Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

1.Vznik a vývoj teorie informace 2.Matematický aparát v teorii informace Základy teorie pravděpodobnosti – Náhodné veličiny Číselné soustavy 3.Informace.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "1.Vznik a vývoj teorie informace 2.Matematický aparát v teorii informace Základy teorie pravděpodobnosti – Náhodné veličiny Číselné soustavy 3.Informace."— Transkript prezentace:

1

2

3 1.Vznik a vývoj teorie informace 2.Matematický aparát v teorii informace Základy teorie pravděpodobnosti – Náhodné veličiny Číselné soustavy 3.Informace Základní pojmy – jednotka a zobrazení informace, informační hodnota Entropie – vlastnosti entropie Zdroje zpráv – spojité zdroje zpráv, diskrétní zdroje zpráv Přenos informace – vlastnosti přenosu kanálů, poruchy a šumy přenosu, způsoby boje proti šumu 4.Kódování Elementární teorie kódování Rovnoměrné kódy – telegrafní kód Nerovnoměrné kódy – Morseova abeceda, konstrukce nerovnoměrných kódů Efektivní kódy – Shannonova – Fanova metoda, Huffmanova metoda 5.Bezpečností kódy Zabezpečující schopnosti kódů, Systematické kódy, Nesystematické kódy ZÁKLADY INFORMATIKY – Matematický aparát v teorii informace ZÁKLADY INFORMATIKY – Matematický aparát v teorii informace

4 ČÍSELNÉ SOUSTAVY-polyadické N Diskrétní veličiny lze chápat jako posloupnost čísel, které mohou vytvářet různé soustavy. Každý diskrétní kód se tedy dá vyjádřit číselnou soustavou, v níž libovolné číslo N můžeme zapsat ve tvaru mnohočlenu: Z Z – základ číselné soustavy (Z je přirozené číslo >1) m m – počet řádových míst a i a i - řádový koeficient (vlastní zobrazení číslice)

5 Z a i Pro přepis čísla v dané soustavě se vynechá základ Z a řadíme vedle sebe jen koeficienty a i, tedy např. pro m = 4 a n=2 dostáváme: a 3 a 2 a 1 a 0. a -1 a -2 Pro zápis desetinného čísla je třeba využít pokračování mnohočlenu a to části se zápornými koeficienty podle: n n – počet desetinných míst

6 Příklad: Zobrazte číslo 12 v soustavách se základem Z=10, 8, 2 pomocí předchozího mnohočlenu. N= = 12 (10) N= = 14 (8) N= = 1100 (2) Rovnost čísla 12 lze v různých soustavách vyjádřit podle následujícího zápisu, kde základ soustavy je označen indexem. 12 (10) = 14 (8) = 1100 (2)

7 Příklad: Zobrazte číslo v soustavách se základem Z=10, 8, 2 pomocí předchozího mnohočlenu. N = = (10) m=2, Z=10, n=2 N = = 31.6 (8) m=2, Z=8, n=1 N= = (2) m=5, Z=2, n=2 Rovnost čísla lze v různých soustavách vyjádřit podle následujícího zápisu, kde základ soustavy je označen indexem (10) = 31.6 (8) = (2)

8 Významné soustavy Významné soustavy Základ Soustava BinárníOktalováDekadickáHexadecimální Zobrazení čísel v soustavách o různých základech Zobrazení čísel v soustavách o různých základech A F E

9 K = Z m Př.: Z=10, m=3,K=? K=Z  K=1000 možných čísel (0..999) m Kapacita soustavy Kapacita soustavy Počet všech možných kombinací, který poskytuje číselná soustava o základu Z a m řádových místech Nejvyšší hodnota, které může číslo N dosáhnout při daném Z a m je dána vztahem: N max = Z m -1

10 Počet míst v číselných soustavách Počet míst v číselných soustavách N max Z: Z předchozího vzorce zlogaritmováním dostaneme vztah pro počet míst čísla dekadického N max v soustavě o základu Z: N < N max N Tento vztah platí i pro libovolné jiné číslo N < N max. Podle něho můžeme vyjádřit počet míst, potřebný pro číslo N z desítkové soustavy do soustavy např. dvojkové.

