Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

F U N K C E. F U N K C E z o b r a z e n í je předpis (pravidlo), který každému prvku x z množiny A přiřazuje právě jeden prvek y z množiny B. A 1 2 3.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "F U N K C E. F U N K C E z o b r a z e n í je předpis (pravidlo), který každému prvku x z množiny A přiřazuje právě jeden prvek y z množiny B. A 1 2 3."— Transkript prezentace:

1 F U N K C E

2 F U N K C E z o b r a z e n í je předpis (pravidlo), který každému prvku x z množiny A přiřazuje právě jeden prvek y z množiny B. A B a b c Opakování: U1U1 Zobrazení U množiny A do množiny B Př. 1

3 F U N K C E z o b r a z e n í je předpis (pravidlo), který každému prvku x z množiny A přiřazuje právě jeden prvek y z množiny B. A Petr Jan Martin B Opakování: U2U2 Zobrazení U množiny A do množiny B Př. 2

4 F U N K C E z o b r a z e n í je předpis (pravidlo), který každému prvku x z množiny A přiřazuje právě jeden prvek y z množiny B. A Eva Jana Jiří B Opakování: U3U3 Zobrazení U množiny A do množiny B Př. 3

5 F U N K C E z o b r a z e n í je předpis (pravidlo), který každému prvku x z množiny A přiřazuje právě jeden prvek y z množiny B. Opakování: U4U4 Zobrazení U množiny A do množiny B Př. 4 A B o

6 F U N K C E z o b r a z e n í Definiční obor zobrazení U – značí se D(U) = množina A (množina vzorů) Obor hodnot zobrazení U – značí se H(U) = množina všech prvků y z množiny B, pro které existuje v množině A prvek x tak, že y je obrazem x v daném zobrazení (množina obrazů) Opakování:

7 F U N K C E z o b r a z e n í Opakování: A B a b c U1U1 Doplňte obor hodnot daných zobrazení: H(U 1 ) = A Petr Jan Martin B U2U H(U 2 ) =

8 F U N K C E z o b r a z e n í Opakování: Doplňte obor hodnot daných zobrazení: H(U 3 ) = A Eva Jana Jiří B U3U3

9 F U N K C E z o b r a z e n í Pro H(U) Opakování: B nazýváme U zobrazení množiny A do množiny B Pro H(U) = B nazýváme U zobrazení množiny A na množinu B (některé prvky z množiny B nemají v množině A „svůj vzor“) (všechny prvky z množiny B mají v množině A „svůj vzor“) Zobrazení mn. A do mn. B se nazývá prosté, jestliže různým prvkům z mn. A jsou přiřazeny různé prvky z mn. B. Jde-li navíc o zobrazení mn.A na mn.B, mluvíme o vzájemně jednoznačném zobrazení množin A a B.

10 F U N K C E z o b r a z e n í Opakování: A B a b c U1U1 Diskutujte typ daných zobrazení: A do B A Petr Jan Martin B U2U A do B A na B vzáj. jednoznačné

11 F U N K C E z o b r a z e n í Opakování: A Eva Jana Jiří B U3U3 A do B A na B vzáj. jednoznačné Diskutujte typ daných zobrazení:

12 F U N K C E z a v e d e n í p o j m u Každé zobrazení množiny D do množiny R (pro D = R lze uvažovat i zobr. D na R) nazýváme funkce. Funkce je tedy speciálním druhem zobrazení mn. A do mn. B, kde A i B jsou číselné množiny. Mějme množinu D R. (R = množina všech reálných čísel) Funkcí rozumíme předpis (pravidlo), který každému číslu x z množiny D (definiční obor) přiřazuje právě jedno číslo y z množiny H (obor hodnot). Přitom D R, H R. Nejčastěji se budeme setkávat s tzv. funkcí jedné reálné proměnné, nejčastěji označované x.

13 F U N K C E z a v e d e n í p o j m u S funkcemi se setkáme často i mimo matematiku, všude, kde je potřeba vyjádřit vztah (závislost) dvou (většinou) veličin, např. ve fyzice. t [s] v [m/s] Závislost rychlosti v na čase t pro rovnoměrně zpomalený pohyb s počáteční rychlostí v 0 a zrychlením a. Př. v = v 0 – a.t v0v0 8 Času 0 s je přiřazena rychlost v 0, času 10 s rychlost 8 m/s, atd.

