Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

BA03 Deskriptivní geometrie přednášková skupina P-B1VS2 učebna Z240 letní semestr 2013-2014 Mgr. Jan Šafařík.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "BA03 Deskriptivní geometrie přednášková skupina P-B1VS2 učebna Z240 letní semestr 2013-2014 Mgr. Jan Šafařík."— Transkript prezentace:

1 BA03 Deskriptivní geometrie přednášková skupina P-B1VS2 učebna Z240 letní semestr Mgr. Jan Šafařík

2 2 Kontakt: Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrieDeskriptivní geometrie BA03 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie Žižkova 17, Brno místnost Z221 telefon: www:http://vyuka.safarikovi.org/ konzultační hodiny: čtvrtek, 10:00 – 11:00 V případě potřeby je možné domluvit konzultaci i mimo stanovený čas po individualní domluvě.

3 3 Základní literatura:  Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v Brně: Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta stavební VUT v Brně, ISBN Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrieDeskriptivní geometrie BA03

4 4 Základní literatura:  Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Roušar, Josef - Šafařík, Jan - Zrůstová, Lucie: Sbírka zkouškových příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně,  Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar, Josef - Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová, Hana, Zrůstová, Lucie: Sbírka řešených příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně,  Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v Brně: Vyrovnávací kurz deskriptivní geometrie BA91, Fakulta stavební VUT v Brně,  Puchýřová, Jana: Cvičení z deskriptivní geometrie, Část A, Akademické nakladatelství CERM, s.r.o., Fakulta stavební VUT, Brno  Puchýřová, Jana: Cvičení z deskriptivní geometrie, Část B, Akademické nakladatelství CERM, s.r.o., Fakulta stavební VUT, Brno Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrieDeskriptivní geometrie BA03

5 5 Doporučená literatura:  Stránky Deskriptivní geometrie pro 1. ročník kombinovaného studia FAST,  Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie I. - Kuželosečky, Fakulta stavební VUT, Brno  Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie II. - Promítací metody, Fakulta stavební VUT, Brno  Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie III. - Plochy stavebně technické praxe, Fakulta stavební VUT, Brno  Moll, Ivo - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Slaběňáková, Jana - Roušar, Josef - Slatinský, Emil - Slepička, Petr - Šafářová, Hana - Šafařík, Jan - Šmídová, Veronika - Švec, Miloslav - Tomečková, Jana: Deskriptivní geometrie, verze pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, FAST VUT Brno,  Piska, Rudolf - Medek, Václav: Deskriptivní geometrie I, SNTL/SVTL, Praha  Piska, Rudolf - Medek, Václav: Deskriptivní geometrie II, SNTL/ALFA, Praha  Vala, Josef: Deskriptivní geometrie I, Fakulta stavební VUT, Brno  Vala, Josef: Deskriptivní geometrie II, Fakulta stavební VUT, Brno Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrieDeskriptivní geometrie BA03

6 6 Cíl předmětu: Zvládnout konstrukci kuželoseček na základě ohniskových vlastností. Pochopit principy perspektivní kolineace a perspektivní afinity a umět je použít při řešení příkladů. Pochopit a zvládnout základy promítání: Mongeova, kolmé axonometrie a lineární perspektivy. Rozvinout prostorovou představivost a zvládnout prostorové řešení jednoduchých úloh. Umět zobrazit jednoduchá geometrická tělesa a plochy v jednotlivých projekcích, jejich řezy. V lineární perspektivě zvládnout zobrazení stavebního objektu. Seznámit se se stručným výběrem poznatků z teorie křivek a ploch, umět konstrukci šroubovice ze zadaných prvků a konstrukci pravoúhlé uzavřené přímkové šroubové plochy. Seznámit se se stručným výběrem z teorie zborcených ploch, umět konstrukci hyperbolického paraboloidu a konoidů ze zadaných prvků. Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrieDeskriptivní geometrie BA03

7 7 Harmonogram předmětu: 1. Rozšířený euklidovský prostor. Dělící poměr. Princip promítání středového a rovnoběžného. Perspektivní kolineace, perspektivní afinita. 2. Systém základních úloh, užití na příkladech. Mongeovo promítání. Základní pojmy. Základní úlohy. 3. Mongeovo promítání. Základní úlohy. Průmět kružnice. Zavedení třetí průmětny. 4. Mongeovo promítání. Zobrazení tělesa. Řezy těles, příklady. 5. Kolmá axonometrie. Základní pojmy. Konstrukce v souřadnicových rovinách, kružnice v souř. rovině. Úlohy polohy. 6. Kolmá axonometrie. Zobrazení tělesa. Řez tělesa s podstavou v půdorysně, průsečíky přímky s tělesem. Zářezová metoda. Šikmé promítání na nárysnu (konstrukce v půdorysně, těleso s podstavou v půdorysně) Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrieDeskriptivní geometrie BA03