11 dvojkové a šestnáctkové soustavě Počet řádových míst pro vyjádření dekadických čísel ve dvojkové a šestnáctkové soustavě N (10) m=log 2 (N (10) +1) zaokrouhleno 103, , , , , , , , , , , N (10) m=log 16 (N (10) +1) zaokrouhleno 100, , , , , , , , , , ,15245

12 Pro určení počtu cifer při převodu z libovolné soustavy do jiné soustavy platí vztah: ab a - zdrojová soustavab - cílová soustava m a m a - počet cifer čísla ve zdrojové soustavě m b m b - počet cifer čísla cílové soustavě Příklad: Kolik cifer bude mít desetimístné binární číslo v hexadecimální soustavě?

13 - Základem binární číselné soustavy je číslo 2. - Možné zbytky po dělení jsou pouze 0 a 1. - Polohy těchto číslic v binárním čísle mají různé váhy, například: Pro převod z desítkové soustavy do binární existuje více možností: Metoda postupného dělení Metoda postupného odečítání Operace ve dvojkové soustavě Operace ve dvojkové soustavě =124

14 124 : 2= 62zbytek0 62 : 2= 31zbytek0 31 : 2= 15zbytek1 15 : 2= 7zbytek1 7 : 2= 3zbytek1 3 : 2= 1zbytek1 1 : 2= 0zbytek1 124  Metoda postupného dělení : příklad převodu čísla 124 :

15 Metoda postupného odečítání příklad převodu čísla 27: 27 

16 27 : 2 4 = 1 zbytek 11 : 2 3 = 1 zbytek 3 3 : 2 2 = 0 zbytek 3 3 : 2 1 = 1 zbytek 1 1 : 2 0 = 1 zbytek 0 27  Metoda postupného odečítání (jiné znázornění): příklad převodu čísla 27:

17 0.125  Převod desetinného čísla  Můžeme využít postupu naznačeného na předchozím obrázku (pomocí postupného odečítání) Příklad převodu čísla 0,125: : 2 -1 = 0 zbytek : 2 -2 = 0 zbytek : 2 -3 = 1 zbytek 0

18 = 0.25 zbytek = 0.5 zbytek = 1 zbytek  Převod desetinného čísla  Nebo použijeme metodu postupného násobení základem, kdy sepisujeme celou část výsledku násobení (viz následující příklad) celá část Příklad převodu čísla 0,125:

19 Sčítání v dvojkové soustavě: u sčítaní mohou nastat v každém kroku jen tyto situace: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 Př.: dekadicky binárně ……. sčítanec …….sčítanec …….součet sčítání ve dvojkové soustavě se provádí stejně jako v soustavě desítkové

20 číslem 2 k 7 x 4 = x 2 2 = x 6 = Násobení ve dvojkové soustavě: b) libovolným celým číslem k a) - posun doleva o k míst a doplnění nulama

21 c) libovolným necelým číslem dekadickybinárně

22 Dělení v dvojkové soustavě: a) číslem 2 k - posun doprava o k míst 24 : 4 = : 2 2 = b) libovolným celým číslem 21 : 6 = : =

23 Základem této číselné soustavy je číslo 8. Možné zbytky po dělení osmi jsou 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 a) převod z osmičkové na desítkovou soustavu (příklad pro převod čísla 146 (8) Operace v osmičkové soustavě Operace v osmičkové soustavě = 102

24 b) převod z dekadické na osmičkovou soustavu 102 : 8= 12 zbytek 6 12 : 8= 1 zbytek 4 1 : 8= 0 zbytek (10)  (8)

