vnitřní úhel je pravý ab c. obecný strany i úhly jsou různě dlouhé a velké Konec Menu

63 Kružnice vepsaná trojúhelníku zpět na trojúhelník k S sestrojíme osy úhlů r. Konec Menu

64 Kružnice opsaná trojúhelníku zpět na trojúhelník k S sestrojíme osy stran r Konec Menu

65 Trojúhelník – typy konstrukce Konstrukce podle věty sss - používáme, pokud známe všechny 3 strany Konstrukce podle věty sus - používáme, pokud známe 2 strany a úhel jimi sevřený Konstrukce podle věty usu -používáme, pokud známe 2 úhly a 1 stranu Co dalšího lze použít při konstrukci: - při znalosti dvou úhlů lze dopočítat ten třetí (součet všech je 180 o ) - při zadané výšce většinou rýsujeme rovnoběžku ve vzdálenosti dané výškou - v pokročilejších konstrukcích se používá tzv. Thaletova kružnice – viz 7. roč. Konec Menu

66 Konstrukce – obecný postup 1. náčrtek + rozbor do načrtnutého obrázku si zakreslíme známé údaje, rozmyslíme si postup a načrtneme si vše, co budeme ke konstrukci potřebovat ( kružnice, přímky, polopřímky, body, … ) 2. popis konstrukce pomocí používaných symbolů zapíšeme posloupnost kroků, pomocí kterých geometrický útvar narýsujemesymbolů 3. konstrukce podle popisu vše narýsujeme a zvýrazníme výsledný obrazec 4. závěr zapíšeme kolik má úloha řešení, většinou v dané polorovině řešený příklad Konec Menu

67 Konstrukce – řešený příklad Narýsuj trojúhelník ABC, jestliže je dáno: c = 5 cm, v c = 4 cm, α = 52 o Konec Menu 1. Náčrtek + rozbor :2. Popis konstrukce : 1.AB; AB = 5cm 2. BAX; BAX = 52 o 3.p; p AB; p AB = 4 cm 4.C; C p AX 5. ABC AB C 5 cm 4 cm 52 o X 3. Konstrukce : (narýsujeme podle popisu) 4. Závěr: úloha má 1 řešení v dané polorovině p

68 Konstrukce trojúhelníku – věta sss Je dáno: a = 5 cm, b = 3 cm, c = 6 cm. Sestrojte trojúhelník ABC 1. Náčrtek + rozbor : > 6 platí – lze sestrojit B C 5 cm 3 cm 6 cm 2. Popis konstrukce : k l 1.AB; AB = 6cm 2.k; k (A; 3 cm) 3.l; l (B; 5 cm) 4.C; C k l 5. ABC A 3. Konstrukce : (narýsujeme podle popisu) 4. Závěr: úloha má 1 řešení v dané polorovině Konec Menu

69 Konstrukce trojúhelníku – věta sus Je dáno: c = 7 cm, d = 4 cm, γ = 30 o. Sestrojte trojúhelník CDE 1. Náčrtek + rozbor : D E 7 cm 4 cm 2. Popis konstrukce : k l 1. CED; CED = 30 o 2.k; k (E; 4 cm) 3.l; l (E; 7 cm) 4.C; C k EX 5.D; D l EY 6. ABC C 3. Konstrukce : (narýsujeme podle popisu) 4. Závěr: úloha má 1 řešení v dané polorovině 30 o X Y Konec Menu

70 Konstrukce trojúhelníku – věta usu Je dáno: a = 6 cm, β = 50 o, γ = 30 o. Sestrojte trojúhelník ABC 1. Náčrtek + rozbor : B C 6 cm 2. Popis konstrukce : 1.BC; BC = 6 cm 2. BCX; BCX = 30 o 3. CBY; CBY = 50 o 4.A; A CX BY 5. ABC A 3. Konstrukce : (narýsujeme podle popisu) 4. Závěr: úloha má 1 řešení v dané polorovině 30 o X Y 50 o Konec Menu