14 F U N K C E z a v e d e n í p o j m u S funkcemi se setkáme často i mimo matematiku, všude, kde je potřeba vyjádřit vztah (závislost) dvou (většinou) veličin, např. ve fyzice. Př. Závislost hustoty  plynu o hmotnosti m na jeho objemu V. V [cm 3 ]  [g/cm 3 ] 0

15 F U N K C E z a v e d e n í p o j m u Funkce budeme zpravidla značit malými písmeny f, g, h,... nebo f 1, f 2, f 3, …, definiční obor pak D(f), D(f 2 ) apod., obor (funkčních) hodnot H(f), H(f 2 ) atd. f: y = f(x) výraz s proměnnou x, tzv. funkční předpis (rovnice funkce) x - argument (nezávisle proměnná) y - funkční hodnota (závisle proměnná) „ y je funkcí x “, „y závisí na x “ Př.: f: y = 2x + 6 g: y = x 2 – 2 resp. g(x) = x 2 – 2

16 F U N K C E z a v e d e n í p o j m u Funkce je jednoznačně určena svým funkčním předpisem (rovnicí) a definičním oborem. Podle typu funkčního předpisu rozlišujeme:  analytické zadání – funkční předpis je rovnice y = f(x)  zadání pomocí tabulky se všemi dvojicemi [ x ; y = f(x) ]  grafické zadání – funkce určena přímo grafem Není-li definiční obor určen, rozumíme jím (a máme určit) množinu všech reálných čísel, pro která má funkční předpis smysl (nejširší možný definiční obor).

17 F U N K C E g r a f Vztah (závislost) y a x lze znázornit graficky. Mějme danou funkci f: y = f(x) s definičním oborem D(f). Grafem funkce f: y = f(x) ve zvolené k.s.s. je množina všech bodů se souřadnicemi [ x ; y ] = [ x ; f(x) ]. y =f(x) [ x 1 ; f(x 1 ) ] [ x 2 ; f(x 2 ) ] [ x 3 ; f(x 3 ) ] [ x 4 ; f(x 4 ) ] [ x 5 ; f(x 5 ) ] [ x 6 ; f(x 6 ) ] [ x 7 ; f(x 7 ) ] [ x 8 ; f(x 8 ) ] [ x 9 ; f(x 9 ) ]

18 F U N K C E r o v n o s t f u n k c í Dvě funkce f, g jsou si rovny, právě tehdy, když mají totožný definiční obor, tj.D(f) = D(g), a v každém bodě x tohoto definičního oboru je f(x) = g(x). Grafy sobě rovných funkcí jsou totožné (v téže k.s.s).

19 F U N K C E s u d á f u n k c e Nechť pro definiční obor funkce f platí: je-li x  D(f), pak také -x  D(f) (definiční obor je symetrický podle 0) Taková funkce f se nazývá sudá právě tehdy, když pro každé x  D(f) platí: f(-x) = f(x). Graf sudé funkce je osově symetrický podle osy y.

20 y = x 2 y = x 4 -2x 2 Příklady sudých funkcí

21 F U N K C E s u d á f u n k c e Příklady sudých funkcí

22 F U N K C E l i ch á f u n k c e Nechť pro definiční obor funkce f platí: je-li x  D(f), pak také -x  D(f) (definiční obor je symetrický podle 0) Taková funkce f se nazývá lichá právě tehdy, když pro každé x  D(f) platí: f(-x) = - f(x). Graf liché funkce je středově symetrický podle počátku k.s.s.

23 y = x 3 y = x 3 -2x Příklady lichých funkcí

24 F U N K C E l i ch á f u n k c e y = sin x Příklady lichých funkcí

25 F U N K C E o m e z e n o s t f u n k c e Nechť je daná funkce f a M je podmnožina jejího definičního oboru (M  D(f)). Funkce f se nazývá zdola omezená na množině M, právě když existuje takové reálné číslo d, že pro všechna x  M je f(x)  d. Je-li M = D(f), je funkce f omezená zdola na celém definičním oboru, zkráceně pouze „funkce f je omezená zdola“.

26 Příklad funkce omezené zdola d = -4 f(x)  -4

27 F U N K C E o m e z e n o s t f u n k c e Nechť je daná funkce f a M je podmnožina jejího definičního oboru (M  D(f)). Funkce f se nazývá shora omezená na množině M, právě když existuje takové reálné číslo h, že pro všechna x  M(f) je f(x)  h. Je-li M = D(f), je funkce f omezená shora na celém definičním oboru, zkráceně pouze „funkce f je omezená shora“.

28 Příklad funkce omezené shora h = 7 f(x)  7

29 F U N K C E o m e z e n o s t f u n k c e Funkce f se nazývá omezená na množině M právě tehdy, když je na množině M omezená zdola i shora. Je-li M = D(f), je funkce f omezená na celém definičním oboru, zkráceně říkáme pouze „funkce f je omezená“.

