Vektorová grafika.

Prezentace na téma: "Vektorová grafika."— Transkript prezentace:

1 Vektorová grafika

2 Vektorové entity Úsečka Kružnice, elipsa, kruhový oblouk,…
Složitější křivky, splajny, Bézierovy křivky, … Plochy Tělesa Modely

3 Interpolace Křivka prochází přímo zadanými body

4 Interpolace polynomem
Lineární – 2 body Kvadratická – 3 body Polynom n-tého stupně – n+1 bodů

5 Lineární interpolace

6 Kvadratická interpolace

7 Interpolace polynomem 4 stupně
Interpolované body: (-2,4) (-1,0) (0,3) (1,1) (2,-5) Rovnice: 16a -8b +4c -2d + e = 4 a - b + c -d +e = -3 e = 3 a + b + c + d +e = 1 16a +8b +4c +2d +e =-5 Řešení: a=0.458 b=-0.75 c=-2.95 d= e=3 Funkce: 0.458*x^4-0.75*x^3-2.95*x^2+1.25*x+3

8 Spline křivka Křivka se skládá z úseků vyjádřených polynom nižšího stupně, než odpovídá počtu bodů. Křivky na sebe v hraničních bodech hladce navazují

9 Lineární „spline“ Polynomy prvního stupně.
V hraničních bodech na sebe navazují spojitě. Není zaručena spojitost ani první derivace. Česky se tomu říká lomená čára

10 Kvadratický spline Křivka jsou úseky parabol.
V hraničních bodech na sebe paraboly hladce navazují – mají spojitou první derivaci. Další derivace nemusí být (a obvykle nejsou) spojité. Je nejpoužívanější, pokud se řekne jen spline, myslí se obvykle kvadratický spline (viz AutoCAD)

11 Kvadratický spline

12 Spline křivky vyšších stupňů
Kubický – funkce po částech 3-tího stupně (kubika), zaručuje spojitost první a druhé derivace Obecný (n-tého stupně), zaručuje spojitost (n-1). derivace.

13 Aproximační křivky Nemusí procházet přímo zadanými body.
Formálně lze za aproximační křivku považovat libovolnou křivku. Problém je nalézt takové vyjádření, které bude Jednoduché Bude dostatečně dobře aproximovat danou křivku

14 Aproximace metodou nejmenších čtverců
Zvolím typ funkce (obvykle polynom nižšího stupně, než by byl potřeba pro interpolaci bodů). Vypočítám takové parametry, aby součet čtverců odchylek v zadaných bodech byl minimální. ∑(yi-f(xi))2→ min

15 Metoda nejmenších čtverců

16 Bézierova aproximace (Bézierova křivka)
Aproximace polynomem daného stupně n-tý stupeň pro n+1 bodů P0,P1,…,Pn Křivka prochází krajními body P0 a Pn Tečna v počátečním bodě P0 je rovnoběžná s vektorem P0P1. Tečna v koncovém bodě Pn je rovnoběžná s vektorem Pn-1 Pn Celá křivka leží v konvexním obalu bodů P0, … ,Pn

17 Pierre Ettiene Bézier (1910-1999)

18 Vyjádření Bézierovy křivky

19 Lineární Bézierova křivka
B(t) = (1-t).P0 + t.P1 Parametrická rovnice úsečky

20 Kvadratická Bézierova křivka
B(t) = (1-t)2P0 + 2t(1-t)P1 + t2P2

21 Kubická Bézierova křivka
B(t) = (1-t)3P0 + 3t(1-t)2P1 + 3t2(1-t)P2 + t3P3

22 Bézierovy křivky vyšších řádů
Příklad vzorce pro křivku 5.stupně

23 B-spline Úseky Bézierových křivek nižších stupňů (obvykle kvadratické a kubické křivky) budou v krajních bodech na sebe hladce navázány.

24 Příklad B spline křivky
6 řídících bodů → 2 paraboly (2 Bézierovy křivky 2, stupně)

25 Rasterizace Regenerace Rasterizace úsečky (například DDA algoritmus)

26 Vektorizace Ruční Automatická Poloautomatická

27 Vektorové kreslení Metody zadávání souřadnic
Polohovací zařízení (myš, digitizér) Číselně z klávesnice Kartézské souřadnice Absolutní Relativní Polární souřadnice Uchopovací režim (Snap) Souřadnicové filtry

28 Cvičný příklad 7. Filtr .x a uchopení mid + relativní kartézská s.
4. Relativní polární 6. Uchopení int 3. Relativní polární s. 8. Uchopení endp 2. Relativní kartézská s. Zadat myší 5. Uzavřít křivku