Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

BRVKA Bernard Bolzano (1781-1848). Zde najdete seznam používaných symbolů a jejich čtení: BRVKA.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "BRVKA Bernard Bolzano (1781-1848). Zde najdete seznam používaných symbolů a jejich čtení: BRVKA."— Transkript prezentace:

1 BRVKA Bernard Bolzano ( )

2 Zde najdete seznam používaných symbolů a jejich čtení: BRVKA

3  Množina je soubor prvků dané vlastnosti, většinou se zapisuje:, kde je ve složené závorce buď výčet prvků nebo jejich charakteristická vlastnost:  O každém prvku lze rozhodnout, zda do množiny patří, zapisujeme nebo nepatří  Pokud množina žádné prvky nemá, je prázdná  Množina M může být podmnožinou jiné množiny L, pokud všechny prvky z M patří i do L. Platí: BRVKA

4  Pole I = množina všech prvků U, které patří do A a zároveň nepatří do B. ROZDÍL množin A a B, v tomto pořadí neboli A mínus B – značení A \ B  Pole II = množina všech prvků U, které patří do A a zároveň do B. PRŮNIK množin A a B, – značení  Pole III = množina všech prvků U, které patří do B a zároveň nepatří do A. ROZDÍL množin B a A, v tomto pořadí neboli B mínus A – značení B \ A  Pole IV = množina prvků U, které nepatří do A ani do B – DOPLNĚK  Pole I+II+III = množina všech prvků U, které patří do A nebo do B SJEDNOCENÍ množin A a B – značení BA U I II III IV Základní množina U je rozdělena na 4 pole, která jsou očíslována I, II, III, IV. A \ BA \ BB \ AB \ A BRVKA

5 o Přirozená čísla N vyjadřují počty prvků konečných množin, počty nedělitelných objektů. Někdy k množině N přidáváme nulu: o Celá čísla Z obsahují nulu, přirozená čísla a čísla k nim opačná: o Racionální čísla Q jsou všechna čísla, která lze zapsat ve tvaru zlomku … kde p je číslo celé a q je číslo přirozené. o Reálná čísla R vyjadřují délky křivek, plochy obrazců, objemy těles a hodnoty reálných funkcí. o Komplexní čísla C jsou složena z reálné a imaginární části. BRVKA

6  To znamená, že každé celé číslo je zároveň i číslem reálným, ale obráceně to neplatí, např. číslo π je reálné, ale není celé.  Reálná čísla, která nejsou racionální se nazývají iracionální.  UZAVŘENOST číselné množiny vzhledem k operaci Pokud provedeme číselnou operaci se dvěma čísly z nějaké číselné množiny, je výsledek operace z téže množiny.  N je uzavřená vzhledem ke sčítání a násobení, ale není uzavřená vzhledem k odčítání ani dělení.  Z je uzavřená vzhledem ke sčítání, násobení a odčítání, ale ne vzhledem k dělení.  Q, R, C jsou uzavřené vzhledem ke všem operacím. Pozn.: nulou se dělit nedá! BRVKA

7  KOMUTATIVNOST operace Při provádění početní operace nezáleží na pořadí čísel.  sčítání a násobení jsou komutativní  odčítání a dělení nejsou komutativní Symbolický zápis:  ASOCIATIVNOST operace Při provádění početní operace se třemi čísly můžeme libovolně „přezávorkovat“, nezáleží na pořadí provedení.  sčítání a násobení jsou asociativní  odčítání a dělení nejsou asociativní Symbolický zápis: BRVKA

8  EXISTENCE NEUTRÁLNÍHO PRVKU Pro neutrální prvek platí: Pozn.: Hvězdička zastupuje nějakou operaci.  Sčítání má neutrální prvek číslo 0 (od Z dále)  Násobení má neutrální prvek číslo 1 (všechny obory)  Odčítání a dělení neutrální prvky nemají. Pomocí neutrální prvku definujeme INVERZNÍ PRVKY:  OPAČNÉ ČÍSLO  PŘEVRÁCENOU HODNOTU Pokud to v dané číselné množině lze.  DISTRIBUTIVNOST NÁSOBENÍ vzhledem ke SČÍTÁNÍ Platí „roznásobení závorek“ BRVKA

9 OSTRÉ NEOSTRÉ Pro ostré uspořádání platí:  TRICHOTOMIE – pro platí právě jedna z možností:  TRANZITIVITA – Podle uspořádání s číslem 0 se reálné číslo x nazývá:  kladné  záporné  nezáporné  nekladné BRVKA

10  Platí:  Absolutní hodnota je: Trojúhelníková nerovnost  GEOMETRICKÝ VÝZNAM absolutní hodnoty je vzdálenost od nuly na číselné ose. 0 BRVKA

11 INTERVALY jsou podmnožiny R s krajními body a,b:  otevřený  uzavřený  polouzavřený  polootevřený Body intervalu, které nejsou krajní, nazýváme vnitřní. OKOLÍ BODU a z R o poloměru r > 0 je definováno: PRSTENCOVÉ OKOLÍ BODU a z R o poloměru r > 0 je: BRVKA