30 Příklad funkce omezené h d  f(x)  h d

31 F U N K C E e x t r é m y f u n k c e Nechť je daná funkce f, M je podmnožina jejího definičního oboru (M  D(f)), x m  M. Funkce f má v bodě x m lokální minimum na množině M, právě když pro všechna x  M je f(x)  f(x m ). Je-li M = D(f), jde o tzv. absolutní minimum.

32 Příklad – minimum funkce x m = 0 absolutní minimum x m = 5 5 lokální minimum na mn. M =  3 ; 7  M

33 F U N K C E e x t r é m y f u n k c e Nechť je daná funkce f, M je podmnožina jejího definičního oboru (M  D(f)), x M  M. Funkce f má v bodě x M lokální maximum na množině M, právě když pro všechna x  M je f(x)  f(x M ). Je-li M = D(f), jde o tzv. absolutní maximum.

34 Příklad – maximum funkce x M = 3 absolutní maximum lokální maximum na mn. M =  -2 ; 0  M 3

35 F U N K C E e x t r é m y f u n k c e Jestliže v definicích lokálních extrémů budou pro všechna x  M (popř. x  D(f) ) platit ostré nerovnosti tj. f(x) > f(x m ) resp. f(x) < f(x M ), hovoříme o tzv. ostrém minimu resp. ostrém maximu funkce na množině M. (extrémní hodnoty je nabýváno pouze jednou)

36 F U N K C E m o n o t ó n n o s t f u n k c e Nechť f je funkce, M podmnožina jejího definičního oboru. Funkce f se nazývá rostoucí na množině M právě tehdy, když pro každé x 1, x 2  M platí: jestliže x 1 < x 2, pak f(x 1 ) < f(x 2 ). y = f(x) x1x1 x2x2 f(x 1 ) f(x 2 ) s rostoucím x rostou i funkční hodnoty f(x) x y 0

37 F U N K C E m o n o t ó n n o s t f u n k c e Nechť f je funkce, M podmnožina jejího definičního oboru. Funkce f se nazývá klesající na množině M právě tehdy, když pro každé x 1, x 2  M platí: jestliže x 1 < x 2, pak f(x 1 ) > f(x 2 ). y = f(x) x1x1 x2x2 f(x 1 ) f(x 2 ) s rostoucím x klesají funkční hodnoty f(x) x y 0

38 F U N K C E m o n o t ó n n o s t f u n k c e Nechť f je funkce, M podmnožina jejího definičního oboru. Funkce f se nazývá neklesající na množině M právě tehdy, když pro každé x 1, x 2  M platí: jestliže x 1 < x 2, pak f(x 1 )  f(x 2 ). (funkce je na množině M rostoucí nebo konstantní) Funkce f se nazývá nerostoucí na množině M právě tehdy, když pro každé x 1, x 2  M platí: jestliže x 1 < x 2, pak f(x 1 )  f(x 2 ). (funkce je na množině M klesající nebo konstantní)

39 Pro M = D(f) budeme místo označení „funkce rostoucí (klesající, nerostoucí, neklesající) na celém definičním oboru“ zkráceně říkat „funkce rostoucí (klesající, nerostoucí, neklesající)“. Funkce, které jsou jenom rostoucí nebo jenom klesající se nazývají „ryze rostoucí“ nebo „ryze klesající“ (ryze monotónní)

40 F U N K C E p r o s t á f u n k c e Funkce f s definičním oborem D(f) je prostá právě tehdy, když pro libovolná x 1, x 2  D(f), x 1  x 2, platí: f(x 1 )  f(x 2 ). Pro různá x jsou různé funkční hodnoty (neopakují se funkční hodnoty).

41 F U N K C E p e r i o d i c k á f u n k c e Funkce f se nazývá periodická, právě když existuje takové nenulové reálné číslo p, že pro každé x  D(f) je také (x  p)  D(f) a platí : f(x  p) = f(x). Číslo p se nazývá perioda funkce f (určujeme tzv. základní periodu – nejmenší z možných). Funkční hodnoty se při změně argumentu x o hodnotu periody opakují. 0 22 33 44 -3  -2  -4  -- y = sin x p = 2  Př.:


Stáhnout ppt "F U N K C E. F U N K C E z o b r a z e n í je předpis (pravidlo), který každému prvku x z množiny A přiřazuje právě jeden prvek y z množiny B. A 1 2 3."

Podobné prezentace


Reklamy Google