Parametrická rovnice přímky VY_34_INOVACE Matematika, č.přílohy Parametrická rovnice přímky Autor: Mgr. Eva Hubáčková Použití: odvození a procvičení pojmu parametrická rovnice přímky Datum vypracování: 14.7.2012 Datum pilotáže:.2012 Anotace: Interaktivní prezentace je určena pedagogům a studentům při výkladu a procvičení parametrické rovnice přímky na středních školách. Základní typy příkladů jsou řešeny, učitel může některé kroky na interaktivní tabuli zvýraznit. V závěru je samostatné cvičení s návodnými kroky. Pro kontrolu je uvedeno řešení.

Mějme dán vektor v(2;3). Existuje nekonečně mnoho přímek, na které se dá tento vektor umístit (rovnoběžně posunout). v Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Abychom určili danou přímku, musíme vektor umístit do určitého bodu na dané přímce. Jak pomocí bodu A a směrového vektoru v vyjádříme souřadnice bodu X1, X2,X3? X1 = X2 = X3 = X1 X2 A X3 Jak pomocí bodu A a směrového vektoru v vyjádříme souřadnice libovolného bodu X dané přímky? X = Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Rovnice X = A + tv, t ∈ R, se nazývá parametrická rovnice nebo také parametrické vyjádření přímky určené bodem A a vektorem v. Cvičení: a) Napište parametrické vyjádření přímky AB, jestliže A[-2;-1], B[1;-3]. Řešení: Vybereme jeden bod přímky, např. bod A[-2;-1] a směrový vektor v, v = AB = B-A = (3;-2) a vyjádříme rovnici pomocí souřadnic: x = -2 + t3, tj. x = -2 + 3t y = -1 + t(-2), tj. y = -1 -2t, t ∈ R v(3;-2) B[1;-3] A[-2;-1] Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Parametrickou rovnici přímky již máme odvozenu ze cvičení a) b) Určete, zda následující body jsou body přímky AB: K[10; - 9], L[- 5; - 3]; M[2; - 𝟏𝟏 𝟑 ]. Parametrickou rovnici přímky již máme odvozenu ze cvičení a) AB: x = - 2 + 3t, y = - 1 – 2t, t∈𝑅 Pokud body K; L; M jsou body přímky AB, pak jejich souřadnice musí vyhovovat souřadnicím [x;y] přímky AB. Jak to poznáme? Z obou rovnic vyjde totéž reálné číslo t. ? K[10; - 9] ∈𝐴𝐵 … … 10 = - 2 + 3t … t = 4 - 9 = - 1 - 2t … t = 4 ano, K[10; - 9] ∈𝐴𝐵, K=A+4AB ? L [- 5; - 3] ∈𝐴𝐵 … … - 5 = - 2 + 3t … t = - 1 - 3 = - 1 - 2t … t = 1 ne, L [- 5; - 3] ∈𝐴𝐵 ? M [2; - 11 3 ] ∈𝐴𝐵 … … 2= - 2 + 3t … t = 4 3 −11 3 = - 1 - 2t … t = 4 3 ano, K[10; - 9] ∈𝐴𝐵, K=A+ 4 3 AB Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak ,je Mgr. Eva Hubáčková

Zvolíme-li za výchozí bod A[-2;-1], pak všechny body c) Vyjádřete parametrické vyjádření úsečky AB, polopřímky AB, polopřímky BA. úsečka AB Zvolíme-li za výchozí bod A[-2;-1], pak všechny body úsečky AB budou mít vyjádření X = A + t∙AB, 𝑡∈ 0;1 . Rovnice úsečky tedy je x = - 2 + 3t, y = - 1 – 2t, 𝑡∈ 0;1 polopřímka AB ....... X = A + t∙AB, 𝑡∈ 0;∞) . Rovnice úsečky tedy je x = - 2 + 3t, y = - 1 – 2t, 𝑡∈ 0;∞) polopřímka BA Jsou dvě možnosti 1. Výchozí bod zůstane bod A, pak X = A + t∙AB, 𝑡∈ (−∞;1 Nebo 2. Výchozí bod bude bod B[1;-3], pak X = B + t∙AB, 𝑡∈ (−∞;0 v(3;-2) B[1;-3] A[-2;-1] v(3;-2) B[1;-3] A[-2;-1] Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Pomocí vhodných násobků směrových vektorů, řešte úlohu: Jsou dány vrcholy A[5;2], B [1;7] a těžiště T [2;3]. Určete souřadnice vrcholu C. A Využijeme směrového vektoru 𝑺 𝑨𝑩 𝑻 𝑆 𝐴𝐵 [ 5+1 2 ; 2+7 2 ], T [2;3] 𝑆 𝐴𝐵 [3;4,5], T [2;3] … 𝑺 𝑨𝑩 𝑻 = (- 1; -1,5) Souřadnice bodu C vypočteme z výchozího bodu 𝑆 𝐴𝐵 a přičteme k němu trojnásobek vektoru 𝑺 𝑨𝑩 𝑻 . C = 𝑆 𝐴𝐵 + 3∙ 𝑺 𝑨𝑩 𝑻 … 𝑐 1 =3+3∙ −1 = 0 𝑐 2 =4,5+3∙(−1,5) = 0 Jiné řešení může být z výchozího bodu T a přičteme dvojnásobek vektoru 𝑺 𝑨𝑩 𝑻 𝑆 𝐴𝐵 T B C Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Parametrická úloha s návodnými kroky: Volte číslo p tak, aby bod C ležel na přímce AB. Zjistěte, zda tento bod leží na polopřímce AB, popřípadě na úsečce AB. A[1;3], B [2;4], C [2p;4p-2]. 1)Sestavte parametrickou rovnici přímky: 2)Jestliže bod C leží na přímce AB, musí vyhovovat souřadnicím [x;y] parametrické rovnice přímky, dosaďte: 3) Vypočtěte parametr p: B[2;4] C[2p;4p-2] A[1;3] Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Řešení parametrické úlohy s návodnými kroky: Volte číslo p tak, aby bod C ležel na přímce AB. Zjistěte, zda tento bod leží na polopřímce AB, popřípadě na úsečce AB. A[1;3], B [2;4], C [2p;4p-2]. 1)Parametrická rovnice přímky: x = 1 + t, y = 3 + t, t∈𝑅 2) C∈𝑝….. 2p = 1 + t 4p – 2 = 3 + t / −1 - 2p = - 4 …… p = 2 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak je Mgr. Eva Hubáčková

Zdroje informací Učebnice Matematika pro gymnázia - Analytická geometrie, nakladatelství Prometheus, Jednota českých matematiků a fyziků. Sbírka úloh Matematika pro gymnázia – Analytická geometrie, nakladatelství Prometheus, Jednota českých matematiků a fyziků