8 8 Harmonogram předmětu: 7. Úvod do středového promítání. Lineární perspektiva. Promítací aparát. Průsečná metoda. 8. Lineární perspektiva. Vynášení výšek. Metoda sklopeného půdorysu. Délky úseček v základní rovině. Metody volné perspektivy. 9. Lineární perspektiva. Další metody konstrukcí perspektivy (metoda dvou úběžníků, měřících bodů, hloubkových přímek). Kružnice v základní a svislé rovině. Gratikoláž. 10. Prostorová křivka. Šroubovice (zadání: (o, A, v/vo, točivost), (o,t); oskulační rovina v bodě šroubovice). Úvod do teorie ploch. 11. Přímý šroubový konoid. Zborcené plochy. Zborcené plochy druhého stupně. Zborcený hyperboloid. Hyperbolický paraboloid. 12. Zborcené plochy vyššího stupně. Kruhový a parabolický konoid, Marseillský a Montpellierský oblouk. 13. rezerva Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrieDeskriptivní geometrie BA03

9 9 Harmonogram cvičení: 1. Ohniskové vlastnosti kuželoseček. 2. Perspektivní kolineace, perspektivní afinita. Křivka afinní ke kružnici. Konstukce sdružených průměrů. 3. Konstrukce elipsy založené na afinitě, Rytzova konstrukce, proužková konstrukce. Mongeova projekce. Základní konstrukce. 4. Mongeova projekce. Základní úlohy. Rozbor jednoduchých konstruktivních úloh. Užití třetí průmětny. 5. Mongeova projekce. Zobrazení tělesa. Řezy těles kontrolní práce. Kolmá axonometrie. Metrické úlohy v souřadnicových rovinách. Zobrazení tělesa. 7. Kolmá axonometrie. Řez tělesa s podstavou v půdorysně, průsečíky přímky s tělesem. Šikmé promítání. Konstrukce v půdorysně (kružnice). 8. Lineární perspektiva 9. Lineární perspektiva. 10. Lineární perspektiva kntrolní práce. Šroubovice. Šroubový konoid v kolmé axonometrii 12. Hyperbolický paraboloid. Kruhový konoid. 13. Rezerva. Zápočty. Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrieDeskriptivní geometrie BA03

10 10 Požadavky k zápočtu  dvě zápočtové písemky – úspěšnost alespoň 30% ze součtu obou písemek 1. zápočtová písemka – 6. týden semestru 2. zápočtová písemka – 11. týden semestru  2 rysy – jednotné zadání pro všechny studijní skupiny, zadání budou upřesněna během semestru, rýsujte tužkou, na kladívkový papír, popis šablonkou  účast na cvičeních je povinná, tolerují se maximálně dvě omluvené neúčasti (viz studijní řád)  kontrola sešitu, vypracované typové příklady ze cvičení  domácí úlohy – řeší vyučující individuálně Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrieDeskriptivní geometrie BA03

11 11 Okruhy k písemné zkoušce  Budou upřesněny během semestru na stránkách Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrieDeskriptivní geometrie BA03

12 12 Geometrie a stavitelství Návrh geometrie Materiál Stavba Prostředí Ekonomika Náklady Konstrukce Technologie provádění Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrieDeskriptivní geometrie BA03

13 13 Geometrie v návrhu Zobrazení objektu Skicování Promítací metody Počítačové zobrazování Tvary Tělesa Křivky Plochy Dimenze Proporce Transformace operace s objekty Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrieDeskriptivní geometrie BA03

14 Přehled ploch stavební praxe

15 15 Hyperbolický paraboloid Graham McCourt Architects, 1983, sportovní aréna, Calgary, Alberta, Canada Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxeDeskriptivní geometrie BA03

16 16 Hyperbolický paraboloid Frei Otto, Günther Behnisch, Fritz Auer, Carlo Weber, , Olympijský stadión, Mnichov, Německo Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxeDeskriptivní geometrie BA03

17 17 Hyperbolický paraboloid F. Calatrava, 1982, oceánografické muzeum, Valencie Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxeDeskriptivní geometrie BA03

