Matematika Variace

Výukový materiál Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0608 Šablona: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo materiálu: 06_02_32_INOVACE_13

Financováno z ESF a státního rozpočtu ČR. VARIACE bez opakování Předmět: Matematika Ročník: 3. Jméno autora: Mgr. Hana Gaďurková Škola: SPŠ Hranice Anotace : prezentace obsahuje ukázkově řešené příklady a příklady k procvičení počtu variací bez opakování Klíčová slova: variace bez opakování, třída, počet prvků Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Hana Gaďurková Financováno z ESF a státního rozpočtu ČR.

V(k, n) variace k-té třídy z n prvků

Trocha opakování… Počet variací: V(k, n) = n.(n-1).(n-2)…(n-k+1), kde k, n jsou přirozená čísla, k ≤ n POZOR! Záleží na pořadí prvků!!! A teď můžeme jít na příklady… 

Příklad 1 Určete počet variací: Řešení: a) V(2,6) = 6.5 = 30 b) V (4, 7) = c) V (5, 9) = d) V (3, 12) = e) V (7, 8) = Řešení: a) V(2,6) = 6.5 = 30 b) V(4,7) = 7.6.5.4 = 840 c) V(5,9) = 9.8.7.6.5 = = 15 120 d) V(3,12) = 12.11.10 = = 1 320 e) V(7,8) = 8.7.6.5.4.3.2 = = 40 320

Příklad 2 – řešte rovnice: a) V(2, x-5) = 12 Řešení a) (x-5).(x-6)=12 x2 – 11x + 30 – 12 = 0 x2 – 11x + 18 = 0 (x – 2)(x – 9) = 0 x1 = 2 nevyhovuje zadání! 2-5 ≤ 2! x2 = 9 vyhovuje!

Příklad 2 – řešte rovnice: b) V(2, x+2) = 90 Řešení b) (x+2).(x+1) = 90 x2 + 3x + 2 – 90 = 0 x2 + 3x - 88 = 0 (x + 11)(x – 8) = 0 x1 = -11 nevyhovuje zadání! -11+2 ≤ 2! x2 = 8 vyhovuje!

⌂ doma vyzkoušejte  V(2, x – 3) = 56 V(2, x) = 30

Příklad 3 Urči kolik různých přirozených čtyřciferných čísel je možné sestavit z čísel 1, 2, 3, 4 a 5. a) Kolik z nich je dělitelných pěti? b) Kolik z nich je sudých?

Řešení př. 3 Vybírám 4 čísla z 5 → ◦◦◦◦ V(4, 5) = 5.4.3.2 = 120 čtyřciferných čísel Dělitelná 5: musí končit 5 → ◦◦◦5 V(3, 4) = 4.3.2 = 24 je dělitelných 5 Sudá čísla: musí končit 2, 4 → ◦◦◦2 → ◦◦◦4 2.V(3, 4) = 2.24 = 48 je jich sudých

Příklad 4 K sestavení vlajky, která má být složena ze tří různobarevných vodorovných pruhů, jsou k dispozici látky barvy bílé, červené, modré, zelené a žluté. a) Urči počet všech vlajek, které lze z látek těchto barev sestavit. b) Kolik z nich má modrý pruh? c) Kolik vlajek má modrý pruh uprostřed? d) Kolik vlajek nemá uprostřed modrý pruh?

Řešení př. 4a Sestavujeme uspořádanou trojici z pěti prvků (záleží, který z pruhů má kterou barvu), tedy 3člennou variaci z pěti prvků → počet takových vlajek: V(3, 5) = 5.4.3 = 60

Řešení 4b - kolik z nich má modrý pruh K modrému pruhu na vlajce musíme vybrat dvě barvy ze čtyř zbývajících do dvou volných pruhů → V (2, 4) možností. Všechny uvedené možnosti můžeme vystřídat s jedním ze tří možných umístění modrého pruhu → počet možností: 3.V (2, 4) = 3.4.3 = 36 vlajek má modrý pruh (kdekoliv)

Řešení 4c kolik z nich má modrý pruh uprostřed? vybíráme dvě barvy ze 4 zbylých na volné pruhy → V(2, 4) = 4×3 =12 možností → 12 vlajek má uprostřed modrý pruh

Řešení 4d kolik z nich nemá modrý pruh uprostřed? 60 vlajek je celkem 12 vlajek má uprostřed modrý pruh 60 – 12 = 48 vlajek nemá uprostřed modrý pruh

CITACE: Části textu použity z učebnice: HUDCOVÁ, Milada; KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. PRAHA: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-165-5 Ilustrace www.office.microsoft.com