Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Oskulační rovina křivky. Geometrické a počítačové modelování Křivky. Tečná a oskulační rovina. (6) 6.2. Oskulační rovina křivky. P0P0 t k Každá rovina,

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Oskulační rovina křivky. Geometrické a počítačové modelování Křivky. Tečná a oskulační rovina. (6) 6.2. Oskulační rovina křivky. P0P0 t k Každá rovina,"— Transkript prezentace:

1 Oskulační rovina křivky

2 Geometrické a počítačové modelování Křivky. Tečná a oskulační rovina. (6) 6.2. Oskulační rovina křivky. P0P0 t k Každá rovina, která prochází tečnou dané křivky, se nazývá tečnou rovinou křivky. Dotykovým bodem je dotykový bod křivky, kterým jsme vedli tečnu. (Tečné roviny tvoří svazek rovin.) P1P1 α1α1 P2P2 α 2α 2 Jediná tečná rovina α (z tohoto svazku rovin) se nazývá oskulační rovina. α Dvojnásobný bod Trojnásobný bod

3 Geometrické a počítačové modelování Křivky. Tečná a oskulační rovina. (6) 6.2. Oskulační rovina křivky. P0P0 t k Každá rovina, která prochází tečnou dané křivky, se nazývá tečnou rovinou křivky. Dotykovým bodem je dotykový bod křivky, kterým jsme vedli tečnu. (Tečné roviny tvoří svazek rovin.) P1P1 α1α1 P2P2 α 2α 2 Jediná tečná rovina α (z tohoto svazku rovin) se nazývá oskulační rovina. α Dvojnásobný bod Trojnásobný bod

4 Geometrické a počítačové modelování Křivky. Tečná a oskulační rovina. (6) V oskulační rovině  sestrojíme kolmici n na tečnu t, potom tato kolmice n se nazývá hlavní normálou křivky k. P 0 (t 0 ) t k x y z n b p0p0 Kolmice b vztyčená v bodě dotyku na oskulační rovinu  se nazývá binormála.  Rovina určená hlavní normálou a binormálou b se nazývá normálová rovina. Rovina  určená tečnou t a binormálou b se nazývá rektifikační rovinou křivky k v bodě p 0 ( t 0 ). Roviny , a  tvoří doprovodný trojhran křivky k v bodě P. Tečna t, hlavní normála n a binormála b tvoří hrany tohoto trojhranu. 

5 Geometrické a počítačové modelování Křivky. Tečná a oskulační rovina. (6) Frenetovy vzorce. První křivost křivky. Budeme předpokládat, že křivku k máme danou vektorovou rovnicí p = p(s), s  I, (6.11) kde parametr s je obloukem. Označíme p'(s) a p''(s) vektory rovnoběžné s oskulační rovinou sestrojené v bodě P(s) křivky k. Vektor p''(s) budeme nazývat vektorem první křivosti křivky v bodě P(s). Velikost tohoto vektoru budeme označovat 1 k(s) (stručně 1 k) a nazývat první křivostí (flexí) křivky v bodě P(s). Pro určení velikosti vyjdeme z rovnice p'. p' = 1, která je splněna pro všechna s  I. Po derivaci obou stran rovnice podle parametru s dostaneme p".p' + p'. p" = 0  2 p'. p" = 0. Toto však znamená, že v každém bodě P(s) křivky k je vektor p"(s) buď nenulovým vektorem kolmým na tečný vektor p'(s), nebo nulovým vektorem.

6 Geometrické a počítačové modelování Křivky. Tečná a oskulační rovina. (6) P (s ) p’= t k x y z n b p(s)  /p´´/ = 1 k p’’ Předpokládejme první možnost. To je p"  0 a p"  p'. To může být pouze tehdy, jestliže vektor p" je rovnoběžný s hlavní normálou n křivky k. Pomocí rovnice (6.12) sestrojíme jednotkový vektor hlavní normály n, kolineární s vektorem p". Obdobně zavedeme pro jednotkový tečný vektor p' označení t = p', můžeme rovnici (6.13) vyjádřit t' = 1 k n (6.14) Tento vzorec (6.14) nazýváme prvním Frenetovým vzorcem. Jelikož |p"| = k, můžeme psát p" = k n. (6.13) p’’ n =

7 Geometrické a počítačové modelování Křivky. Tečná a oskulační rovina. (6) Pomocí dvou jednotkových vektorů t a n definovaných v bodě P(s), sestrojíme jednotkový vektor b, který je kolmý na oba vektory n a b. Tento vektor b určíme rovnicí b = t * n. Je zřejmé, že vektor b je rovnoběžný s binormálou v bodě P(s). A zkoumaná křivka v tomto bodě P(s) je přímkou nebo její částí. P (s ) p’= t k x y z n b p(s)  /p´´/ = 1 k p’’ Druhá možnost, kdy p" = 0, znamená že je také první křivost 1 k v daném bodě P(s) rovna nule. V tomto případě každá tečná rovina je rovinou oskulační.

8 P0P0 t k α1α1 P2P2 α 2α 2 α P1P1


Stáhnout ppt "Oskulační rovina křivky. Geometrické a počítačové modelování Křivky. Tečná a oskulační rovina. (6) 6.2. Oskulační rovina křivky. P0P0 t k Každá rovina,"

Podobné prezentace


Reklamy Google