25 Sčítání v osmičkové soustavě: Při sčítání v osmičkové soustavě vycházíme z následující tabulky přenosů:

26 Sčítání v osmičkové soustavě: V dekadické soustavě V osmičkové soustavě

27 Odečítání v osmičkové soustavě Převádíme na sčítání s doplňkem (tj. k menšenci přičítáme doplněk menšitele do N max : D = (Z m – 1) – X Pro doplněk platí: D = (Z m – 1) – X kde:m – počet míst menšenceX – menšitelZ – základ soustavy

28 Odečítání v osmičkové soustavě Příklad: Zjistěte rozdíl čísel v osmičkové soustavě: (364) 8 - (172) 8 (364) 8 - (172) 8 Řešení: (172) 8

29 Základem této soustavy je číslo 16. Možné zbytky po dělení (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10=A, 11=B, 12=C, 13=D, 14=E, 15=F) Operace v šestnáctkové soustavě Operace v šestnáctkové soustavě A =423 a) převod ze šestnáctkové na desítkovou soustavu (příklad pro převod čísla 1A7 (16)

30 b) převod z dekadické na hexadecimální soustavu 423 : 16= 26 zbytek 7 26 : 16= 1 zbytek 10 1 : 16= 0 zbytek (10)  1 A 7 (16)

31 Sčítání v hexadecimální soustavě: V dekadické soustavě V hexadecimální soustavě B D 4 E 1 0 B 1 0 B A C E A

32 Odečítání v hexadecimální soustavě Příklad: Zjistěte rozdíl čísel v hexadecimální soustavě: (C6) 16 - (A3) 16 Řešení: (23) 16

33 Vzájemné převody mezi číselnými soustavami Vzájemné převody mezi číselnými soustavami y Obecně se přepočet ze soustavy x do soustavy y provádí ve dvou částech, přes desítkovou soustavu podle schématu: N (x) → N (10) → N (y) x y xyn V některých případech můžeme převádět ze soustavy x do soustavy y přímo. Jedná se o případ, kdy můžeme vztah mezi základy soustav x a y vyjádřit ve tvaru: (n představuje kladné celé číslo větší než 1) Příkladem je převod z binární soustavy do soustavy oktalové nebo hexadecimální nebo naopak. Zde potom platí:

34 xy N (x) n- y. Při přímém (rychlejším) převodu ze soustavy x do soustavy y seskupíme v zápisu čísla N (x) číslice do n-členných skupin (začínáme zprava) a každou takto získanou skupinu vyjádříme jako číslici v soustavě y. Příklad: Převod čísla z binární soustavy do soustavy oktalové Mezi základy platí vztah: ( ) 2 = ( N ) 8 => Seskupujeme do tří-členných skupin ( ) 2 = ( )

35 Příklad: Převod čísla z binární soustavy do soustavy hexadecimální Mezi základy platí vztah: ( ) 2 = ( N ) 16 => Seskupujeme do 4-členných skupin ( ) 2 = ( 2 C C ) 16 2 C C 2 C C ( ) 2 = ( N ) 16 ( ) 2 = ( 2 C C. A ) 16 2 C C A 2 C C A zleva Cifry za desetinnou tečkou seskupujeme do 4-členných skupin zleva

36 yxy n-člennoux Analogicky při opačném převodu musíme dát pozor na to, že při převodu ze soustavy y do soustavy x, každá číslice soustavy y představuje právě n-člennou skupinu číslic v soustavě x. (Tzn. Například při převodu z hexadecimální do binární soustavy každá hexad. číslice odpovídá právě čtyřem binárním) Příklad: Převod čísla z hexadecimální soustavy do soustavy binární ( E F 6 ) 16 = ( N ) 2 ( E F 6 ) 16 = ( )

37 Příklady k procvičení: Převeďte následující čísla ze soustav o základech 2, 8, 16 do dekadické soustavy. ( ) 8 = ( N ) 10 ( ) 2 = ( N ) 10 ( A C ) 16 = ( N ) 10 ( ) 10 ( 5 3 ) 10 ( ) 10 Převeďte následující čísla z dekadické soustavy do soustav o základech 2, 8, 16. ( ) 10 = ( N ) 16 ( 2 5 ) 10 = ( N ) 2 ( 6 7 ) 10 = ( N ) 8 ( B B ) 16 ( ) 2 ( ) 8

