Voroného (Voronoi) diagramy

Prezentace na téma: "Voroného (Voronoi) diagramy"— Transkript prezentace:

1 Voroného (Voronoi) diagramy

2 Georgij Fedosjevič Voronoj 1868-1908

3 Formulace úlohy Vstup: Množina P={p1,p2,…pn} bodů v R2
Výstup funkce f: R2 → P, která každému bodu x z R2 přiřadí nejbližší bod p z P Množinu všech bodů x, pro které f(x)=pi nazýváme Voronojovou buňkou bodu pi

4 Hledání nejbližší stanice metra

5 Terminologie

6 Vlastnosti Voroného diagramu
V.D. je rovinný graf Voroného buňky jsou konvexní útvary Voroného buňka bodu p je neomezená, právě když bod p leží na hranici konvexního obalu množiny P.

7 Odhad počtu buněk diagramu
Z Eulerovy formule plyne B <= 2n – 4 H <= 3n - 6

8 Voroného diagramy pro pravidelné množiny

9 Poštovní problém Voroného diagram nad okresními městy ČR

10 Další vlastnost diagramu
Bod q je Voroného vrcholem mezi buňkami pi,pj a pk. Pak body pi,pj a pk leží na jedné kružnici se středem v bodě q

11 Souvislost Voroného diagramu a Deleanuy triangulace
Body pi a pj jsou spojeny hranou v D.T. právě když jejich Voroného buňky mají společnou hranu Voroného vrcholy ve V.D. jsou středy kružnic opsaných trojúhelníkům D.T.

12 Metody konstrukce V.D. Nepřímé Přímé Vytvořím Deleunay triangulaci
Spojím středy kružnic opsaných trojúhelníkům D.T. Přímé Inkrementální konstrukce Algoritmus zametací přímky

13 Inkrementální konstrukce Voroného diagramu

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23 Inkremetální konstrukce složitější situace při vložení vrcholu

24 Zametací (sweep) křivka parabola obsahující body stejně vzdálené od daného bodu a dané přímky

25 Algoritmus zametací křivky
Nad každým bodem vstupní množiny vytvořím kužel s úhlem u vrcholu rovným ω (např. 45 stupňů) Vytvořím pomocnou rovinu r svírající s rovinou xy úhel ω Rovina r se bude pohybovat ve směru osy y Průsečnice roviny r a jednotlivých kuželů tvoří v rovině xy parabolické oblouky Průsečíky těchto oblouků jsou Voroného vrcholy

26 Sweeping algoritmus

27 Sweeping algoritmus (typická situace)