Relace, operace, struktury

Prezentace na téma: "Relace, operace, struktury"— Transkript prezentace:

1 Relace, operace, struktury

2 K čemu slouží relace K evidenci nějaké množiny objektů popsané pomocí jejich vlastností (atributů), viz relační algebra a relační databáze K popisu vztahů mezi objekty jedné množiny

3 Definice relace Relace mezi množinami A1,A2,…,An je jakákoliv podmnožina kartézského součinu A1xA2x…xAn. n-nární relace na množině A je podmnožina kartézského součinu AxAx…xA. Unární relace – vlastnost prvku Binární relace – vztah mezi dvěma prvky

4 Vlastnosti relací Reflexivní relace: pro každé x z A platí x R x
Symetrická relace: pro každá x,y z A platí: pokud x R y, pak y R x Tranzitivní relace: pro každá tři x,y,z z A platí: pokud x R y a y R z, pak x R z

5 „Negativní“ vlastnosti
Nesymetrická relace: existuje alespoň jedna dvojice x,y z A taková, že x R y, ale nikoli y R x (opak symetričnosti) Antisymetrická relace: pro každé x,y z A platí: pokud x R y a y R x, pak x=y Asymetrická relace: pro každé x,y z A platí: pokud x R y, pak není y R x

6 Úplnost relací Úplná relace: pro každá dvě x,y z A je buď x R y, nebo y R x Slabě úplná relace: pro každá dvě různá x,y z A je buď x R y, nebo y R x

7 Ekvivalence Relace Rozkládá nosnou množinu na třídy ekvivalence
Reflexivní Symetrická Tranzitivní Rozkládá nosnou množinu na třídy ekvivalence

8 Uspořádání Kvaziuspořádání (může obsahovat ekvivalentní i neporovnatelné prvky) Reflexivní Tranzitivní Částečné uspořádání (mohou existovat neporovnatelné prvky, ale ne ekvivalentní) antisymetrická

9 Uspořádání Slabé uspořádání (mohou existovat ekvivalentní prvky, ale ne neporovnatelné) Reflexivní Tranzitivní Úplná (úplné) uspořádání Antisymetrická

10 Uspořádání

11 Známka U konečných a spočetných množin lze uspořádání a slabé uspořádání vyjádřit číselnou známkou: X R y , právě když zn(x) ≤ zn(y) U kvaziuspořádání a částečného uspořádání to nelze, potřebujeme více známek. Některé preferenční relace nelze zařadit do žádné z kategorií uspořádání (například prahová nerozlišitelnost – není tranzitivní)

12 Ostrá uspořádání Ostré částečné uspořádání Ostré slabé uspořádání
Ostré (úplné) uspořádání Není vyžadována reflexivita

13 Zaznamenání relace Výčtem prvků: {(orchidej, orchidej), (orchidej, růže), (orchidej, karafiát), (orchidej, tulipán), (orchidej, fialka), (orchidej, bodlák), (růže, růže), (růže, karafiát), (růže, tulipán), (růže, bodlál), (karafiát, karafiát), (karafiát, bodlák), (tulipán, tulipán), (tulipán, bodlák), (fialka, fialka), (fialka, bodlák), (bodlák, bodlák)}.

14 Zaznamenání relace tabulkou

15 Graf relace

16 Hasseho diagram Jen pro tranzitivní relace

17 Operace Předpis, který dvěma, nebo více prvkům dané množiny přiřadí výsledek n-nární operace na množině A je (n+1)-nární relace na množině, pro kterou platí, že pokud (x1,x2,…xn,y) je v relaci a (x1,x2,…,xn,z) je v relaci, pak y=z.

18 Četnost (arita) operací
Nulární (konstanta) Unární (funkce) Binární (klasické operace) Ternální a vyšších řádů

19 Vlastnosti binárních operací
Úplnost: pro každá x,y existuje x ⊕ y Komutativnost: x ⊕ y = y ⊕ x Asociativita: (x⊕ y) ⊕ z = x⊕ (y⊕ z) Neutrální prvek: existuje prvek ε, pro který x⊕ε = ε ⊕ x = x Inverzní prvek: pro každé x existuje y, pro které x⊕ y = ε

20 Algebra Množina Systém operací
Systém vlastností (axiomů), které tyto operace splňují

21 Pologrupa, monoid Libovolná množina Operace ⊕ Pologrupa Monoid Úplná
Asociativní Monoid S neutrálním prvkem

22 Grupa Operace ⊕ Abelova grupa Úplná Asocoativní S neutrálním prvkem
S inverzními prvky Abelova grupa Navíc komutativní

23 Příklady grup Přirozená čísla a sčítání
Nenulová reálná čísla a násobení Permutace konečné množiny Matice daného rozměru a sčítání Pohyby Rubikovy kostky

24 Okruh Množina se dvěma operacemi  a 
Vůči operaci  se jedná o Abelovu grupu Operace  je úplná, komutativní, asociativní, má neutrální prvek Nemusí existovat inverzní prvky vzhledem k  Platí distributivní zákon: x (y  z)=(x y) ( y z) Například celá čísla s operacemi násobení a sčítání Zbytkové třídy celých čísel po dělení číslem n.

25 Obor integrity Okruh Navíc neexistují netriviální dělitelé nuly, tedy pokud x,y není rovno ε, pak x  y není rovno ε. Celá čísla jsou obor integrity. Zbytkové třídy po dělení prvočíslem p jsou obor integrity. Zbytkové třídy po dělení neprvočíslem n jsou okruh, ale ne obor integrity V Z6 platí 3.2=0

26 Těleso Množina T se dvěma operacemi  a 
T a  tvoří Abelovu grupu s neutrálním prvkem ε T-{ε} a  tvoří Abelovu grupu Vůči okruhu se navíc požaduje existence inverzních prvků k  (tedy „možnost dělit“) Příklady: zlomky, reálná čísla, komplexní čísla, zbytkové třídy po dělení prvočíslem, logické spojky AND a OR.

27 Svaz Množina S se dvěma operacemi  (spojení) a  (průsek) Příklady
 a  jsou komutativní a asociativní Platí distributivní zákony a  (b  c) = (a  b)  (a  c) a  (b  c) = (a  b)  (a  c) Absorbce: a (b  a)=a, a (b  a)=a Idenpotence a  a = a, a  a = a Příklady Výrokové formule a spojky AND a OR Podmnožiny dané množiny a operace sjednocení a průniku Prvky částečně uspořádané množiny a operace supremum a infimum.