Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Zborcené plochy přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240 Mgr. Jan Šafařík Konzultace č. 3.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Zborcené plochy přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240 Mgr. Jan Šafařík Konzultace č. 3."— Transkript prezentace:

1 Zborcené plochy přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240 Mgr. Jan Šafařík Konzultace č. 3

2 2 Literatura  Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v Brně: Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta stavební VUT v Brně, ISBN  Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Roušar, Josef - Šafařík, Jan - Zrůstová, Lucie: Sbírka zkouškových příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně,  Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar, Josef - Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová, Hana, Zrůstová, Lucie: Sbírka řešených příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006–  Bulantová, J. - Prudilová, K. - Puchýřová, J. - Zrůstová, L.: Úlohy o zborcených plochách, Fakulta stavební VUT v Brně, Základní literatura: Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

3 3 Literatura Doporučená literatura:  Jiří Doležal: Základy geometrie a Geometrie,  Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie III. - Plochy stavebně technické praxe, Fakulta stavební VUT, Brno  Vala, Josef: Deskriptivní geometrie II, Fakulta stavební VUT, Brno  Bulantová, Jana - Hon, Pavel - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar, Josef - Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová, Hana, Zrůstová, Lucie: Deskriptivní geometrie pro I. ročník kombinovaného studia, Fakulta stavební VUT v Brně, 2004–2008.  Moll, Ivo - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Slaběňáková, Jana - Roušar, Josef - Slatinský, Emil - Slepička, Petr - Šafářová, Hana - Šafařík, Jan - Šmídová, Veronika - Švec, Miloslav - Tomečková, Jana: Deskriptivní geometrie, verze pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, FAST VUT Brno, Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

4 4 Literatura Další zdroje:  Blaženková, Šárka: Plochy technické praxe, Diplomová práce, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno 2006  Černý, Jaroslav – Kočandrlová, Milada: Obrazová podpora skript Černý, Kočandrlová: Konstruktivní geometrie,  Doležal, Jiří : Základy geometrie a Geometrie,  Juklová, Lenka: Přednášky z Ploch technické praxe - 8. semestr - KAG/GPTP8,  Kadeřávek František: Plochy stavebně-inženýrské praxe, Druhé přepracované a rozšířené vydání připravily Václav Havel a František Harant, nakladatelství Československé akademie věd, Praha  Piska, Rudolf - Medek, Václav: Deskriptivní geometrie II, SNTL/ALFA, Praha  Surynková, Petra: Plochy stavební praxe, Bakalářská práce, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova, Praha 2006  Vanadiová, Lucie: Využití matematických ploch k zastřešení, Diplomová práce, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

5 5 Zborcené plochy  Zborcená plocha  je dána třemi různými (obecně prostorovými) řídícími křivkami 1 , 2 , 3 , které neleží na téže rozvinutelné ploše  Značíme  ( 1 , 2 , 3  )  Přímka protínající všechny tři řídící přímky se nazývá tvořící přímka Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

6 6 Zborcené plochy  Konstrukce tvořící přímky:  Zvolme bod A  1 . Tvořící přímku n procházející bodem A získáme jako průnik kuželové plochy 2  s vrcholem A a řídící křivkou 2  a kuželové plochy 3  s vrcholem A a řídící křivkou 3 . Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

7 7 Zborcené plochy  Je-li tvořící přímka m dotyková povrchová přímka obou kuželových ploch, pak se nazývá torzální přímka a vrchol kuželů se nazývá kuspidální bod.  Podél torsální přímky existuje jediná tečná rovina zborcené plochy , tzv. torzální rovina.  Křivka  na zborcené ploše  se nazývá dvojná {trojná, …}, jestliže každým bodem této křivky (s konečným počtem vyjímek) prochází dvě {tři, …} tvořící přímky (které nemusí byt torzální).  Kuspidální body se vyskytují na dvojných {trojných, …} křivkách zborcené plochy . Torzální přímka prochází kuspidálním bodem.  Tečná rovina v nevlastním bodě netorzální přímky n zborcené plochy  se nazývá asymptotická. Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

8 8 Zborcené plochy  Stupeň plochy:  Buď zborcená plocha  dána algebraickými křivkami 1  stupně 1 n, 2  stupně 2 n a 3  stupně 3 n.  Nemají-li řídící křivky žádný společný bod, pak  je stupně 2· 1 n· 2 n· 3 n  Mají-li křivky i , j  pro 1  i  j  3 společný s ij bodů, pak  je stupně 2· 1 n· 2 n· 3 n – s 12 · 3 n – s 13 · 2 n – s 23 · 1 n Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