38 Příklady k procvičení: Vypočtěte v dané soustavě: (4 4) 8 (2 4) 16 (1011,110) 2 (4 4) 8 (2 4) 16 (1011,110) 2 (3 4) 8 (1C) 16 (1010,101) 2 (3 4) 8 (1C) 16 (1010,101) 2 (1 0 0) 8 (4 0) 16 (10110,011) 2 Převeďte desetinné číslo: ( ) 10 = ( N ) 2 ( ) 10 = ( N ) 8 ( ) 2 ( 31.6 ) 8

39 Příklady k procvičení: Převeďte přímo: ( ) 8 = ( N ) 2 ( A2.5 ) 16 = ( N ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 = ( N ) 8 ( ) 2 = ( N ) 16 ( 2635 ) 8 ( 59D.C ) 16

40 (0.4) 10 = ( N ) 2 Příklad: Převeďte desetinné číslo do binární soustavy. 0.4 · 2 = · 2 = · 2 = · 2 = · 2 = · 2 = Výpočet vede na periodické binární číslo, kde perioda je „0110“. (0,4) 10 = (0,0110) 2 (0,0110) 2 =(0,375) 10 tj. Chyba při převodu je (0,025) 10 (0,4) 10 = (0, ) 2 (0, ) 2 =(0,3984) 10 tj. Chyba při převodu je (0,0016) 10

41 Násobení v číselných soustavách Násobení v číselných soustavách Násobení se snadno převede na řadu sčítacích operací tím, že se sečítá postupně násobenec tolikrát, kolikrát určují hodnoty řádových míst násobitele. Začne se jednotkovým místem násobitele a pří přechodu na vyšší místo násobitele posuneme příslušný sloupec násobenců o jedno místo vlevo. Násobení čísel v desítkové a v osmičkové soustavě je naznačeno níže. (4 5) 10 · (1 3) 10 (4 5) 10 · (1 3) (5 8 5) 10 (5 8 5) 10 (3 5) 8 · (2 4) 8 (3 5) 8 · (2 4) ( ) 8

42 Dělení v číselných soustavách Dělení v číselných soustavách Dělení je nejsložitějším početním úkonem ze všech již vyjmenovaných. Vyžaduje řadu operací odečítacích (pro zjednodušení řadu operací, obsahujících sečítání s doplňkem). V prvním případě se odečítá od dělence tak dlouho, až zbytek začne nabývat záporných hodnot. Ve druhém případě se přičítá doplněk tak dlouho, dokud výsledný součet je větší než dělitel. Příklad: 350 : 85 = 4 zbytek 10

43 Příklad: Vydělte číslo (100100) 2 číslem (11) Protože postupné odečítání čísla (11) 2 by vedlo ke zdlouhavému procesu, je možné použít postupu naznačeného zde. Tzn. číslo doplním nulami tak abych dostal nejbližší nižší k dělenci. Jednotlivé výsledky pak zapisuji na odpovídající řádové místo Výsledek tedy je 1100

44 Zobrazení záporných čísel Zobrazení záporných čísel Jedním z problémů při ukládání binárních čísel v počítači je způsob záznamu záporných čísel, neboť pro číslo je k dispozici jen omezený počet bitů. Existuje několik způsobů: Přímý kód Doplňkový kód Inverzní kód Kód s posunutou nulou

45 Přímý kód Přímý kód - vyčlenění prvního bitu jako znaménka. Příklad: Pokud binární číslo vyjadřuje jedničku, pak označuje -1. Nevýhody: Komplikace při praktickém počítání – nejprve je vždy třeba testovat znaménkový bit a podle výsledku provést sčítání nebo odčítání, je třeba mít pro sčítání a odčítání různé algoritmy, existují dvě reprezentace čísla nula – kladná a záporná nula. Proto byl později pro záznam záporných čísel objeven - doplňkový kód.