18 18 Kulová plocha arch. Jørn Utzon, 1973, Opera v Sydney, Nový Jižní Wales, Austrálie K zastřešení užito trojúhelníkových úsečí kulových ploch o shodném poloměru R=74.0m Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxeDeskriptivní geometrie BA03

19 19 Jednodílný hyperboloid arch. Oscar Niemeyer, 1970, Cathedral of Brasília (Catedral Metropolitana Nossa Senhora Aparecida) Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxeDeskriptivní geometrie BA03

20 20 Jednodílný hyperboloid The James S. McDonnell Planetarium, St. Louis, Missouri, U.S.A. Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxeDeskriptivní geometrie BA03

21 21 Jednodílný hyperboloid Chladící věže jaderných elektráren Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxeDeskriptivní geometrie BA03

22 22 Rotační paraboloid Ještěd, arch. Karel Hubáček, arch. Norman Foster a Ken Shuttleworth, , 30 St Mary Axe, Londýn, velká Británie Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxeDeskriptivní geometrie BA03

23 23 Rotační plocha Ještěd, arch. Karel Hubáček,  Nejedná se o jednodílný rotační hyperboloid  Hyperbola rotuje kolem asymptoty  Zbytek plochy rotací spline funkcí Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxeDeskriptivní geometrie BA03

24 24 Šroubová plocha arch. Santiago Calatrava, , Turning Torso Šroubování krychle o ¼ závitu; po stranách otevřené pravoúhlé přímkové šroubové plochy (svidřík) Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxeDeskriptivní geometrie BA03

25 25 Šroubová plocha arch. Santiago Calatrava, , Fordham Spire Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxeDeskriptivní geometrie BA03

26 26 Šroubová plocha Fordham Spire - návrh Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxeDeskriptivní geometrie BA03

27 27 Přímý šroubový konoid Schodová plocha Lednice - Minaret Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxeDeskriptivní geometrie BA03

28 28 Plocha Štramberské trůby Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxeDeskriptivní geometrie BA03

29 29 Plocha šikmého průchodu Vyšehradský tunel Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxeDeskriptivní geometrie BA03

30 30 Přímý parabolický konoid Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxeDeskriptivní geometrie BA03

31 31 „Corne de Vache“ plocha kravského rohu Most Legií, Praha Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxeDeskriptivní geometrie BA03

32 32 Deskriptivní geometrie BA03

33 33 Jak zvládnout deskriptivu? Tajemství úspěchu není dělat jen to, co se nám líbí, ale najít zalíbení v tom, co děláme. T. A. Edison Deskriptivní geometrie BA03

34 34 Kdo nerozumí jednomu pohledu, nepochopí ani dlouhé vysvětlováni. arabské přísloví Deskriptivní geometrie BA03

35 Přednáška č.1 Rozšířený euklidovský prostor. Dělící poměr. Princip středového a rovnoběžného promítání. Perspektivní kolineace, perspektivní afinita.

36 36 Rozšířený euklidovský prostor  každá vlastní přímka má jeden nevlastní bod (je incidentní s jedním nevlastním bodem),  nevlastní bod je určen směrem přímky, která je s tímto bodem incidentní,  všechny vzájemně rovnoběžné přímky se protínají v jediném nevlastním bodě,  každá vlastní rovina má jednu nevlastní přímku (je incidentní s nevlastní přímkou),  všechny vzájemně rovnoběžné roviny se protínají v jediné nevlastní přímce. Jan Šafařík: První přednáškaDeskriptivní geometrie BA03

37 37 Dělící poměr Zvolme na dané přímce p dva různé vlastní body A, B a kladný směr. Pak poloha libovolného dalšího bodu C je určena poměrem délek orientovaných úseček | AC | : | BC | = λ. Tento poměr nazýváme dělící poměr bodu C vzhledem k základním bodům A, B, značíme (ABC). (ABC) > 1bod C leží vně úsečky AB, tak aby |AC|>|BC| 0 < (ABC) < 1bod C leží vně úsečky AB, tak aby |AC| < |BC| (ABC) < 0bod C leží uvnitř úsečky AB (ABC) = 0bod C splývá s bodem A Hodnota dělícího poměru nezávisí na volbě orientace přímky. Dvojpoměrem čtyř bodů A, B, C, D (v tomto pořadí) na orientované přímce nazýváme poměr (ABC) : (ABD), t.j. podíl dělících poměrů bodů C a D vzhledem k základním bodům A, B; značíme (ABCD). Jan Šafařík: První přednáškaDeskriptivní geometrie BA03