9 9 Zborcené plochy  Užití zborcených ploch  Jejich soustava tvořících přímek je vhodná pro kladení bednění nebo výztuží betonu, které umožňuje značné zmenžení tloušťky klenby – vznik skořepinových ploch  Odolnost vůči tlakům vznikajícím ve stavbě, i při jejím provozním chodu bez zpevňujících zařízení  Ze statického hlediska jsou zborcené plochy samonosné Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

10 10 Zborcené plochy 2. stupně (zborcené kvadriky)  Jednodílný hyperboloid  Hyperbolický paraboloid Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

11 11 Zborcené plochy 2. stupně (zborcené kvadriky)  Buď dány tři řídící přímky – mimoběžky 1 a, 2 a, 3 a. Tvořící přímky vytvoří zborcenou plochu Φ( 1 a, 2 a, 3 a) stupně 2·1·1·1=2, tj. kvadriku  Tvořící přímky plochy , například 1 b, 2 b, 3 b, 4 b, … jsou navzájem mimoběžné, neboť kdyby například 1 b a 2 b byly ruznoběžné, pak alespoň dvě z přímek 1 a, 2 a, 3 a   ( 1 b, 2 b), ale to je spor s předpokladem mimoběžnosti přímek 1 a, 2 a, 3 a.  Tvořící přímky - mimoběžky i b plochy  se nazývají např. přímky I. regulu plochy . Zvolme nyní tři mimoběžky I. regulu, například 1 b, 2 b, 3 b jako řídící přímky plochy , pak přímky 1 a, 2 a, 3 a spolu s dalšími mimoběžkami i a tvoří přímky II. regulu plochy . Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

12 12 Zborcené plochy 2. stupně (zborcené kvadriky)  Z konstrukce je patrné, že:  Každá přímka I. regulu protíná všechny přímky II. regulu a naopak  Přímky téhož regulu jsou navzájem mimoběžné  Tečná rovina plochy  v bodě M  je určena přímkami obou regulů, bodem M procházejících Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

13 13 Jednodílný hyperboloid Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

14 14 Jednodílný hyperboloid  Jestliže přímky téhož regulu nejsou rovnoběžné s rovinou , pak se plocha nazývá jednodílný hyperboloid (obecně nerotační).  Základní vlastnosti  Bod přímky p nejblíže ose vytváří při rotaci hrdlovou kružnici (kružnice plochy s nejmenším poloměrem).  Střed hrdlové kružnice nazýváme středem hyperboloidu.  Dva systémy mimoběžných přímek na ploše… reguly.  Plocha dvojí křivosti.  Nerozvinutelná plocha. Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

15 15 Jednodílný hyperboloid  Asymptotická kuželová plocha  Kuželová plocha, jejíž vrchol je střed hyperboloidu.  Každá tvořící přímka asymptotické kuželové plochy je rovnoběžná s některou tvořící přímkou hyperboloidu.  Má-li asymptotická kuželová plocha obrys, jsou její obrysové přímky asymptotami obrysu hyperboloidu. Obrysem hyperboloidu je hyperbola. Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

16 16 Jednodílný hyperboloid  Řezy na jednodílném hyperboloidu přímkykružnice, elipsa Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

17 17 Jednodílný hyperboloid  Řezy na jednodílném hyperboloidu parabolahyperbola Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

18 18 Jednodílný hyperboloid arch. Oscar Niemeyer, 1970, Cathedral of Brasília (Catedral Metropolitana Nossa Senhora Aparecida) Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

19 19 Jednodílný hyperboloid The James S. McDonnell Planetarium, St. Louis, Missouri, U.S.A. Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

20 20 Jednodílný hyperboloid Chladící věže jaderných elektráren Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

21 21 Hyperbolický paraboloid Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

22 22 Hyperbolický paraboloid  Jestliže existuje rovina  (  ), se kterou jsou přímky nečárkovaného (čárkovaného) regulu rovnoběžné, dostaneme plochu zvanou hyperbolický paraboloid.  Základní pojmy  Zborcený čtyřúhelník  Řídicí rovina  Systém (regulus) přímek  Sedlový bod, sedlová plocha  Vrchol hyperbolického paraboloidu  Osa hyperbolického paraboloidu  Směr osy hyperbolického paraboloidu  Zborcená přímková kvadratická plocha  Plocha dvojí křivosti Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

