Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Teorie systémů a operační analýza1 Simplexová metoda pro známé počáteční řešení úlohy LP RNDr. Jiří Dvořák, CSc.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Teorie systémů a operační analýza1 Simplexová metoda pro známé počáteční řešení úlohy LP RNDr. Jiří Dvořák, CSc."— Transkript prezentace:

1 Teorie systémů a operační analýza1 Simplexová metoda pro známé počáteční řešení úlohy LP RNDr. Jiří Dvořák, CSc.

2 TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení2 Kanonický tvar úlohy LP Uvažujme úlohu ve standardním tvaru (a) kde A je typu (m,n). Řekneme, že úloha (a) je v kanonickém tvaru, když matice A obsahuje jednotkovou matici typu (m,m).

3 TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení3 Kanonický tvar úlohy LP a bázické řešení Nechť úloha (a) je v kanonickém tvaru a nechť b  0. Zvolme bázi B = E a označme x B … vektor bázických proměnných, x N … vektor nebázických proměnných. Bázické řešení: x N = 0 x B = b

4 TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení4 Speciální případ úlohy LP Předpokládejme úlohu LP v kanonickém tvaru, kde jednotková matice je tvořena posledními m sloupci matice A a kde b  0. Nebázické proměnné: x N = (x 1, x 2, …, x n–m ) T Bázické proměnné: x B = (x n–m+1, x n–m+2, …, x n ) T Bázické řešení: x 0 = (0, …,0, b 1, b 2, …, b m ) T Obecné řešení: Nebázické proměnné x 1, x 2, …, x n–m jsou volné a bázické proměné jsou určeny vztahem

5 TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení5 Úprava účelové funkce Účelovou funkci vyjádříme pomocí nebázických proměnných: po úpravě dostaneme

6 TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení6 Prověření optimality bázického řešení Označme: Pak a f(x 0 ) = F. Nechť x 1 = (0, …,, …,0,  1, …,  m ) T, kde > 0 se nachází na s-té pozici a  i = b i – a is. Potom f(x 1 ) = F –  s. Je-li tedy  s < 0, pak řešení x 0 není optimální, neboť hodnotu účelové funkce lze zvětšit o hodnotu (–  s ).

7 TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení7 Nové řešení musí být přípustné Aby řešení x 1 bylo přípustným řešením dané úlohy LP, musí splňovat podmínky nezápornosti x 1  0. Hodnota > 0 tedy musí být řešením soustavy nerovnic b i – a is  0, i = 1, …,m. Je-li a ps  0, pak odpovídající nerovnice je splněna pro jakoukoli kladnou hodnotu a může být tudíž vynechána. Řešením zbylé soustavy nerovnic je podmínka

8 TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení8 Nové řešení musí být bázické Aby řešení bylo bázické, musí být některá dosavadní bázická proměnná anulována. Položíme-li bude anulována proměnná x n–m+r, kde r je určeno vztahem neboť x n–m+r = b r – a rs.

9 TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení9 Kanonický tvar odpovídající nové bázi K nové bázi B 1 patří s-tý sloupec matice A a sloupce s indexy n–m+i pro i = 1, …, m, i  r. Nový kanonický tvar získáme eliminační metodou, při níž s-tý sloupec matice A upravíme na jednotkový a zachováme jednotkové sloupce s indexy n–m+i pro i = 1, …, m, i  r.

10 TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení10 Algoritmus simplexové metody Mějme výchozí přípustné bázické řešení x 0. Položme k = 1, x k = x 0, A (k) = A, b (k) = b. Simplexový algoritmus: 1.Test kritéria optimality pro x k. Je-li splněno, pak konec (bázické řešení x k je optimálním řešením). 2.Určení klíčového prvku a rs (k) matice A (k). Není-li možné určit klíčový prvek, pak konec (úloha nemá konečné optimální řešení). 3.Simplexová transformace matice (A (k) | b (k) ). Získáme matici (A (k+1) | b (k+1) ) a nové bázické řešení x k+1. Položíme k = k +1 a postup opakujeme od bodu 1.

11 TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení11 Simplexová tabulka označují i-tou bázickou proměnnou a její koeficient v účelové funkci

12 TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení12 Stanovení hodnot veličin  j a F Veličiny slouží k testování kritéria optimality a F představuje hodnotu účelové funkce pro aktuální bázické řešení. Výchozí hodnoty těchto veličin můžeme získat také tak, že k soustavě rovnic přidáme rovnici a pak z ní eliminační metodou odstraníme bázické proměnné (nesmíme ji přitom ničím násobit ani dělit).

13 TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení13 Kritérium optimality a) Kritérium optimality pro maximalizační úlohu: pro j = 1, …, n. b) Kritérium optimality pro minimalizační úlohu: pro j = 1, …, n.

14 TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení14 Určení klíčového prvku a)Určení indexu s klíčového sloupce: J je množina indexů těch sloupců, kde nebylo splněno kritérium optimality. Klíčový sloupec určuje proměnnou, která vstoupí do báze. b)Určení indexu r klíčového řádku: Klíčový řádek určuje proměnnou, která bude z báze vyloučena. Je-li určen klíčový prvek, pak do báze vstupuje proměnná x s a nahrazuje proměnnou na r-té pozici.

15 TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení15 Poznámky k určení klíčového prvku Pokud podmínce pro klíčový sloupec vyhovuje několik sloupců tabulky, můžeme volit kterýkoli z nich. Totéž platí pro určení klíčového řádku. Klíčovým řádkem může být i ten řádek, kde je pravá strana nulová (taková situace může nastat v případě, že aktuální bázické řešení je degenerované). Musí ale být splněna podmínka, že.

16 TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení16 Simplexová transformace Úprava klíčového řádku: Úprava ostatních řádků (i = 1, …, m, i  r):

17 TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení17 Poznámky k simplexové transformaci Z uvedených vzorců vyplývá, že řádek, který není klíčový, nesmíme při úpravě ničím násobit nebo dělit. Pokud tuto zásadu nedodržíme, ztratíme kanonický tvar a hodnota bázické proměnné odpovídající tomuto řádku se nebude rovnat pravé straně. Pokud je zachován kanonický tvar, získáme nové bázické řešení následujícím způsobem: nebázické proměnné se položí rovny nule, bázická proměnná v i-tém řádku se rovná pravé straně.

18 TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení18 Zjednodušení úprav  j K soustavě rovnic přidáme rovnici kde proměnná z reprezentuje hodnotu účelové funkce. Tuto rovnici pak upravujeme stejně jako všechny ostatní:


Stáhnout ppt "Teorie systémů a operační analýza1 Simplexová metoda pro známé počáteční řešení úlohy LP RNDr. Jiří Dvořák, CSc."

Podobné prezentace


Reklamy Google