46 Doplňkový kód Doplňkový kód záporné číslo je zaznamenáno jako binární negace (záměna všech 0 za 1) původního čísla zvětšená o 1, úvodní bit má v tomto kódu opět význam znaménka, využívá se faktu, že při odečtení čísla od čísla dojde k přetečení, a výsledkem je číslo Příklad: Vyjádřete číslo (-13) doplňkovým kódem. Výhody: Není třeba speciální algoritmus pro odečítaní, jediná reprezentace čísla nula. pokud je binární vyjádření čísla 13, pak -13 se vypočte jako: = (binární negace)

47 Pokud se sečte záporné číslo vyjádřené doplňkovým kódem s jiným záporným nebo větším kladným číslem, dojde k přetečení rozsahu. Kód je ale zvolen tak, že po odříznutí přetečeného bitu dostáváme správný výsledek. Příklad: Přičtěte k číslu (-13) vyjádřeného doplňkovým kódem číslo Vyjádření čísla (-13) doplňkovým kódem: Binární vyjádření čísla 20: = 20 + (-13) = = = 7 (po odříznutí přeteklého devátého bitu) (po odříznutí přeteklého devátého bitu)

48 Příklad: Vyjádřete číslo (-21) doplňkovým kódem a přičtěte k němu číslo 25. Vyjádření čísla (-21) doplňkovým kódem: (21) 10 = (10101) 2 doplnění na 8-mi bitové číslo: binární negace: přičtení jedničky: = Binární vyjádření čísla 25: = 25 + (-21) = = = 4 (po odříznutí přeteklého devátého bitu) (po odříznutí přeteklého devátého bitu)

49 Inverzní kód Inverzní kód doplněk ke dvěma výše uvedeným metodám, jakýsi mezikrok – kladná čísla se vyjadřují normálním způsobem, záporná čísla se vyjadřují binární negací čísla, tento kód má stále dvě reprezentace čísla nula. Příklad: Vyjádřete číslo 3 a (-3) inverzním kódem. binární vyjádření čísla 3: 11 doplnění na 8-mi bitové číslo: Číslo -3 vyjádřené pomocí inverzního kódu: binární negace tj

50 Kód s posunutou nulou Kód s posunutou nulou k číslu se připočítává nějaká známá konstanta. tento kód se běžně používá pro reprezentaci exponentu reálných čísel. Nevýhody: kladná čísla se liší od bezznaménkové reprezentace čísel, operace sčítání nepotřebuje úpravy, ale pro operaci násobení je nutné od operandů odečíst známou konstantu. Příklad: pro osmibitová čísla, která mohou reprezentovat 256 různých čísel, je možné považovat: = = = 127.

51 Převod mezi číselnými soustavami v prostředí Mathematica Převod mezi číselnými soustavami v prostředí Mathematica Převod z desítkové soustavy do jiné Převod z jiné libovolné soustavy do desítkové

52 Jsou to soustavy, které nelze vyjádřit mnohočlenem: Nepoziční číselná soustava je způsob reprezentace čísel, ve kterém není hodnota číslice dána jejím umístěním v dané sekvenci číslic. Každá číslice tedy nemá pozicí dánu svou váhu pro výpočet celkové hodnoty čísla. V nejjednodušším systému stačí sečíst hodnoty jednotlivých číslic. Nevýhody: Často neobsahovaly symbol pro nulu a záporná čísla. Dlouhý zápis čísel, která výrazně převyšují hodnotu největšího symbolu soustavy. Výhody: Jednoduché sčítání a odečítání

53 Celé číslo v dekadické soustavě není vždy dělitelné základem jiné soustavy. dělením vznikají podíly a zbytky N a = a a.Z + R a N b = a b.Z + R b zbytkové třídy R modulo Z => soustava zbytkových tříd Čísla které mají stejné zbytky, náleží do stejné zbytkové třídy R modulo Z => soustava zbytkových tříd Soustava zbytkových tříd Soustava zbytkových tříd

54 Číselná soustava zbytkových tříd je charakterizována několika základy (Z 1, Z 2, …, Z n ). Funkce základu je zcela odlišná od soustav polyadických. Základem jsou celá kladná čísla, která musí být vzájemně nesoudělná. Počet základů má u tohoto typu číselných soustav podobný význam jako počet řádových míst u soustav polyadických.