23 23 Hyperbolický paraboloid  Základní pojmy  Zborcený čtyřúhelník – čtyřúhelník, jehož vrcholy neleží v téže rovině  Osa hyperbolického paraboloidu – přímka, která je rovnoběžná s průsečnicí řídících rovin obou regulů  Vrchol V hyperbolického paraboloidu – osa hyperbolického paraboloidu prochází bodem V, tzv. vrcholem HP. Tečná rovina ve vrcholu V je kolmá k ose HP.  Tečná rovina protíná hyperbolický paraboloid ve dvou přímkách, které se protínají v jejím bodě dotyku. Jedna patří do přímek 1. regulu a druhá do přímek 2. regulu. Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

24 24 Hyperbolický paraboloid  Základní pojmy  Řez hyperbolického paraboloidu rovinou:  Je-li rovina řezu  rovnoběžná s řídící rovinou 1. nebo 2. regulu, je řezem jedna površka.  Je-li rovina řezu  tečna hyperbolického paraboloidu v bodě dotyku T, jsou řezem dvě površky.  Je-li rovina řezu  rovnoběžná resp. procházející osou hyperbolického paraboloidu, ale různoběžná s řídícími rovinami obou regulů, je řezem parabola  Pro všechny ostatní případy je řezem hyperbola. Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

25 25 Proč hyperbolický paraboloid Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

26 26 Hyperbolický paraboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Příklad: V izometrii je dán průmět dvou zdí stejné výšky, jejíž lícní roviny ,  mají různý spád. Proveďte spojení obou zdí pomocí plochy hyperbolického paraboloidu. A[60, 0, 0], B[80, 30, 0], C[0, 80, 60], D[0, 0, 60]. Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

27 27 Hyperbolický paraboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Příklad: V pravoúhlé izometrii je dán hyperbolický paraboloid zborceným čtyřúhelníkem ABCD. Sestrojte několik tvořících přímek plochy patřících do obou přímkových regulů. Je dáno A[40, 0, 0], B[0, 80, 50], C[-40, 0, 0], D[0, -80, 50]. Plochu omezte rovinami  (x, y), , , je- li dáno:  : y = 80,  : y = Bulantová, J. - Prudilová, K. - Puchýřová, J. - Zrůstová, L.: Úlohy o zborcených plochách, Fakulta stavební VUT v Brně, Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

28 28 Hyperbolický paraboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Příklad: V Mongeově promítání je dána plocha hyperbolického paraboloidu pomocí zborceného čtyřúhelníku ABCD, který se v půdorysně  zobrazí jako rovnoběžník. A[-69, 62, 77], B[19, 74, 0], C[?, ?, 77], D[-19, 9, 0]. V bodě dotyku T sestrojte tečnou rovinu τ. Sestrojte řez rovinou , rovnoběžnou s nárysnou , procházející vrcholem V hyperbolického paraboloidu. Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

29 29 Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem Jan Šafařík: Zborcené plochy Střešní roviny stejného spádu  hřeben není vodorovný Požadujeme hřeben vodorovný Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

30 30 Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem Jan Šafařík: Zborcené plochy • Půlícím bodem střední příčky je veden vodorovný hřeben MN rovnoběžný s jednou okapovou hranou. • Část střešní plochy tvoří hyperbolický paraboloid určený zborceným čtyřúhelníkem ABMN. • Latě jsou vodorovné, ale krokve nejsou kolmé k hřebeni. Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

31 31 Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem Jan Šafařík: Zborcené plochy • Krokve jsou kolmé na hřeben. • Hyperbolický paraboloid je určen zborceným čtyřúhelníkem KLMN. • Nároží se sousedními střešními rovinami jsou části kuželoseček. Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

32 32 Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem Jan Šafařík: Zborcené plochy • Užitá část hyperbolického paraboloidu je ohraničena zborceným čtyřúhelníkem KLMN. • Přechází v části rovin určených body ALM a BKN. • Tím docílíme, že všechna nároží jsou úsečky. Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

33 33 Hyperbolický paraboloid Graham McCourt Architects, 1983, sportovní aréna, Calgary, Alberta, Canada Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

34 34 Hyperbolický paraboloid Frei Otto, Günther Behnisch, Fritz Auer, Carlo Weber, , Olympijský stadión, Mnichov, Německo Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

35 35 Hyperbolický paraboloid F. Calatrava, 1982, oceánografické muzeum, Valencie Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

36 36 Zborcené plochy vyšších stupňů  Přímý kruhový konoid  Plückerův konoid  Küpperův konoid  Plocha Štramberské trúby  Plocha Montpellierského oblouku  Plocha Marseillského oblouku  Plocha Šikmého průchodu Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

