Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 14. PŘEDNÁŠKA.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 14. PŘEDNÁŠKA."— Transkript prezentace:

1 CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 14. PŘEDNÁŠKA Březen 2009

2 další ….. METODY ŘEŠENÍ jsou z oblasti TEORIE GRAFŮ ☺ POKRAČOVÁNÍ

3 Základy teorie grafů se datují do počátku 18. století a místně jsou kladeny do pruského pruského města Königsberg. Teorie grafů patří mezi relativně mladé mate- matické disciplíny. Jedná se o obor matematiky, pomocí něhož lze formulovat a řešit mnoho problémů z růz- ných oblastí, nejčastěji celočíselné a kombi- natorické povahy Teorie grafů Březen 2009

4 Mezi klasické problémy, které jsou řešeny pomocí aparátu teorie grafů, patří například: * úloha nalezení nejkratší cesty v grafu (odpovídá hledání trasy na mapě) * úloha nalezení minimální kostry grafu (řeší problém neuzavřených spojení) * úloha nalezení maximálního toku (hledání např. kapacity sítě a její úzký profil) * úloha mazaného obchodního cestujícího * úloha nalezení kritické cesty. Teorie grafů Březen 2009

5 Základní pojmy Základní pojmy Graf je určitý útvar (systém), který je možno znázornit obrázkem v rovině pomocí bodů (uzly grafu) a spojnic mezi body (hrany grafu). Teorie grafů Březen 2009 konečný graf - počet uzlů je konečný nekonečný graf

6 Zabýváme se pouze konečnými grafy, aniž bychom to vždy výslovně uváděli. Teorie grafů Březen 2009 prostý (jednoduchý) graf - graf je orientovaný

7 Neorientovaný graf je neuspořádaná trojice ve vztahu: G = ( U, V, γ ) tvořená konečnou množinou V, jejíž prvky v nazýváme uzly, konečnou množinou E, jejíž prvky e nazýváme neorientovanými hra- nami a zobrazením γ (vztah incidence), které přiřazuje každé hraně e jedno nebo dvou- prvkovou množinu uzlů. Teorie grafů Březen 2009

8 Je-li e Є E, ζ (e) = (u, v), používá se pojmeno- vání stavu, že u je počáteční a v koncový vrchol hrany e. Teorie grafů Březen 2009

9 Teorie grafů Březen 2009 Platí d(u, v) = 0, právě když u = v. Dále d(u, v) = 1, právě když uzly u, v jsou spojeny hranou. Pro libovolné uzly u, v platí d(v, u) = d(u, v). Největší vzdálenost dvou uzlu v konečném grafu.

10 Teorie grafů Březen 2009 Běžný - hranově ohodnocený graf - hranám grafu je přirazena určitá hodnota = ohod- nocení hran (v tomto případě představuje vzdá- lenosti mezi kři- žovatkami silnic (uzly), např. v ki- lometrech.

11 Teorie grafů Březen 2009 Uzlově ohodnocený graf - charakteristiky jsou připisovány uzlům = ohodnocení uzlů (příklad postupu montáže - uzly jsou montážní operace s jejím nutným časem a hrany grafu znázorňují způsob navazování jednotlivých operací.

12 Teorie grafů - formálně: Březen 2009 hranově ohodnocený graf Je-li G graf, f zobrazení množiny jeho hran do množiny reálných čísel, pak uspořádaná dvo- jice (G, f) je hranově ohodnocený graf. Uzlově ohodnocený graf Uzlově ohodnocený graf jako uspořádaná dvojice (G, f), kde G je graf a f zobrazení mno- žiny jeho uzlů do množiny reálných čísel. hypergrafy Zobecněním grafu jsou hypergrafy (společ- nosti) představující systém neprázdných pod- množin množiny uzlů (místo hran spojující dva uzly máme nějakou podmnožinu - tým).

