Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

TI 3.1 ORIENTOVANÉ GRAFY V této části se seznámíme s následujícími pojmy: orientovaný graf (OG), orientovaný multigraf, prostý/obyčejný OG, zrušení/zavedení.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "TI 3.1 ORIENTOVANÉ GRAFY V této části se seznámíme s následujícími pojmy: orientovaný graf (OG), orientovaný multigraf, prostý/obyčejný OG, zrušení/zavedení."— Transkript prezentace:

1 TI 3.1 ORIENTOVANÉ GRAFY V této části se seznámíme s následujícími pojmy: orientovaný graf (OG), orientovaný multigraf, prostý/obyčejný OG, zrušení/zavedení orientace, opačná orientace spojení, orientovaný tah, orientovaná cesta, cyklus, silně souvislý OG, silná komponenta, kondenzace OG vstupní/výstupní stupeň uzlu, množina následníků / předchůdců uzlu Skripta odstavec 2.2, strana

2 TI 3.2 Co je to orientovaný graf ?  : H  U  U (množina uspořádaných dvojic) (h) = (u, v)... počáteční / koncový uzel hrany h u je následník uzlu v, v je předchůdce uzlu u (h 1 ) = (h 2 )... rovnoběžné hrany => multigraf Orientované grafy G = H, U,  hrany grafu Guzly grafu Gincidence prostý orientovaný graf = graf bez rovnoběžných hran, tzn. hranu určují její krajní uzly =>  je zbytečné, G = H, U obyčejný orientovaný graf = prostý OG bez smyček

3 TI 3.3 Jinými slovy... Orientované grafy Hrany v OG jsou orientované, tzn. pořadí uzlů je významné. zrušení orientace opačná orientace zavedení orientace

4 TI 3.4 Jeden malý trik... Orientované grafy Následující pojmy z neorientovaných grafů lze přenést do orientovaných grafů tak, že je uvažujeme na grafu vzniklém zrušením orientace: sled (otevřený / uzavřený), složení sledů, tah, cesta, kružnice, souvislý graf, komponenta grafu, strom, kostra grafu Další pojmy lze zavést pro orientované grafy analogicky jako pro neorientované grafy: podgraf, faktor, indukovaný podgraf operace s grafy (sjednocení, průnik, rozdíl, symetrická diference a doplněk), disjunktní a hranově disjunktní grafy, konečný / nekonečný graf, izomorfismus grafů

5 TI 3.5 orientovaný tah - spojení bez opakovaných hran orientovaná cesta – spojení bez opakovaných uzlů ( ani hran) otevřené x uzavřené spojení (orient. tah, orient. cesta) cyklus – uzavřená orientovaná cesta Orientované grafy ? Tak proč vůbec orientovat hrany ? Spojení (délky n) v orientovaném grafu G z uzlu u do uzlu v: S = u 0, h 1, u 1, h 2, …, h n, u n , kde (h i ) = (u i-1, u i ), u 0 = u, u n = v a fe d cb a fe d cb Spojení délky 10 z uzlu a do uzlu b (a  b):  a, (a,b), b, (b,e), e, (e,a), a, (a,b), b, (b,c), c, (c,f), f, (f,b), b, (b,e), e, (e,a), a, (a,b), b

6 TI 3.6 Orientované grafy POZOR – spojení a sled v OG a fe d cb Sled délky 3 z uzlu a do uzlu f (a  f):  a, [a,b], b, [b,e], e, [e,f], f (jako kdybychom zrušili orientaci) a fe d cb Spojení délky 3 z uzlu a do uzlu f (a  f):  a, (a,b), b, (b,c), c, (c,f), f Tento graf je souvislý.

7 TI 3.7 Orientované grafy Silně souvislý orientovaný graf G - pro každou dvojici uzlů u,v existují spojení jak z u do v tak i z v do u (u  v & v  u) Spojení: a  f ANO f  a NE c  d NE d  c NE e ... NE...  a NE  graf není silně souvislý a fe d cb a fe d cb Podmnožiny vzájemně propojitelných uzlů: {a}, {b,c,f}, {d}, {e} Silná komponenta = maximální silně souvislý podgraf

8 TI 3.8 Orientované grafy Podmnožiny vzájemně propojitelných uzlů: {a,b,c,d,e,f}  graf je silně souvislý (tzn. je tvořen jedinou silnou komponentou) a fe d cb Co dalšího lze říci o silně souvislých grafech? Následující tvrzení jsou ekvivalentní: 1) G je silně souvislý orientovaný graf 2) G je souvislý a každá jeho hrana je v (nějakém) cyklu 3) pro každý rozklad {U1, U2} množiny uzlů existují hrany U1 U2 a U2 U1 D: 1  2  3  1