55 Výsledné číslo je tedy dáno sepsáním zbytků R i, které získáme při dělení jednotlivými základy Z 1, Z 2, …,Z n. N (10) Z 1 = podíl + R 1 N (10) Z 2 = podíl + R 2 … Jednotlivé číslice soustavy odvozujeme z dekadických čísel jako N (10) mod Z i = R i.

56 11:2 = 5R 1 = 1 11:3 = 3R 2 = 2 11:5 = 2R 3 = 1 Zápis čísla bude 11 (10) = 121 (Z235) Příklad: Nechť Z 1 =2, Z 2 =3, Z 3 =5. Převeďte číslo 11 do soustavy zbytkových tříd o těchto základech.

57 Příklad: Nechť Z 1 =2, Z 2 =3, Z 3 =4. Perioda (kapacita) této soustavy je P=2.3.4=24. Zapište všechna čísla takové soustavy. !!!!!! !!! Všechny kombinace se opakují 2 krát !!! protože Z 1 a Z 3 nejsou nesoudělná čísla. protože Z 1 a Z 3 nejsou nesoudělná čísla. prvočísla Proto u soustavy zbytkových tříd tvoří základy prvočísla

58 Kapacita soustavy zbytkových tříd je dána periodou, která je nejmenším společným násobkem základů Z 1, Z 2, …, Z n. Perioda se označuje znakem P a je dána v případě prvočíselných základů vztahem: P = Z 1 · Z 2 ·... · Z n Kapacita soustavy zbytkových tříd Kapacita soustavy zbytkových tříd Příklad: Nechť Z 1 =2, Z 2 =3, Z 3 =7. Jaká je perioda (kapacita) této soustavy? P = 2 · 3 · 7 = 42

59 Příklady k procvičení: Převeďte číslo z dekadické soustavy do soustavy zbytkových tříd o daných základech: 33 (10) = N (Z357) 77 (10) = N (Z2357) 035 (Z357) 1220 (Z2357)

60 Aritmetické operace v soustavě zbytkových tříd Aritmetické operace v soustavě zbytkových tříd Operace v soustavě zbytkových tříd se řídí odlišnými pravidly. Postup je demonstrován na operaci sčítání, odčítání a násobení. Příklad: Nechť Z 1 =2, Z 2 =3, Z 3 =5. Převeďte dekadická čísla 2, 4, 8, 14 do soustavy s těmito základy. Najděte součet čísel 14 a 8, rozdíl čísel 8 a 4, součin čísel 4 a 2. 2 (10) = 022 (Z235) 4 (10) = 014 (Z235) 8 (10) = 023 (Z235) 14 (10) = 024 (Z235) 22 (10) = 012 (Z235) výsledek v dekadické soustavě, pomocí základů převedeme znovu do soustavy zbytk. tříd 0 : 2 = 0 zb. 0 0 : 2 = 0 zb. 0 4 : 3 = 1 zb. 1 4 : 3 = 1 zb. 1 7 : 5 = 1 zb. 2 7 : 5 = 1 zb. 2 sčítání