13 Teorie grafů Březen 2009 Graf - diagram hypergrafu hypergrafy Zobecněním grafu jsou hypergrafy (společ- nosti), které představují systém neprázdných podmnožin množiny uzlu (místo hran spojující dva uzly máme nějakou podmnožinu - tým) … … například množina uzlů {a, b, c, d, e} a množina týmů {{a, b, c}, {a, d, e}, {c, d}, {e}}.

14 Teorie grafů Zobecnění zadání: graf G = (U,H, γ ), U = {w, x, y, z}, H = {a, b, c, d, e, f, g} … tabulkou – grafem i a b c d e f g γ (i) {w,x} {w,y} {w,z} {x,y} {x,z} {y,z} {z,z} Březen 2009 zadání grafickou formou zadání grafu tabulkou

15 Cesta v grafu je posloupnost orientovaných hran, při které vždy následující hrany začínají v uzlu, v němž končí předcházející hrana. Cyklus (kružnice u neorientovaného grafu) je taková cesta, která začíná a končí v témže uzlu. Teorie grafů Březen 2009

16 podgraf grafu G Jestliže G = (U,H, γ ), G´ = (U´, H´, γ ´) jsou neorientované grafy … (U´,H´, γ ´ ) je podgraf grafu G, který nazýváme jeho komponentou. Graf se nazývá souvislý, má-li právě jednu komponentu; jinak se nazývá nesouvislý. Komponenty grafu jsou jeho maximální sou- vislé podgrafy. Teorie grafů Březen 2009

17 nesouvislý graf se třemi komponentami Teorie grafů Březen 2009 Silně souvislý Orientovaný graf je Silně souvislý, exis- tuje-li z každého jeho uzlu dráha do kaž- dého jiného jeho uzlu. Silně souvislý graf je ovšem vždy souvislý. Obráceně to neplatí !

18 Teorie grafů Březen 2009 Například při určování jednosměrnosti ulic je třeba dbát na to, aby orientovaný graf sítě ulic byl Silně souvislý. Bylo by jistě nemilé, kdyby se auto mohlo dostat z jednoho místa do druhého, ale už ne zpět.

19 Teorie grafů Březen 2009 Silně souvislý graf s pěti komponentami Souvislý, ale ne Silně souvislý graf

20 Teorie grafů Březen 2009 tomuto uzlu říkámeartikulace grafu G této hraně říkáme most grafu G. Most Jestliže v souvislém grafu G existuje uzel, je- hož odstraněním vznikne nesouvislý graf, tomuto uzlu říkáme artikulace grafu G. Jestliže v souvislém grafu G existuje hrana, jejímž odstraněním vznikne nesouvislý graf, této hraně říkáme most grafu G. Most rozděluje graf na dvě části, přičemž z jedné části nelze přejít na druhou, aniž by cesta nevedla pres tento most. Obdobně je graf rozdělen i artikulací.

21 Teorie grafů Březen 2009 Existuje-li cesta z uzlu u do uzlu v v neorien- tovaném grafu G, pak vzdálenost uzlů u, v v G je délka nejkratší cesty z u do v, kterou značíme d(u, v). Délka cesty je počet jejích hran. Jestliže žádná cesta z u do v v G neexistuje, klademe d(u, v) = .

22 Teorie grafů Březen 2009 centrum grafu G. Pro každý uzel u souvislého neorientované- ho grafu G označme e(u) největší ze vzdále- ností uzlu u od ostatních uzlu grafu G. Uzel u, pro nějž je e(u) nejmenší, se nazývá centrum grafu G.

23 Teorie grafů Březen 2009 průměr a centrum grafu tři artikulace a jeden most V grafu platí: e(u 1 ) = e(u 7 ) = 4, e(u 2 ) = e(u 3 ) = e(u5) = e(u 6 ) = 3, e(u 4 ) = 2, takže centrum tohoto grafu je uzel u 4.

24 Teorie grafů Březen 2009 centrum grafu

25 Teorie grafů Březen 2009 Strom Strom - má n uzlů, má přesně n−1 hran. Mezi každými dvěma různými uzly existuje jediná cesta.