9 TI 3.9 Orientované grafy Důsledek: Když z grafu odebereme všechny silné komponenty, vznikne podgraf, který nemá žádné cykly ani hrany z nějakého cyklu původního grafu. G' = G-( G i ), G i - silné komponenty grafu G G' je bez cyklů Základem silných komponent jsou cykly ! Kondenzace O.G. - silná komponenta se stane uzlem + hrany

10 TI 3.10 Orientované grafy Stupně a sousedi uzlů v orientovaném grafu G: výstupní stupeň  + (u) – kolik hran vystupuje z uzlu u (je-li  + (u)=0  u je list grafu G) vstupní stupeň  - (u) – kolik hran vstupuje do uzlu u (je-li  - (u)=0  u je kořen grafu G) (u) - množina následníků uzlu u  1 (u) - množina předchůdců uzlu u Lze něco zjistit o stupních ?? = = |H| Vysvětlení: Každá hrana přispívá +1 výstupnímu stupni svého počátečního uzlu a +1 vstupnímu stupni svého koncového uzlu.

11 TI 3.11 Kontrolní otázky 1.Bude graf vzniklý zrušením orientace libovolného obyčejného orientovaného grafu obyčejným neorientovaným grafem ? 2.Je možné, aby byl silně souvislý nějaký orientovaný graf, jehož všechny uzly mají vstupní stupeň rovný nule ? 3.Orientovaný graf G vznikl jako sjednocení několika cyklů. Je graf G silně souvislý ? 4.Kolik silných komponent má orientovaný graf G = H,U,, který neobsahuje žádný cykl? 5.Jaký je minimální počet hran silně souvislého orientovaného grafu s n (2) uzly ? 6.Pokuste se formulovat nutnou a postačující podmínku pro to, aby orientovaný graf G obsahoval nekonečně mnoho spojení z uzlu u do uzlu v. 7.Jaký je minimální počet hran orientovaného grafu, který má n (3) uzlů a k (2  k  n-1) silných komponent ? 8.Souvislý orientovaný graf G obsahuje aspoň dva uzly a má konečně mnoho různých spojení. Může být tento graf silně souvislý ?

12 TI 3.12 Orientované grafy a binární relace Orientované grafy V této části se seznámíme s pojmy: acyklický graf, testování acykličnosti, topologické uspořádání uzlů/hran orientovaného grafu graf binární relace na množině, graf složení relací, složení grafů, tranzitivní uzávěr grafu Skripta odstavec 2.2, str

13 TI 3.13 Orientované grafy Co víme: silně souvislý graf má každou hranu v nějakém cyklu Jak vypadá opačný extrém ? Acyklický graf = orientovaný graf bez cyklů Jak nejlépe testovat, zda je graf acyklický ? ??? Hledáním cyklů ??? Zjištění: Pokud pro uzly orientovaného grafu G platí uU:   (u)1 nebo uU:   (u)1, potom graf G obsahuje alespoň jeden cyklus. nesplňuje podmínku   (u)  1 nesplňuje podmínku  + (u)  1 cyklus!

14 TI 3.14 Orientované grafy Naše zjištění představuje podmínku postačující, nikoliv nutnou!  Pro testování acykličnosti se nehodí. Nové zjištění: Orientovaný graf G je acyklický  G - {u} je acyklický pro libovolný kořen nebo list u. Teď už můžeme formulovat ALGORITMUS TESTOVÁNÍ ACYKLIČNOSTI nemá ani kořen ani list !

15 TI 3.15 Orientované grafy K čemu je dobrý acyklický graf ? Tyto akce NELZE reálně naplánovat. Proč? Odpovídající graf není acyklický Plánujeme pořadí provádění nějakých akcí, např.: a < b, a < c, b < d, c < d, d < e, d < f, e < g, e < c, f < h, g < h Topologické uspořádání uzlů (obyčejného) orientovaného grafu je posloupnost u 1, u 2,..., u n taková, že každá hrana (u i, u j ) má i

16 TI 3.16 Orientované grafy Jak bychom našli topologické uspořádání uzlů ? Budeme postupně odebírat kořeny grafu ( - (u)=0) jako při testu acykličnosti. Jak to efektivně zařídit ? pro každý uzel spočítáme -  - (u)... vstupní stupeň (je-li =0, je to kořen) - (u)... množinu následníků při každém vypuštění kořene upravíme  - (u) pro jeho následníky, při poklesu na 0 zařadíme mezi kořeny. Pořadí odebrání uzlů je jejich topologickým uspořádáním. ! Později uvedeme ještě jednodušší algoritmus !