38 38 Princip středového a rovnoběžného promítání  S... střed promítání  s... směr promítání  A´... průmět bodu  ρ... průmětna  AA´... promítací paprsek Definice: 1.Zobrazení, ve kterém obrazem bodu A v prostoru různého od bodu S je průsečík A´ přímky AS s rovinou ρ, se nazývá promítání. Bod S se nazývá střed promítání, rovina ρ průmětna, přímka AS promítací přímka (promítací paprsek), bod A´ průmět bodu A, rovina procházející středem promítání promítací rovina. 2.Je-li střed S promítání vlastní bod, nazýváme promítání středové (centrální), je-li střed S promítání nevlastní bod, nazýváme promítání rovnoběžné (paralelní). Jan Šafařík: První přednáškaDeskriptivní geometrie BA03

39 39 Vlastnosti promítání  Průmětem bodu, různého od středu promítání, je bod.  Průmětem přímky, která neprochází středem promítání, je přímka.  Průmětem promítací přímky je bod, tj. její průsečík s průmětnou.  Průmětem roviny, která neprochází středem promítání, je průmětna.  Průmětem promítací roviny je přímka.  Invariantem středového promítání je dvojpoměr čtyř bodů na přímce. Důsledek: a) průmětem rovnoběžných přímek nejsou rovnoběžky, b) průmět nevlastního bodu může být bod vlastní i nevlastní.  Invariantem rovnoběžného promítání je dělící poměr tří bodů na přímce. Důsledek: a) průmětem rovnoběžných přímek jsou rovnoběžky, b) průmět středu úsečky je střed průmětu úsečky, c) průmět vlastního bodu je bod vlastní. d) průmět nevlastního bodu je bod nevlastní. Věta: Incidence prvků se promítáním zachovává. Poznámka: Metrické vlastnosti, tj. délky a úhly se obecně promítáním nezachovají. Jan Šafařík: První přednáškaDeskriptivní geometrie BA03

40 40 Zobrazovací metody Rovnoběžná promítání  Kótované promítaní  Mongeovo promítání  Axonometrické promítání - pravoúhlé (ortogonální) - kosoúhlé (klinogonální) Středová promítání  Obecné středové promítání  Lineární perspektiva  Stereoskopické promítání (anaglyfy)  Reliéf Jan Šafařík: První přednáškaDeskriptivní geometrie BA03

41 41 Perspektivní kolineace Je dána trojboká jehlanová plocha s vrcholem S a dvě různoběžné roviny ρ a ρ'. Rovina ρ protíná jehlanovou plochu v trojúhelníku ABC a rovina ρ' protíná jehlanovou plochu v trojúhelníku A'B'C'. Pokud Δ ABC promítneme z bodu S do roviny ρ', získáme Δ A'B'C'. Máme zobrazení bodů a přímek roviny ρ do bodů a přímek roviny ρ', ve kterém platí stejně jako v afinitě, že odpovídající si přímky se protínají na průsečnici rovin ρ a ρ'. Jan Šafařík: První přednáškaDeskriptivní geometrie BA03

42 42 Perspektivní kolineace Definice: Nechť jsou dány dvě různé vlastní roviny ρ a ρ ' a vlastní bod S neležící v žádné z daných rovin. Středovým promítáním ze středu S se body a přímky roviny ρ zobrazí do bodů a přímek roviny ρ '. Toto zobrazení se nazývá perspektivní kolineace (dále jen kolineace) mezi rovinami ρ a ρ '. Průsečnice rovin ρ a ρ ' se nazývá osa kolineace, bod S se nazývá střed kolineace. Kolineace je jednoznačně určena středem S a rovinami ρ a ρ '. Základní vlastnosti kolineace: 1. Bodu (přímce) jedné roviny je přiřazen jediný bod (jediná přímka) druhé roviny. Bodu A ležícímu na přímce a v rovině ρ je přiřazen bod A' na přímce a' v rovině ρ ', přičemž a' je obrazem přímky a (incidence se zachovává). 2. Dvojice kolineárně sdružených bodů leží na přímkách procházejících středem kolineace (tyto přímky nazýváme paprsky kolineace). 3. Kolineárně sdružené přímky se protínají na ose kolineace. Osa kolineace je množina samodružných bodů. Jan Šafařík: První přednáškaDeskriptivní geometrie BA03

