Deterministický chaos

Prezentace na téma: "Deterministický chaos"— Transkript prezentace:

1 Deterministický chaos

2 Fázové trajektorie systému 2, řádu s komplexními kořeny – lineární oscilátor

3 Jednoduché kyvadlo bez tření
Přirozená frekvence

4 Dynamika kyvadla Podle 2. zákona Newtonova Po úpravě Po
Nelineární systém (sin θ). Pro male odchylky (výkyvy) sinθ  θ a systém můžeme považovat za lineární Pro θ  70

5 Rovnice kyvadla Řešení – závislost úhlu vychýlení na čase θ(t) = A cos (0 t + φ) Fázová trajektorie t [s]

6 Chování kyvadla v celém oboru výchylek
Bod A(0,0) lokálně stabilní rovnovážný stav Bod B(0,π) nestabilní rovnovážný stav

7 Systém vyššího řádu – dvojité kyvadlo
Velké výchylky Malé výchylky

8 Kyvadlo zavěšené na pružině

9 Ekosystém – Verhulstova logistická rovnice (též Volterra Lotka)
Xn …relativní počet jedinců určitého druhu (1-xn) …vliv okolí (predátoři) r…..řídicí parametr - rychlost růstu populace Pro velmi malý počet jedinců lze kvadratický člen zanedbat a předpokládat lineární růst populace

10 Bifurkace Bifurkační diagram pro r < 3 dynamická rovnováha
Pro r > 3 střídání dvou stavů

11 Chování systému popsaného logistickou rovnicí
r = 2, r = 3,25 r = 3, r = 4 (chaos)

12 Jak zjistíme, že jde o chaotický systém?
Posoudíme jeho závislost na počátečních podmínkách Vývoj diference mezi trajektoriemi pro r=3,64 a x0= 0,5 a x0 = 0,5001 (logistická rovnice)

13 Citlivost na změnu parametrů
k rk 1 2 3 4 5 6 7 8

14 Samopodobnost Zdvojení periodicity vypadá podobně nezávisle va měřítku

15 Lorenzovo „vodní kolo“
Jeden z prvních podivných atraktorů

16 Lorenzův model konvektivního proudění v atmosféře
Railegh – Bénardova nestabilita

17 Bénardova- Raileighova nestabilita

18 Fotografie B-R buněk

19 Lorenzovy rovnice - matematický model
x….rychlost proudění y….teplotní diference mezi stoupavým a klesavým tokem z…teplotní diference mezi hranicemi vrstvy, ve které probíhá proudění σ, r, b, konstanty Lorentzův atraktor

20 Mandelbrotovy otázky Jakou dimenzi má klubko provázku? (3d)
Když ho ale rozmotáme má 1d Sestává z vláken, která se rozpadají v body s dimenzí 0 Richardson - jaká je délka pobřeží Britanie? Závisí na použité jednotce měření.

21 IBM - Analýza šumu na základě podobnosti s Cantorovým diskontinuem –“Cantorův prach“ (Cantorovo mračno).

22 Kochova vločka (hvězdička)

23 Sierpinského trojúhelník

24 Mengerova Houba Nekonečně velký povrch ale nekonečně malý objem

25 Fraktální dimenze U nefraktálních objektů se zmenšováním délky měřidla (jednotky) se blížíme nějaké limitě U fraktálních objektů délka neustále roste (Richardsonův efekt) Neceločíselné dimenze

26 Hausdorfova dimenze Máme rozdělit úsečku na N stejných dílů
Délka jednoho dílu r = 1/N Rozdělit čtverec na 25 stejných dílů „Délka“ jednoho dílu r = 1/N2 Rozdělit krychli na 125 stejných dílů „Délka jednoho dílu r = 1/N3 Obecně r = 1/ND Kde d je tzv. topologická dimenze

27 Vyjádříme dimenzi N označujeme jako faktor změny délky r jako faktor změny měřítka

28 Příklad Kochova křivka
Při každé transformaci délka se změní na 1/3 Počet samopodobných úseků N = 4 D = log 4 / log 3 = D ….. Fraktální dimenze

29 Sierpinského trojúhelník

30 Praktické použití Nůžkový mechanismus odpružené sedačky řidiče

31 Atraktor a časové průběhy

32 L – Systémy Aristid Lindenmayer + Karel Čulík
Struktury generované pomocí gramatik (původně model buněčného růstu) Gramatika G = <VN, VT, P, S> GCantor=[V,P,S] V={F,G} P={F→FGF, G→GGG} S=F

33 Generování jednoduchých stromových struktur

34 Palmy generované pomocí L - systému

35 Krajina generovaná pomocí L - systému

36 Aplikace deterministického chaosu
Analýza EEG, EKG Únava řidiče Analýza chování elektrických obvodů Kódování Modulace

37 Analýza EEG

38 Analýza elektrických obvodů Chuův oscilátor
Zapojení Chuova oscilátoru Chuův atraktor

39 Komunikační aplikace Superpozice chaotického signálu
Chaotické klíčování (moduluje se nějaký parametr chaotického systému) Fraktální komprese obrázku (nalezení formálního popisu atraktoru generujícího daný obrázek)