Soustavy souřadnic – přehled Jana Šestáková Šiková

Soustava souřadnic Soustava souřadnic je vzájemně jednoznačné zobrazení, které bodu přiřadí uspořádanou n-tici čísel – souřadnice bodu. Zobrazení S dané repérem <O,e1,e2,...,en>, kde O je počátek soustavy souřadnic a ei jsou souřadnicové osy

K čemu nám je? Zavedení souřadné soustavy umožňuje zkoumat geometrické útvary analytickými metodami. Přechod od jedné soustavy k druhé nám může zjednodušit například počítání dvojného nebo trojného integrálu.

Vektorová funkce,…

Lokálně inverzní vektorová funkce

Substituce v integrálech Při výpočtu dvojných a trojných integrálů se využívá přechodu od Kartézských k jiným (křivočarým) souřadnicím.

Substituce v dvojném integrálu

Substituce v trojném integrálu

Druhy souřadných soustav Ortogonální a kosoúhlé Přímočaré a křivočaré

Afinní soustava Zobrazení S přiřazující každému bodu X z afinního prostoru An uspořádanou n-tici (prvek z Rn) S<O,e1,e2,…,en>, ei jsou jednotkové vektory – osy, O je počátek, ve kterém se osy protínají

Kartézská soustava Ortogonální soustava souřadnic S<O,e1,e2,…,en>, ei jsou prvky ortonormální báze – osy, O je počátek, ve kterém se všechny osy protínají V R2 např. (O,x,y), kde O=[0,0], x = (1,0), y = (0,1)

Kosoúhlá soustava Soustava souřadnic, u kterých osy svírají jiný než pravý úhel S<O,e1,e2,…,en>, ei jednotkové vektory – osy, O - počátek, ve kterém se všechny osy protínají

Polární soustava Křivočará soustava souřadnic v rovině S<O,r,φ>, kde O je počátek, r je vzdálenost bodu od počátku, φ je orientovaný úhel mezi spojnicí tělesa a počátku a zvolenou osou ležící v rovině. V R2 počátek [0,0]Kartézské, zvolená osa xKartézská

Úhlová soustava Poloha bodu určena 2 úhly v rovině i na sféře Úsečka AB délky c (jednotka), úhel α je úhel BAC a β je úhel ABC, kde C je bod, jehož chceme znát souřadnice (α,β)

Válcová (cylindrická) soustava Křivočará soustava v prostoru S<O,r, φ ,z>, zavede se polární soustava souřadnic a z je kolmice k rovině s polární soustavou, procházející počátkem

Sférická (kulová) soustava Křivočará soustava v prostoru S<O,r, φ,υ >, kde O je počátek, r vzdálenost bodu od počátku, φ je orientovaný úhel, který svírá osa o1 ve zvolené rovině s průmětem spojnice bodu s počátkem v téže rovině, υ je orientovaný úhel, který svírá tentýž průmět se spojnicí bodu a počátku.

Homogenní souřadnice Pravoúhlá homogenní souřadnice bodu v rovině je dána uspořádanou trojicí čísel Homogenní souřadnice (x,y,w) bodu P[xk,yk], kde [xk,yk] je souřadnice v kartézské soustavě, když xk = x/w, yk = y/w. Pokud je w = 0, pak odpovídá vektoru v rovině (nevlastní bod), které nelze určit z kartézských souřadnic V prostoru je bod dán čtveřicí čísel a matice transformací je rozměru 4x4

Transformace jako posunutí, otočení, změna měřítka a osová souměrnost, lze díky homogenním souřadnicím zapsat pomocí matic a vektorů Snadno lze zapsat i skládání transformací jako násobení matic odpovídající příslušným transformacím

Příklady – substituce v integrálu Následují 2 příklady jak je možné použít převody z kartézských soustav na polární nebo sférické při výpočtu integrálu. 1) kartézské -> polární (oblast přes kterou integrujeme je mezikruží) 2) kartézské -> sférická (oblast přes kterou integrujeme je část koule)

Další souřadnicové systémy v rovině (ortogonální) Parabolický Hyperbolický Eliptický Bipolární

Další souřadnicové systémy v prostoru (ortogonální) Parabolické, parabolickoválcové, paraboloidické Elipsoidické, eliptickoválcové Bisférické, bipolární cylindrické další

Souřadnicové systémy na referenčních plochách používaným v matematické kartografii Geodetická zeměpisná šířka φ a délka λ – souřadnice bodu na povrchu elipsoidu: φ úhel normály elipsoidu s rovinou rovníku, λ úhel rovin poledníku a nultého poledníku Geocentrická zeměpisná šířka β a délka λ – β úhel spojnice středu referenční plochy a bodu s rovinou rovníku Redukovaná zeměpisná šířka ψ a délka λ – body z elipsoidu se promítnou na kouli, ψ úhel spojnice středu s promítnutým bodem a rovinou rovníku A další (Soldnerovy, polární sférické, pravoúhlé prostorové, kartografické, izometrické)

Další souřadnicové systémy V nebeské mechanice – obzorníková, rovníková, ekliptikální soustava a další V teoretické mechanice – zobecněné souřadnice

Použitá literatura Matematická analýza II – RNDr. Petr Tomiczek (Plzeň 2006) Matematické vzorce – Dr. Ing. Hans – Jochen Bartsch, SNTL Praha 1983 www.wikipedie.cz Geometrie 1 (pomocný učební text) – Miroslav Lávička (Plzeň 2008) Geometrické a počítačové modelování (pomocný učební text) – Doc. RNDr. František Ježek, CSc. (Plzeň 2009)