Co dnes uslyšíte ? Křivky – Určení Analytický popis křivek Rovinné křivky Prostorové křivky Parametrizace křivek Transformace parametru Body na křivce Délka křivky Oskulační, normálová a rektifikační rovina Frenetův trojhran Křivost, oskulační kružnice Příklady

Křivky str. 109-116

Určení křivky Modely objektů, kdy jsou dvě dimenze vůči 3. zanedbatelné – dráty, lana, koleje... Empirické křivky Graf funkce Průsečnice dvou ploch Křivky definované rovnicí Křivky pro CAD systémy

Analytický popis křivek Rovinná křivka Parametrický tvar X(t) = [x(t);y(t);0] = [x(t);y(t)], tI Explicitní tvar (graf funkce) y=f(x)  X(t) = [t;y(t);0], tI Implicitní tvar f(x,y)=0 Polární souřadnice ρ=f(φ)  X(φ) = [ρ.cos φ; ρ.sin φ;0], φI parabola y=x2  X(t) = [t; t2;0], tR kružnice x2 +y2 -1=0 Archimédova spirála r=k.f, k0, kR

Analytický popis křivek Prostorové křivky Parametrický tvar X(t) = [x(t);y(t);z(t)], tI Průsečnice dvou ploch Šroubovice X(t) = [r.cos t;r.sin t;vot], tR Přímka jako řez roviny x-z-1=0 rovinou y+z-1=0

Parametrizace křivky Vektorová funkce X: IR  R3 X(t) = [x(t), y(t), z(t)], t  I, x, y, z = funkce reálné proměnné x, y, z = spojité v I X’(t) = (x’(t), y’(t), z’(t)) ≠ (0, 0, 0) pro všechny t  I X = parametrizace křivky. str. 111

Transformace parametru Parabola K: X(t) = [t; t2], tI Transformace t = v + 2, vJ Křivka Q: Y(v) = X(v+2) = [v + 2; v2+4v+4], vJ K = {X(t), tI} Q = {Y(v), vJ} K = Q Dvě parametrizace jednoho geometrického obrazu křivky.

Body na křivce Parametrizace křivky X(t) = [x(t), y(t), z(t)], t  I. Singulární bod: X’(t0)=(0, 0, 0) nebo X’(t0) neexistuje. prvního druhu … parametrizace Y(v) taková, že X(t0)=Y(v0) a Y’(v0) existuje a Y’(v0)≠(0, 0, 0), druhého druhu … ostatní případy. str. 111

Body na křivce Parametrizace křivky X(t) = [x(t), y(t), z(t)], t  I. Inflexní bod: X’(t), X’’(t) existují X’(t0), X’’(t0) jsou lineárně závislé. str. 111

Délka křivky Délka s křivky K určené X(t) mezi body a=X(ta) a b=X(tb):

Oskulační, normálová a rektifikační rovina Křivka X(t) = [x(t), y(t), z(t)]. Vektor tečny X’(t) = (x’(t), y’(t), z’(t)) X’’(t) = (x’’(t), y’’(t), z’’(t)) X(t) = neinflexní bod (X’(t), X’’(t) lineárně nezávislé). Normálová rovina ν  tečně t. Oskulační rovina ω: {X(t0), X’(t0), X’’(t0)}. Hlavní normála n  ν  ω. Rektifikační rovina ρ  hlavní normále n. Binormála b  ν  ρ.

Frenetův trojhran Frenetův trojhran = uspořádaná trojice vektorů {T, N, B}. Rovinná křivka daná explicitně y=f(x): str. 116

Křivost Parametrizace X(t) křivky K, t je parametr, křivost křivky v bodě X(t) je: Rovinná křivka daná explicitně y=f(x): str. 114

Oskulační kružnice Kružnice, která leží v oskulační rovině bodu T=X(to) křivky K, má střed S ležící na hlavní normále n bodu T a poloměr r =r(to)=1/k(to). Oskulační kružnice a křivka mají stejnou tečnu i křivost. str. 112-113

Oskulační kružnice Oskulační kružnice v bodě T=X(to): Poloměr r: r =1/k(to) Střed S: S=X(to)+r N(to), kde N(to) je jednotkový vektor hlavní normály n v T. Implicitní rovnice oskulační kružnice rovinné křivky: (x-s1)2 + (y-s2)2 = r2. str. 112-113

Oskulační kružnice Př.: Určete rovnici oskulační kružnice křivky y=x3/3 v bodě T=[1,?].

Oskulační kružnice Př.: Určete rovnici oskulační kružnice křivky y=x3/3 v bodě T=[1,?].

Příklad Určete funkci křivosti paraboly y=x2. Určete funkci křivosti šroubovice.

Oskulační kružnice elipsy

Oskulační kružnice prosté cykloidy