Matematika Elipsa

Výukový materiál Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0608 Šablona: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo materiálu: 06_02_32_INOVACE_10

Financováno z ESF a státního rozpočtu ČR. ELIPSA Předmět: Matematika Ročník: 3. Jméno autora: Mgr. Hana Gaďurková Škola: SPŠ Hranice Anotace : obsahuje ukázkově řešené příklady a příklady k procvičení určování rovnic elipsy Klíčová slova: elipsa, ohnisko, osa, poloosa, středová rovnice, obecná rovnice Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Hana Gaďurková Financováno z ESF a státního rozpočtu ČR.

ELIPSA Co to vlastně je ELIPSA? Elipsa je kuželosečka. Elipsa je množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou bodů (ohnisek elipsy F1, F2) konstantní součet vzdáleností kde je délka hlavní osy elipsy.

Jak vypadá elipsa? obr. 1

S[m;n] střed elipsy A, B hlavní vrcholy o1 hlavní osa elipsy C, D vedlejší vrcholy o2 vedlejší osa elipsy F1, F2 ohniska elipsy X[x;y] libovolný bod elipsy délka hlavni osy délka vedlejší osy délka hlavní poloosy délka vedlejší poloosy excentricita (ohnisková vzdálenost,výstřednost)

Středová rovnice elipsy hlavní osa o1 je rovnoběžná s osou x

Středová rovnice elipsy hlavní osa o1 je rovnoběžná s osou y

Příklad 1 Určete středovou a obecnou rovnici elipsy se středem S[-4;3] a jejím bodem A[-1;4], je–li .

Řešení příkladu 1 Středová rovnice má tvar Po dosazení souřadnic středu S, bodu A a délky hlavní poloosy dostaneme: Středová rovnice má tedy tvar:

Řešení příkladu 1 středovou rovnici upravíme na rovnici obecnou: …obecná rovnice elipsy

Příklad 2 Určete souřadnice středu, délky poloos, excentricitu a souřadnice ohnisek elipsy, která je daná obecnou rovnicí .

Řešení příkladu 2 Obecnou rovnic musíme převést do středového tvaru:

Řešení příkladu 2 Dostali jsme středovou rovnici: Odtud: střed S[2;-3], délky poloos Excentricitu vypočítáme ze vztahu: Souřadnice ohnisek nejlépe po náčrtku:

Úlohy k samostatnému řešení

1) Napište středovou a obecnou rovnici elipsy se středem S[0;0], je – li dáno: 2) Určete středovou rovnici elipsy se středem S[0;0] a jejím bodem M, je–li dáno: 3) Elipsa je určena hlavní osou AB, A[-4;0], B[4;0] a vedlejší osou CD, C[0;-1,5], D[0;1,5]. Napište její obecnou rovnici a určete polohu ohnisek. 4) Stanovte souřadnice středu, délky poloos a excentricitu elipsy, je–li dána rovnicí:

Řešení příkladů: 1) 2) 3) 4)

Použité zdroje: obr. 1, obr. 2, obr. 3 archiv autora Části textu použity z učebnice: HUDCOVÁ, Milada; KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. PRAHA: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-165-5