MATEMATIKA Logaritmické rovnice

Název projektu: Nové ICT rozvíjí matematické a odborné kompetence Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0228 Název školy: Střední odborná škola Litovel, Komenského 677 Číslo materiálu: III-2-08-16_Logaritmicke-rovnice Autor: Mgr. Stanislav Prucek Tematický okruh: Matematika Ročník: I. Datum tvorby: prosinec 2013 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Stanislav Prucek

𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒔=𝒗, právě když 𝒂 𝒗 =𝒔 LOGARITMUS Logaritmus s o základu a je tedy takové číslo v, pro něž platí: umocníme-li jim číslo a, dostaneme s; přitom 𝑎∈ 𝑹 + − 𝟏 , 𝑠∈ 𝑹 + . 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒔=𝒗, právě když 𝒂 𝒗 =𝒔 Pro každé 𝑎∈ 𝑅 + − 1 a pro každé 𝑠∈ 𝑅 + platí 𝒔= 𝒂 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒔 . Pro každé 𝑎∈ 𝑅 + − 1 platí: a) 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒂=𝟏 b) 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝟏=𝟎

? ? ? Určete: 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟑𝟐 𝑙𝑜𝑔 2 32=v, právě když 2 𝑣 =32 2 𝑣 = 2 5 𝑣=5 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟑𝟐=𝟓 ? Určete: 𝒍𝒐𝒈 𝟎,𝟐 𝟏𝟐𝟓 𝑙𝑜𝑔 0,2 125=v, právě když 0,2 𝑣 =125 (5 −1 ) 𝑣 = 5 3 𝑣=−3 𝒍𝒐𝒈 𝟎,𝟐 𝟏𝟐𝟓=−𝟑 ? Určete: 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟎 𝒙=𝟑 𝑙𝑜𝑔 10 𝑥=3, právě když 10 3 =𝑥 𝐱=𝟏𝟎𝟎𝟎 zpět zpět

VĚTY O LOGARITMECH 1. Pro každé 𝑎∈ 𝑅 + − 1 a pro všechna 𝑥,𝑦∈ 𝑅 + platí 𝒍𝒐𝒈 𝒂 (𝒙∙𝒚)= 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 +𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒚. 2. Pro každé 𝑎∈ 𝑅 + − 1 a pro všechna 𝑥,𝑦∈ 𝑅 + platí 𝒍𝒐𝒈 𝒂 (𝒙∙𝒚)= 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 +𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒚. 3. Pro každé 𝑎∈ 𝑅 + − 1 , pro všechna 𝑥∈ 𝑅 + a pro všechna 𝑦∈𝑅 platí 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 𝒚 =𝒚∙ 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙. zpět

Je-li 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙= 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒚, pak 𝒙=𝒚. LOGARITMICKÉ ROVNICE Pro každé kladné reálné číslo a různé od 1 a pro všechna kladná reálná čísla x, y platí: Je-li 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙= 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒚, pak 𝒙=𝒚. zpět

? 𝑙𝑜𝑔 𝑥+2 𝑥−1 =𝑙𝑜𝑔 10 2 4 𝒍𝒐𝒈 𝒙+𝟐 𝒙−𝟏 =𝒍𝒐𝒈𝟐𝟓 Řešte rovnici: 𝒍𝒐𝒈 𝒙+𝟐 −𝒍𝒐𝒈 𝒙−𝟏 =𝟐−𝒍𝒐𝒈𝟒 log 𝑥+2 −log⁡(𝑥−1)=2∙𝑙𝑜𝑔10−𝑙𝑜𝑔4 𝑙𝑜𝑔 𝑥+2 𝑥−1 =𝑙𝑜𝑔 10 2 4 𝒍𝒐𝒈 𝒙+𝟐 𝒙−𝟏 =𝒍𝒐𝒈𝟐𝟓 Užijeme předchozí větu: 𝒙+𝟐 𝒙−𝟏 =𝟐𝟓 𝑥+2=25𝑥−25 𝒙= 𝟗 𝟖 Rovnice má jedno řešení 𝑷= 𝟗 𝟖 . zpět zpět

? Řešte rovnici: 𝟐∙𝒍𝒐𝒈 𝒙−𝟐 =𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟒−𝒙 𝐥𝐨𝐠 𝒙−𝟐 𝟐 =𝐥𝐨𝐠⁡(𝟏𝟒−𝒙) 𝐥𝐨𝐠 𝒙−𝟐 𝟐 =𝐥𝐨𝐠⁡(𝟏𝟒−𝒙) Užijeme předchozí větu: (𝒙−𝟐) 𝟐 =𝟏𝟒−𝒙 𝑥 2 −4𝑥+4=14−𝑥 𝒙 𝟐 −𝟑𝒙−𝟏𝟎=𝟎 𝒙 𝟏,𝟐 = − −𝟑 ± (−𝟑) 𝟐 −𝟒∙𝟏∙(−𝟏𝟎) 𝟐∙𝟏 = 𝟑± 𝟒𝟗 𝟐 = 𝟑±𝟕 𝟐 = 𝟓 −𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝒙−𝟐 je ale definován pouze pro 𝒙>𝟐, číslo -2 tedy není kořenem dané rovnice. Rovnice má jedno řešení 𝑷= 𝟓 . zpět zpět

Anotace: Tato prezentace slouží k výkladu Logaritmických rovnic. Žáci pomocí ekvivalentních úprav a větách o logaritmech řeší příklady na dané téma. Použité zdroje: Doc. RNDr. Oldřich Odvárko , DrSc. a kol.: Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU, 2. část, 6. vydání 1996, Prometheus, ISBN 80-7196-042-X Doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc. a kol.: Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU, 3. část, 5. vydání 1996, Prometheus, ISBN 80-7196-039-X Doc. RNDr. František Jirásek, DrSc. a kol.: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU, 1. část, 5. vydání 1986, Prometheus, ISBN 80-85849-55-0 František Janeček: Sbírka úloh z matematiky pro střední školy - VÝRAZY, ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY, 4. vydání 2002, Prometheus, ISBN 80-7196-076-4 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Stanislav Prucek zpět