26 Teorie grafů Březen 2009 Příklad: Ve třech domech bydlí tri sousedé. Poblíž jejich domu jsou tri studny. Každý chce mít od svého domu cesty ke všem studním. Nikdo však nechce, aby se některá jeho cesta křižovala se sousedovou. Je to možné zařídit?

27 Teorie grafů Březen 2009 rovinný (planární) graf Jestliže lze graf G zobrazit v rovině tak, že jeho hrany nemají společný vnitřní bod, pak se G nazývá rovinný (planární) graf. Budeme-li zkoušet náš graf tří domu a tří studní zobrazit popsaným způsobem, nepodaří se nám to. Tento graf totiž nepatří mezi rovinné grafy. Ne každý graf je tedy rovinný a i rovinný graf lze nakreslit nerovinným způsobem.

28 Teorie grafů Březen 2009 Na dalším obrázku je nakreslen jeden a týž graf třemi různými způsoby. Jedná se tedy o příklad navzájem izomorfních grafu. Vzhledem k třetímu způsobu zakreslení však jde o rovinný graf.

29 Řetěz (řetězec) je v orientovaném grafu pos- loupnost na sebe navazujících hran bez ohle- du na orientaci. Souvislý graf je graf, u kterého mezi všemi dvojicemi uzlů existuje alespoň jedna cesta. Nesouvislý graf je graf, u kterého neexistuje alespoň jedna cesta mezi všemi dvojicemi uzlů. Teorie grafů Březen 2009

30 Strom je takový graf, který neobsahuje žádný cyklus. Podgraf původního grafu je graf, který vznikne tím, že vynecháme z grafu některé uzly a příslušné hrany těchto uzlů. Acyklický graf je graf, který neobsahuje žádný cyklus. Teorie grafů Březen 2009

31 Ohodnocený graf (orientovaný, neorien- tovaný) je graf, ve kterém reálná funkce definovaná na množině hran přiřazuje každé hraně nějakou hodnotu (například vzdálenost, doba, energie…). Síť je graf, který je konečný, souvislý, orien- tovaný, acyklický a ohodnocený, v němž existuje jeden konečný a jeden počáteční uzel. Teorie grafů Březen 2009

32 Konečný graf má konečný počet uzlů a hran. Řezem sítě se nazývá množina všech hran, které spojují uzly množiny U1 s uzly množiny U2, kdy U1 je množina uzlů, která obsahuje počáteční uzel a všechny uzly dosažitelné z počátečního uzlu po nenasycené cestě. Mno- žina uzlů U2 je taková množina, která obsa- huje koncový uzel a všechny zbývající uzly. Teorie grafů Březen 2009

33 Kapacita řezu je číslo, které je tvořeno souč- tem kapacit (ohodnocení) všech hran řezu. Minimální řez je řez, který má nejmenší kapacitu. Multigraf je graf, v němž mezi některou dvo- jicí uzlů existuje v jednom směru větší počet hran než jedna. Teorie grafů Březen 2009

34 Teorie grafů Březen 2009 Smyčka Hrana, která inciduje s jedním uzlem

35 Teorie grafů Březen 2009 Rovnoběžné hrany Inicidují se stejnými uzly.

36 Teorie grafů Březen 2009 Orientované hrany Iniciují se stejnými uzly. Je naznačen směr orientace

37 Teorie grafů Březen 2009 Neoriento- vané hrany Iniciují se stejnými uzly. Není naznačen směr orientace

38 Teorie grafů Březen 2009 Násobné hrany Jsou rovnoběžné hrany, které jsou buď neoriento- vané, nebo všechny sou- hlasně orientované.

39 Teorie grafů Březen 2009 Nenásobné hrany Jsou rovnoběžné hrany, které jsou buď neoriento- vané, nebo všechny orientované souhlasně.

40 Teorie grafů Březen 2009 Násobné

41 další viz text až po str. Březen 2009 Distribuční a dopravní modely

42 březen 2009 …..… cw05 – 14. POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace pokračují ……

43 ……… Březen 2009


Stáhnout ppt "CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 14. PŘEDNÁŠKA."

Podobné prezentace


Reklamy Google