43 43 Perspektivní kolineace Označení: A  A 'bude vyjadřovat, že obrazem bodu A je bod A '. A  A ' bude vyjadřovat, že A a A ' jsou kolineárně sdružené body. p  p ' bude vyjadřovat, že p a p ' jsou kolineárně sdružené přímky. Úběžník přímky- obraz nevlastního bodu, je to vlastní bod Úběžnice roviny- obraz nevlastní přímky roviny, je to množina úběžníků všech přímek roviny Orientovaná vzdálenost středu kolineace od úběžnice jedné roviny je rovna orientované vzdálenosti úběžnice druhé roviny od osy kolineace. Jan Šafařík: První přednáškaDeskriptivní geometrie BA03

44 44 Perspektivní kolineace Promítneme-li z nějakého bodu O, který neleží v žádné z rovin ρ a ρ ', kolineaci mezi rovinami ρ a ρ ' do libovolné roviny  (O   ), získáme zobrazení nazývané perspektivní kolineace v rovině, dále jen kolineace. Jan Šafařík: První přednáškaDeskriptivní geometrie BA03

45 45 Poznámka: Kolineaci budete využívat při sestrojování rovinných řezů jehlanů a kuželů. Mezi podstavou a řezem je kolineární vztah, osou kolineace je průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, středem kolineace je vrchol tělesa. Postup při sestrojení řezu jehlanu nebo kužele je následující: 1. Určíme jeden bod řezu jako průsečík libovolné površky (nebo osy tělesa) s rovinou řezu 2. Využitím vlastností kolineace určíme čáru řezu jako křivku kolineární ke křivce podstavy (osa kolineace: průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, pár odpovídajících si bodů: nalezený bod řezu a bod podstavy na téže povrchové přímce) Jan Šafařík: První přednáškaDeskriptivní geometrie BA03

46 46 Perspektivní afinita Je dána trojboká hranolová plocha, jejíž hrany a, b, c jsou rovnoběžné s daným směrem s. Dále jsou dány roviny ρ a ρ', které se protínají v přímce o. Rovina ρ protíná hranolovou plochu v Δ ABC, rovina ρ' protíná hranolovou plochu v Δ A'B'C', a (A, A' ) || b (B, B' ) || c (C, C' ) || s. α (a,b) je rovina stěny hranolové plochy. V této rovině leží jak přímka AB = ρ  α, tak přímka A'B' = ρ'  α. Průsečík přímek AB a A'B' (na obrázku označen I ) musí ležet na průsečnici o rovin ρ a ρ', protože je to společný bod tří rovin ρ, ρ', α. Můžeme také říci, že Δ A'B'C' vznikl promítnutím Δ ABC směrem s do roviny ρ'. Jan Šafařík: První přednáškaDeskriptivní geometrie BA03

47 47 Perspektivní afinita Definice: Nechť jsou dány dvě různé vlastní roviny ρ a ρ ' a směr promítání s, který není rovnoběžný s žádnou z daných rovin. Rovnoběžným promítáním ve směru s se body a přímky roviny ρ zobrazí do bodů a přímek roviny ρ '. Získáme tak geometrické zobrazení v prostoru nazývané perspektivní afinita (dále jen afinita) mezi rovinami ρ a ρ '. Průsečnice rovin ρ a ρ ' se nazývá osa afinity, směr s nazýváme směr afinity. Označení: A  A 'bude vyjadřovat, že obrazem bodu A je bod A '. A  A ' bude vyjadřovat, že A a A ' jsou afinně sdružené body. p  p ' bude vyjadřovat, že p a p ' jsou afinně sdružené přímky. Afinita je dána: 1.osou o a párem odpovídajících si bodů A, A '; směr afinity je pak určen přímkou AA '; 2.osou o, směrem s a párem odpovídajících si přímek p, p ' protínajících se na ose afinity; 3.třemi páry afinně sdružených bodů, kde AA ' || BB ' || CC '. Jan Šafařík: První přednáškaDeskriptivní geometrie BA03

