Počítačová grafika a CAD 2 Opravená verze prezentace
Požadavky Zápočet: Odevzdání funkčních programů Zkouška: Společná s PGC1
Fraktální geometrie
Kochova vločka Niels Fabian Helge von Koch (25. ledna 1870 Stockholm – 11. března 1924 Stockholm)
Sierpinského koberec
Mengerova houba
Mandelbrotova množina
Juliova množina
Přirozené fraktály
Soběpodobnost http://en.wikipedia.org/wiki/Self-similarity
Matematická definice Fraktál je útvar, jehož Hausdorfova dimenze je větší než dimenze geometrická
Hausdorfova (fraktální) dimenze Délka Kochovy vločky 3 4/3 * 3 = 4 4/3*4/3*3 = 5,33 (4/3)3*3=7,11 (4/3)n*3 →∞
Plocha Sierpinskeho koberce Plocha děr 1/9 8/9 * 1/9 (8/9)2 * 1/9 (8/9)n * 1/9 Celkem 1/9 * ∑(8/9)i = 1 Plocha zbytku (koberce) = 0
U nefraktálních útvarů Zjemním měřítko s krát, počet naměřených úseků se změní dD krát, D je geometrická dimenze
Dimenze Kochovy vločky Kochova křivka 5 iterací křivky
Dimenze Kochovy vločky Kochova křivka 3 x zjemnění => 4 x délka s = 3 => N = 4 D = logN/logs = log4/log3 = 1.261895
Další Hausdorfovy dimenze Sierpinskeho koberec 1,58 Mengerova houba 2,72 Peanova křivka 2 Mořské pobřeží 1,02 – 1,25
Polynomické fraktály Definován rekurzivní předpis Kn+1 = f(kn) Pokud pro počáteční hodnotu k0 posloupnost konverguje, je hodnota k0 prvkem fraktálu
Mandelbrotova množina
Mandelbrotova množina Část roviny komplexních čísel z0 = 0, zn+1 = zn2 + c Mandelbrotova množina je množina všech takových c, pro které posloupnost z nejde do nekonečna.
Příklady bodů C Z0 Z1 Z2 Z3 Z4 0 + 0i 0,0 1+0i 1,0 2,0 5,0 26,0 -1+0i -1,0 ½+1/2 I -0.75,0.5 -0.43,-0.75 1.69,0.65 1.54,2.21 -2.04,6.87
Test Po absolutní hodnota některého členu přesáhne 2, jde posloupnost do nekonečna.
Algoritmus Pro danou hodnotu c generuji členy posloupnosti zn. Pokud dostanu člen s absolutní hodnotou větší než 2, bod v M.m. nelží. Mohu ho obarvit barvou podle kroku, kdy se na to přišlo. Pokud se po předem stanoveném počtu kroků k takovému bodu nedostanu, bod ponechám v aproximaci M.m.
Zobrazovač Mandelbrotovy množiny <A HREF="http://kmlinux.fjfi.cvut.cz/~pausp1/html/skola/fraktaly/download/fractal.zip">