12 ROZŠÍŘENÁ MNOŽINA REÁLNÝCH ČÍSEL je … k R jsme přidali „nekonečna“ Platí: Počítání s ∞: Neurčité výrazy, nelze u nich určit hodnotu, nejsou definovány: BRVKA

13  Jsou dány čtyři podmnožiny množiny přirozených čísel N. Proveďte jejich průniky, sjednocení, oboustranné rozdíly a doplňky do základní množiny.  Jsou dány tři podmnožiny množiny reálných čísel R. Zakreslete je číselnou osu. Proveďte jejich průniky, sjednocení, oboustranné rozdíly a doplňky do základní množiny.  Jdou dána okolí bodů, zakreslete je na číselnou osu, zapište pomocí sjednocení intervalů a množinovým zápisem a najděte jejich doplňky. BRVKA

14  Mocnina a r je součin r stejných činitelů. a je základ mocniny, r je exponent (mocnitel)  Pravidla pro počítání s mocninami: BRVKA Výraz 0 0 není definován.  n-tá odmocnina: a je základ odmocniny, n je odmocnitel Místo pravidel pro odmocniny uvedeme vztah, jak odmocninu převést na mocninu.

15  Následující výrazy zjednodušte: BRVKA

16  Výraz P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + …+ a 2 x 2 + a 1 x + a 0, kde nazýváme polynom (mnohočlen) n-tého stupně a n, a n-1,…se nazývají koeficienty, a 0 je absolutní člen  Sčítání (odčítání) polynomů a násobení reálným číslem provádíme člen po členu: BRVKA  Násobení polynomů mezi sebou provádíme systémem „každý s každým“. Každý člen jednoho polynomu násobíme s každým členem druhého polynomu a vše sečteme.  Vytýkání před závorku (opačný proces k násobení číslem) – každý člen vydělíme vytýkaným číslem, které napíšeme před závorku:

17  Nejdůležitější akcí je (kromě předchozím operací) rozklad na součin, a to buď vytýkáním nebo podle vzorce. Kromě vzorců pro umocňování použitých v obráceném směru používáme vzorec:  Umocňování polynomů – buď podle definice mocniny nebo rychleji podle vzorce: BRVKA Další vzorce pro rozklad: Usměrňování, zbavení se odmocniny ve jmenovateli:

18  Upravte, zjednodušte:  Rozložte na součin:  a další tisíce podobných v jakékoliv sbírce BRVKA

19  Jsou výrazy složené ze zlomků, kde se v čitateli i jmenovateli vyskytují polynomy různého stupně, cílem pak je celý výraz zjednodušit. Součástí úprav je i určení podmínek, za kterých má výraz smysl.

20 BRVKA

21  Upravte lomené výrazy, určete podmínky existence.  a k tomu další a další v jakékoliv sbírce pro SŠ. BRVKA

22  Jsou různých typů a cílem je nalézt proměnnou – kořen rovnice, po jejímž dosazení nastane rovnost výrazů.  Algebraické – na obou stranách jsou polynomy  Nealgebraické – s goniometrickými funkce, logaritmy ….  Při hledání řešení využíváme úpravy rovnic, buď ekvivalentní (které nezmění počet řešení) nebo neekvivalentní (které řešení změnit mohou a jejichž použití vyžaduje zkoušku).  Ekvivalentní: (1) výměna stran rovnice, (2) přičtení libovolného výrazu k oběma stranám, (3) vynásobení obou stran nenulovým výrazem  Neekvivalentní např.: umocnění nebo odmocnění rovnice, logaritmování nebo odlogaritmování ….. BRVKA

23  Velmi obvyklý tvar rovnice …. V(x) = 0, kde V(x) je nějaký výraz, který umíme rozložit na součin jednodušších výrazů…. V(x) = V 1 (x).V 2 (x).V 3 (x)  Vyjdeme-li z toho, že součin se rovná nule právě tehdy, když je aspoň jeden z činitelů roven nule, získáme několik jednodušších rovnic: V 1 (x) = 0, V 2 (x) = 0, V 3 (x) = 0, …které umíme vyřešit. Řešení původní rovnice je potom sjednocením dílčích řešení. BRVKA

24  Každá kvadratická rovnice má diskriminant D, což je číslo, které mimo jiné určuje počet řešení: D < 0 – žádné řešení D = 0 – jedno řešení – dvojnásobný kořen D > 0 – dvě různá řešení  Pro kvadratický trojčlen dále platí tzv. Viétovy vztahy:  Kvadratický trojčlen lze rozložit na součin: BRVKA

25  V oboru reálných čísel řešte rovnice: BRVKA

26  V oboru reálných čísel řešte rovnice v součinovém tvaru:  Z následujících výrazů vytkněte nejvyšší mocninu:

27 A to je pro dnešek vše, děkuji za pozornost. BRVKA


Stáhnout ppt "BRVKA Bernard Bolzano (1781-1848). Zde najdete seznam používaných symbolů a jejich čtení: BRVKA."

Podobné prezentace


Reklamy Google