48 48 Perspektivní afinita Základní vlastnosti afinity: 1. Bodu (resp. přímce) jedné roviny je přiřazen jediný bod (resp. jediná přímka) druhé roviny. Bodu A ležícímu na přímce a v rovině ρ je přiřazen bod A ' ležící na přímce a ' v rovině ρ ', přičemž a' je obrazem a. (zkráceně: incidence se zachovává) 2: Dvojice afinně sdružených bodů leží na přímkách rovnoběžných se směrem afinity (tyto přímky budeme nazývat paprsky afinity). 3. Afinně sdružené přímky se protínají na ose afinity. Osa afinity je množina samodružných bodů. Další důležité vlastnosti: 4. Nevlastní přímce jedné roviny odpovídá nevlastní přímka druhé roviny. 5. Dvě rovnoběžné přímky se zobrazí do rovnoběžných přímek. 6. Průsečíku M různoběžných přímek p, q odpovídá průsečík M ' odpovídajících přímek p ', q '. 7. Afinita zachovává (jako každé rovnoběžné promítání) dělící poměr i dvojpoměr. 8. Středu S úsečky AB odpovídá střed S ' úsečky A 'B ' (důsledek vlastnosti 7). Jan Šafařík: První přednáškaDeskriptivní geometrie BA03

49 49 Perspektivní afinita Promítneme-li afinitu o směru s mezi rovinami ρ a ρ ' libovolným směrem s* různým od s (s* není rovnoběžný s ρ ani s ρ ') do libovolné roviny  (která není rovnoběžná se směrem s*), získáme geometrické zobrazení nazývané perspektivní afinita v rovině (dále jen afinita). Jan Šafařík: První přednáškaDeskriptivní geometrie BA03

50 50 Poznámka: Afinitu budete využívat při sestrojování rovinných řezů hranolů a válců. Mezi podstavou a řezem je afinní vztah, osou afinity je průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, směr afinity je směr povrchových přímek tělesa (všechny povrchové přímky hranolu, resp. válce jsou rovnoběžné). Postup při sestrojení řezu hranolu nebo válce je následující: 1. Určíme jeden bod řezu jako průsečík libovolné površky (případně boční hrany hranolu) nebo osy tělesa s rovinou řezu. 2. Využitím vlastností afinity určíme čáru řezu jako křivku afinní ke křivce podstavy (osa afinity: průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, pár odpovídajících si bodů: nalezený bod řezu a bod podstavy na téže povrchové přímce). Jan Šafařík: První přednáškaDeskriptivní geometrie BA03

51 51 Sdružené průměry elipsy Průměrem elipsy (kružnice) se nazývá tětiva procházející jejím středem. Dva průměry elipsy (kružnice) se nazývají sdružené, jestliže tečny v koncových bodech jednoho průměru jsou rovnoběžné s druhým průměrem a naopak. Sdruženými průměry kružnice rozumíme každou dvojici na sebe kolmých průměrů. Osy elipsy jsou jediná navzájem kolmá dvojice sdružených průměrů. viz cvičení Jan Šafařík: První přednáškaDeskriptivní geometrie BA03

52 52 Rytzova konstrukce  Sestrojíme přímku p, která prochází středem S a je kolmá k některému průměru.  Na přímce p určíme bod L’, pro který platí |S’L’|=|SL|.  Sestrojíme přímku q(L’,M).  Sestrojíme střed O úsečky L’M.  Sestrojíme kružnici k, která má střed v bodě O a prochází bodem S.  Určíme průsečíky I, II kružnice k s přímkou q.  Hlavní osa elipsy je přímka o 1 (S,I), vedlejší osa elipsy je přímka o 2 (S,II) – hlavní osa leží v menším úhlu, který svírají sdružené průměry.  Délka hlavní poloosy – |MI|; délka vedlejší poloosy – |MII|. Jan Šafařík: První přednáškaDeskriptivní geometrie BA03 viz cvičení

53 53 Proužková konstrukce elipsy  rozdílová Jan Šafařík: První přednáškaDeskriptivní geometrie BA03  součtová viz cvičení

54 54 Afinní obraz kružnice Příklad: D: AF (S  S’, o), k(S,r) S: k’ Jan Šafařík: První přednáškaDeskriptivní geometrie BA03 viz cvičení

55 55 Afinní obraz kružnice Příklad: D: AF (S  S ’, o), k(S,r) S: k ’, konstrukce na přímé získání os elipsy. Jan Šafařík: První přednáškaDeskriptivní geometrie BA03 viz cvičení

56 Konec Děkuji za pozornost


Stáhnout ppt "BA03 Deskriptivní geometrie přednášková skupina P-B1VS2 učebna Z240 letní semestr 2013-2014 Mgr. Jan Šafařík."

Podobné prezentace


Reklamy Google