37 37 Konoidy  Má-li zborcená plocha mezi řídícími křivkami přímku v konečnu a přímku v nekonečnu, zanývá se konoid.  Hyperbolický paraboloid je konoidem nejnižšího stupně.  Třetí řídící křivka dourčuje název konoidu:  kruhový konoid  eliptický konoid  šroubový konoid  …  Konoidy dělíme na přímé a kosé podle úhlu, který svírá přímka v konečnu s řídící s řídící rovinou   = 90  – přímý konoid   ≠ 90  – kosý konoid Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

38 38 Přímý kruhový konoid Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

39 39 Přímý kruhový konoid  zadání  řídící rovinou  (c ∞   )  řídící přímkou d    řídící kružnicí k   ;   , d    stupeň křivky:  2·1·1·2=4 Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

40 40 Přímý kruhový konoid Jan Šafařík: Zborcené plochy Příklad: V kosoúhlém promítání (  =135 , q x =2/3) je dán přímý kruhový konoid s řídící kružnicí 1 k (S[35, 35, 0], r=) v půdorysně, řídící rovinou  a řídící přímkou 2 k  . Přímka 2k prochází bodem M[0, 35, 80]. Sestrojte několik tvořících přímek konoidu, určete stupeň plochy. Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

41 41 Přímý parabolický konoid Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

42 42 Přímý parabolický konoid  zadání  řídící rovinou  (c ∞   )  řídící přímkou d    řídící parabolou p   ;   , d    stupeň křivky:  2·1·1·2=4 Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

43 43 Přímý parabolický konoid Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

44 44 Plocha Štramberské trúby Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

45 45 Plocha Štramberské trúby  zadání  dvěma k sobě kolmými mimoběžkami 1 d, 2 d  kružnicí k ležící v rovině rovnoběžné s 1 d a 2 d a se středem na ose mimoběžek 1 d a 2 d.  stupeň křivky:  2·1·1·2=4 Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

46 46 Plocha Štramberské trúby Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

47 47 Plocha Montpellierského oblouku Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

48 48 Plocha Montpellierského oblouku  zadání  řídící kružnicí k  řídící přímkou 1 d, která prochází středem S kružnice k kolmo na rovinu kružnice  řídící přímkou 2 d, která je rovnoběžná a různá s rovinou kružnice a mimoběžná s řídící přímkou 1 d  stupeň křivky:  2·2·1·1=4 Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

49 49 Plocha Montpellierského oblouku Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

50 50 Plocha Montpellierského oblouku Příklad: V Mongeově promítání sestrojte Montpelliérský oblouk daný řídící kružnicí 1 k (S [0, 20, 0], r = 40), která leží v rovině ν ' || ν (x, z), dále řídící přímkou 2 d || x 1,2, Q  2 d, Q [0, 60, 60] a přímkou 3 d, 3 d  ν, S  3 d. Plochu omezte řídící kružnicí 1 k, řídící přímkou 2 d a rovinami α (20, -20,  ) a β (-20, - 20,  ). Dále sestrojte řez rovinou ρ ( , 80, 65). Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie BA03

51 51 Plocha Marseillského oblouku Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

52 52 Plocha Marseillského oblouku  zadání  řídící kružnicí 1 k( 1 S, 1 r)  1   řídící kružnicí 2 k( 2 S, 2 r)  2 , 1   2   řídící přímkou d, 1 S  d, 2 S  d, d  1 , 2   stupeň křivky:  2·2·2·1-2·1=6 Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

53 53 Plocha Marseillského oblouku Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

54 54 Plocha Marseillského oblouku Jan Šafařík: Zborcené plochy Příklad: V kolmé axonometrii Δ(90, 110, 95) je dána plocha Marseillského oblouku určena řídícími kružnicemi 1 k ( 1 S[0, 47, 0], r=30) v bokorysně , 2 k ( 2 S[30, 47, -10], r=50) v ronině rovnoběžné s  a řídící přímkou 3 k procházející bodem 1 S kolmo k rovině . Sestrojte část plochy nad půdorysnou , omezenou rovina v nichž leží řídící kružnice. Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

55 55 Plocha šikmého průchodu Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

56 56 Plocha šikmého průchodu  zadání  řídícími kružnicemi 1 k a 2 k, ležících v rovnoběžných rovinách, o stejném poloměru a středech 1 S a 2 S  řídící přímkou d, kolmou na roviny kružnic a procházejí středem úsečky 1 S 2 S  stupeň křivky:  2·2·2·1-2·1-2=4 Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

57 57 Plocha šikmého průchodu Vyšehradský tunel Jan Šafařík: Zborcené plochyDeskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

58 dále viz … Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v Brně: Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta stavební VUT v Brně, ISBN

59 Konec Děkuji za pozornost


Stáhnout ppt "Zborcené plochy přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240 Mgr. Jan Šafařík Konzultace č. 3."

Podobné prezentace


Reklamy Google