Téma 13, Úvod do dynamiky stavebních konstrukcí dynamiky Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Téma 13, Úvod do dynamiky stavebních konstrukcí dynamiky Úvod Vlastní kmitání Vynucené kmitání Tlumené kmitání Podmínky dynamické rovnováhy konstrukcí Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Statika a dynamika Ve statice se předpokládá, že zatížení konstrukce se s časem: nemění mění se velmi pomalu Rovnováha je zajištěna mezi vnitřními a vnějšími silami Při větší rychlosti změn zatížení v čase se musí počítat s pohybovou energií, která je při pomalém zatížení nepodstatná V rovnicích rovnováhy kromě vnějších a vnitřních sil vystupují ještě síly setrvačné a tlumící a sestavují se rovnice pohybové (dynamické rovnováhy)

Dynamická zatížení Za dynamické zatížení považujeme ta, u kterých se mění dostatečně rychle alespoň jedna z následujících charakteristik: velikost směr působení smysl působení poloha působiště

Dynamická zatížení, rozdělení Účinky pohybujících se zatížení Účinky rotujících strojů a strojů generujících rázy Účinky větru Účinky zemětřesení (seizmicita) Nárazy pohybujících se těles Účinky výbuchu

Dynamika Je část mechaniky, která zkoumá a aplikuje zákony pro pohyb hmotných objektů v čase a v prostoru za účinku sil Newton formuloval tři základní principy: Princip setrvačnosti Princip síly Princip akce a reakce

Dynamika D´Alambertův princip Setrvačná sílu Fin=ma je v každém okamžiku v rovnováze se silou zrychlující F. Platí: Platí i pro soustavu hmotných bodů. Setrvačné síly soustavy hmotných bodů vytvářejí s vnějšími silami rovnovážnou soustavu Vektorový součet všech vnějších sil působících na soustavu hmotných bodů a setrvačných sil je rovnováze.

Přímočaré kmitání vlastní Vychýlením hmotného bodu o hmotnosti m z rovnovážné polohy vznikne v péru síla Fp=ky=Cy, kde C je tuhost (pérová konstanta) Proti pohybu hmotného bodu působí setrvačná síla Fin=ma Z rovnováhy sil vyplývá: Fp+Fin=0, respektive Cy+ma=0 Protože

Přímočaré kmitání vlastní, pokračování Rovnici lze upravit na tvar: Jde o diferenciální rovnici 2 řádu, lineární a homogenní. Řešením je rovnice harmonického kmitání:

Přímočaré kmitání vlastní, pokračování Integrační konstanty C1 a C2 se v rovnici určí z počátečních podmínek: Rovnici lze také vyjádřit ve tvaru A je amplituda (maximální výchylka) a j0 fázový posun pro t=0

Přímočaré kmitání vlastní, pokračování Pro dráhu kmitavého pohybu je Pro rychlost kmitání pak platí: Pro zrychlení je

Přímočaré kmitání vlastní, pokračování Ve vzorcích pro výpočet výchylky (posunutí), rychlosti a zrychlení kmitání je: w0 kruhová frekvence, úhel v radiánech za jednotku času f vlastní frekvence, počet kmitů za 1 sec [Hz] T doba periody (perioda), doba jednoho kmitu Platí: Tzv. kruhová frekvence je v daném případě funkcí pérové konstanty C a hmotnosti m. Není funkcí amplitudy.

Přímočaré kmitání vlastní, pokračování Pokud hmota na pružině bude uvedena do pohybu, bude kmitat. Nebude-li docházet ke ztrátám energie, pak tento pohyb se bude opakovat v pravidelných intervalech – periodách T – hovoříme o periodickém pohybu. Tento pohyb je vyjádřitelný goniometrickou funkcí a nazýváme jej jednoduchý harmonický pohyb nebo prostě harmonický. Hmota m na pružině s pérovou konstantou C bude mít vlastní frekvenci a vlastní tvar kmitání. Vlastní frekvence a vlastní tvar kmitání jsou charakteristické pro každou soustavu.