61 výsledek v dekadické soustavě, pomocí základů převedeme znovu do soustavy zbytk. tříd 0 : 2 = 0 zb. 0 0 : 2 = 0 zb. 0 1 : 3 = 0 zb. 1 1 : 3 = 0 zb. 1 9 : 5 = 1 zb. 4 9 : 5 = 1 zb. 4 odčítání násobení x x výsledek v dekadické soustavě, pomocí základů převedeme znovu do soustavy zbytk. tříd 0 : 2 = 0 zb. 0 0 : 2 = 0 zb. 0 2 : 3 = 0 zb. 2 2 : 3 = 0 zb. 2 8 : 5 = 1 zb. 3 8 : 5 = 1 zb. 3 Příklady k procvičení: Proveďte dané aritmetické operace v soustavě zbytkových tříd. 214 (Z357) (Z357) =231 (Z357) x 144 (Z357) = 214 (Z357) (Z357) = 145 (Z357) 224 (Z357) 033 (Z357)

62 Římská čísla Římská čísla Římská číselná soustava je asi nejznámější nepolyadická soustava. Základní římské číslice používané dnes jsou: I = 1 X = 10 L = 50 M = 1000 I = 1 X = 10 L = 50 M = 1000 V = 5 C = 100 D = 500 Spojováním a opakováním základních symbolů lze zapisovat i větší čísla. Větší číslice vždy předcházejí menší. Číslice V, L, D mohou být zapsány nejvýše jednou za sebou a číslice I, X, C nejvýše třikrát za sebou. M se může libovolně opakovat. Pravidla pro práci s Římskými čísly Pravidla pro práci s Římskými čísly

63 Římské číslice se zapisují až na výjimky zprava doleva. Římané obvykle psali číslo 4 jako IIII, číslo 40 jako XXXX, číslo 999 jako DCCCCLXXXXVIIII. Ke zkrácení zápisu takových dlouhých čísel se začalo používat zvláštního pravidla pro odečítání. Pravidlo pro odečítání umožňuje použití šesti složených symbolů, ve kterých menší číslice předchází větší IV = 4 IX = 9 XL = 40 IV = 4 IX = 9 XL = 40 XC = 90CD = 400CM = 900 Př.: MCMXCIV = ( ) +( ) + (5 - 1) = 1994 Při použití tohoto pravidla lze číslo 999 napsat úspornějším způsobem CMXCIX. Používání jiných symbolů není dovoleno. Proto nelze napsat 999 jako IM. Na druhou stranu ale používání tohoto pravidla není povinné. Číslici 4 lze napsat správně jako IV i jako IIII. Pravidla pro práci s Římskými čísly Pravidla pro práci s Římskými čísly

64 Jsou li stejné znaky vedle sebe, nebo jsou-li čísla seřazena sestupně, tak se sčítají. Př.: MMDCLXXXVI = = 2686 milionŘímané neměli žádné slovo pro milion a takto velká čísla používali velmi zřídka. Teprve později a zvlášť ve středověku bylo nutné zapisovat i větší čísla. Proto byly zavedeny znaky s následujícími významy: = = = Tyto čárkované symboly se ale dnes prakticky nevyskytují.

65 Historie Římských čísel Historie Římských čísel I I Římská čísla vznikla přirozenou cestou. Římané počítali na prstech. Čísla jako 1, 2 a 3 a jím odpovídající znaky I, II a III graficky vyjadřují jednotlivé prsty. V a X Také tato dvě římská čísla mají svůj původ v lidské ruce: Římská číslice V (5) je vyjádřením dlaně s pěti prsty – „V“ tvoří tvar mezi palcem a malíčkem. Římská číslice X (10) jsou dvě dlaně u sebe (10 prstů). L a C Latinsky sto je centum. Odtud C. Padesát je polovina ze stovky. L tedy vzniklo "rozpůlením" znaku pro 100 (C). D a M Tisíc je latinsky mille (odtud M pro 1000). Znak D pro 500 vznikl opět grafickým "půlením" znaku M, tentokrát svisle. Vznikl tak znak podobný písmenu D.

66 Tabulka římských číslic

67


Stáhnout ppt "1.Vznik a vývoj teorie informace 2.Matematický aparát v teorii informace Základy teorie pravděpodobnosti – Náhodné veličiny Číselné soustavy 3.Informace."

Podobné prezentace


Reklamy Google