17 TI 3.17 Orientované grafy Vztah orientované grafy :: binární relace Binární relace na množině X : R  X  X Prostý OG s množinou uzlů U : H  U  U Složení grafů G R  G S = G RS (RE), (SY), (TR), (ANS), (AS), (IR) - jak se projeví v grafu ?? Tranzitivní uzávěr grafu G (orientovaný) graf binární relace R... G R : h = (u, v) vyjadřuje platnost u R v

18 TI 3.18 Kontrolní otázky 1.Navrhněte algoritmus topologického očíslování hran acyklického orientovaného grafu. 2.Zdůvodněte, proč pro testování acykličnosti (resp. hledání topologického uspořádání uzlů) orientovaného grafu stačí vypouštět jenom kořeny (nebo jenom listy). 3.Je topologické uspořádání uzlů (hran) orientovaného grafu určeno jednoznačně ? 4.Kolika různými způsoby lze orientovat úplný neorientovaný graf o n uzlech K n tak, aby byl výsledný graf acyklický ? 5.Popište strukturu obyčejného orientovaného grafu s n uzly, který má pro danou hodnotu k (1  k  n-1) přesně k!. (n-k)! různých topologických uspořádání uzlů. 6.Popište strukturu grafu binární relace, která je reflexivní (resp. symetrická, antisymetrická, asymetrická, tranzitivní, ireflexivní). Orientované grafy

19 TI 3.19 REPREZENTACE GRAFŮ maticové spojové další... Reprezentace grafů, odst. 4.1 V této části se seznámíme s pojmy: matice incidence NG/OG, matice sousednosti NG/OG (základní) spojová reprezentace NG/OG Skripta odstavec 4.1, str

20 TI 3.20 Matice incidence NG A = [ a ik ] obdélníková matice typu |U| x |H| nad tělesem mod 2 (pozor na základní operace!) hrana h k inciduje s uzlem u i a ik = jinak adebc a b c d e ? Co nám říká matice incidence o grafu ? ? Smyčky, rovnoběžné hrany ? Reprezentace grafů, odst. 4.1

21 TI 3.21 Poznáme podle matic incidence, zda jsou dva grafy izomorfní? Např.: G 1  G 2 ?? právě když ??A 1  A 2 Zjištění: součet (mod 2) ve sloupci je 0 (vždy dvě jedničky!)  řádky jsou lineárně závislé, takže hodnost matice A... h(A)  |U| - 1 (rovnost platí pro souvislé grafy) h(A) = |U| - p obecný vztah pro graf s p komponentami Reprezentace grafů, odst. 4.1

22 TI 3.22 Matice sousednosti NG V = [ v ij ] čtvercová matice typu |U| x |U| nad okruhem celých čísel: v ij = počet hran mezi uzly u i a u j adebc a b c d e a b c d e ? Co nám říká matice sousednosti o grafu ? ? Smyčky, rovnoběžné hrany ? Reprezentace grafů, odst. 4.1

23 TI 3.23 Poznáme podle matic incidence, zda jsou dva grafy izomorfní? Např.: G 1  G 2 ?? právě když ??A 1  A 2 Zjištění: V = V T V r = [v ik (r) ]... počet sledů délky r mezi u i a u k A. A T = V + D, D = [ d ii ], kde d ii = (u i ) Reprezentace grafů, odst. 4.1

24 TI 3.24 Matice incidence OG A = [ a ik ] obdélníková matice typu |U| x |H| nad okruhem celých čísel: 1... hrana h k vychází z uzlu u i a ik =-1... hrana h k končí v uzlu u i 0... jinak adebc a b c d e Vlastnosti podobné jako pro NG Reprezentace grafů, odst. 4.1

25 TI 3.25 Matice sousednosti OG V = [ v ij ] čtvercová matice typu |U| x |U| nad okruhem celých čísel: v ij = počet hran z uzlu u i do uzlu u j adebc a b c d e a b c d e ? Poznáme izomorfní orientované grafy ? ? V = V T ? a b c d e a b c d e Reprezentace grafů, odst. 4.1

26 TI 3.26 Zjištění: V r = [v ik (r) ]... počet spojení délky r z u i do u k V* =  V i, i=0,... d, kde d = min(|H|, |U|-1) ?? Co asi říká o grafu tato matice V* ?? A. A T = D - V - V T, D = [ d ii ], kde d ii =  + (u i )+  - (u i ) Reprezentace grafů, odst. 4.1

27 TI 3.27 Spojová reprezentace grafu |U | NG - seznamy sousedů OG - seznamy následníků (příp. ještě seznamy předchůdců) Adj[u]: Srovnání paměťové složitosti: NG A: |U|.|H| (bitů!)V: |U|.|U| (integer ? Boolean) Adj: |U| + 2.|H| OG Adj: |U|+|H| Reprezentace grafů, odst. 4.1


Stáhnout ppt "TI 3.1 ORIENTOVANÉ GRAFY V této části se seznámíme s následujícími pojmy: orientovaný graf (OG), orientovaný multigraf, prostý/obyčejný OG, zrušení/zavedení."

Podobné prezentace


Reklamy Google