71 Trojúhelník – popis konstrukce Používané značky:zápis:čteme: Délka úsečkyAB = 5 cmdélka úsečky AB je 5 cm Přímkap nebo AB přímka p nebo přímka AB Polopřímka XYpolopřímka XY Kružnicek ( S, 3 cm)kružnice k se středem S a poloměrem 3 cm PrůnikAB kprůnik úsečky AB a kružnice k Úhel ß nebo CDEúhel nebo úhel CDE Velikost úhlu CDE = 25 0 velikost úhlu XYZ NáležíC bod C náleží Kolmice p ABpřímka p je kolmá na úsečku AB Rovnoběžka r CDpřímka r je rovnoběžná s úsečkou CD Konec Menu

72 Trojúhelník - příklady Sestroj trojúhelník CDE, jestliže znáš: 1)c = 1 dm, d = 6 cm, e = 75 mm 2)c = 7 cm, d = 3 cm, e = 2 cm 3)e = 5 cm, β = 50 o, γ = 30 o 4)e = 6 cm, β = 50 o, d = 5 cm 5)e = 6 cm, v e = 5 cm, d = 4 cm 6)c = 8 cm, v c = 6 cm, β = 50 o 7)e = 7 cm, t e 6 cm, c = 5 cm Konec Menu

73 Krychle – základní pojmy Těleso s 6 stranami délky jehož hran jsou všechny stejné. a a a Povrch (S) – obal je tvořen z obsahu 6 čtverců – pro přehlednost doporučuji nakreslit síť. Výsledek je ve čtverečních jednotkách. S = 6 * a * a = 6 * a 2 a a a Objem (V) – vnitřní prostor je vlastně tvořen ze čtverců skládaných na sebe. Výsledek je v krychlových jednotkách. V = a * a * a = a 3 Konec Menu procvič si:

74 Krychle - příklady Konec Menu 1)Vystřihni a slep krabičku ve tvaru krychle s délkou hrany 5 cm 2)Kolik papíru bylo potřeba na krabičku z předchozího příkladu ( v cm 2 ) 3)A kolik by se vešlo vody do slepené krabičky ( v cm 3 ) 4)Kolik bude stát natření vodní nádrže tvaru krychle s hranou 10 m, když 1 m 2 nátěru stojí 50 Kč. (nezapomeň, že nádrž nemá strop) 5)Kolik se do předchozí nádrže vejde vody, když bude plná až po okraj. zpět

75 Kvádr – základní pojmy Těleso s 6 stranami s různými délkami hran. a b c Povrch (S) – obal je tvořen z obsahu 6 obdélníků, kdy vždy dva protější jsou shodné – pro přehlednost doporučuji nakreslit síť. Výsledek je ve čtverečních jednotkách. S = 2 * (ab + ac+ bc) = 2ab + 2ac + 2bc a b c Objem (V) – vnitřní prostor je vlastně tvořen z obdélníků skládaných na sebe. Výsledek je v krychlových jednotkách. V = a * b * c Konec Menu procvič si:

76 Kvádr - příklady Konec Menu 1)Vystřihni a slep krabičku ve tvaru kvádru s délkou hran 5, 7 a 8 cm 2)Kolik papíru bylo potřeba na krabičku z předchozího příkladu ( v cm 2 ) 3)A kolik by se vešlo vody do slepené krabičky ( v cm 3 ) 4)Kolik bude stát natření bazénu tvaru kvádru s hranami 10, 5 a 2 m, když 1 m 2 nátěru stojí 48 Kč. (nezapomeň, že bazén nemá strop) 5)Kolik se do předchozího bazénu vejde vody, když bude plný 50 cm pod okraj (hloubka je 2 m) zpět

77 Jak rýsujeme tělesa Konec např. krychle s hranou a hrany, které nejsou vidět, rýsujeme přerušovanou čarou Základní pravidla pro rýsování těles: hrany jdoucí „dozadu“ rýsujeme s poloviční délkou hrany jdoucí „dozadu“ rýsujeme pod úhlem 45 o a a/2 Menu


Stáhnout ppt "Matematika na základní škole (díl I. – 6. ročník ) přehled teorie teorie na příkladech příklady na procvičení (pracovní verze) © Petr Veleba, 2006."

Podobné prezentace


Reklamy Google