Vynucené kmitání způsobené náhlým zatížením harmonicky proměnnou silou Na hmotný bod na pružině bude působit harmonicky proměnná síla P: Pohybová rovnice je diferenciální rovnicí 2. řádu, nehomogenní:

Vynucené kmitání způsobené náhlým zatížením harmonicky proměnnou silou

Vynucené kmitání způsobené náhlým zatížením harmonicky proměnnou silou

Vynucené kmitání způsobené náhlým zatížením harmonicky proměnnou silou f=n=3n0=3s-1 f0=n0=1s-1 Výsledné kmitání je dáno součtem ada) a adb). Vlastní část kmitání vlivem útlumu s časem zaniká, po delším působení vynucené síly zůstává jen ustálené vynucené kmitání.

Vynucené kmitání, resonance Pro f=fo, respektive w=w0 je frekvence síly v resonanci s vlastní frekvencí soustavy. Pro vynucené kmitání je amplituda

Vynucené kmitání netlumené, resonance V rovnici

Útlum U netlumeného kmitání rozkmitaná soustava kmitá se stejnou amplitudou neomezeně dlouho Pohybu však vždy brání menší nebo větší brzdící síla způsobující útlum Příčiny útlumu jsou uvnitř i vně konstrukce a jsou různé (tření, odpor prostředí, deformace, porušení atd.) Matematické vyjádření útlumu je obtížné a v jednotlivých případech zcela odlišné Předpoklady se zjednodušují, často se volí smykové tření látek tuhých a viskosita (tření kapalné), i když nemusí přesně odpovídat realitě

Útlum při vlastním kmitání Při viskosním tření je útlum úměrný rychlosti kmitání. Rovnice rovnováhy je:

Útlum při vlastním kmitání, pokračování Diferenciální lineární rovnici 2. řádu, homogenní

Vlastní kmitání, kritický útlum V daném případě je kruhová frekvence vlastního kmitání a útlumu shodná:

Vlastní kmitání, kritický útlum Průběh výchylky vlastního kmitání při kritickém útlumu jako funkce nbt je zřejmý z obr. Při tomto útlumu nenastane periodický pohyb. Útlum aperiodický.

Vlastní kmitání, nadkritický útlum V daném případě je kruhová frekvence vlastního kmitání menší než kruhová frekvence útlumu:

Vlastní kmitání, nadkritický útlum Průběh výchylky vlastního kmitání při nadkritickém útlumu jako funkce n0t je zřejmý z obr. Při tomto útlumu nenastane periodický pohyb. Útlum aperiodický

Vlastní kmitání, podkritický útlum Průběh výchylky vlastního kmitání při podkritickém útlumu jako funkce n0t je zřejmý z obr. Při tomto útlumu nastane periodický pohyb s proměnnou amplitudou.

Průběh výchylky vlastního kmitání při útlumu způsobeném smykovým třením Průběh výchylky vlastního kmitání. Při tomto útlumu nastane periodický pohyb s proměnnou amplitudou. Vlivem tření se nedostane hmotný bod do své výchozí polohy v bodě s´, ale do polohy s.

Útlum při vynuceném kmitání Působí-li na hmotný bod m zavěšeny na nehmotné pružině proměnná harmonická síla, má pohybová rovnice tvar: Jde o nelineární diferenciální rovnici 2. řádu. V této rovnici představuje člen sílu danou hmotností a zrychlením hmotného bodu, člen sílu při viskosním tření, člen pružnou sílu vyvolanou výchylkou v pružině člen (pravá strana) harmonicky proměnnou sílu

Útlum při vynuceném kmitání, příklad tlumeného kmitání vyvolaného náhlým zatížením harmonicky proměnnou silou

Útlum při vynuceném kmitání, rozkmitání s útlumem při resonanci

Stupně volnosti Stupněm volnosti v dynamice rozumíme počet nezávislých veličin, který je nutný, aby byla určena okamžitá poloha a tvar uvažované soustavy. Hmotný bod zavěšený na nehmotné pružině má jeden stupeň volnosti. Hmotnosti m a tuhosti C (pérové konstantě) odpovídá jedna frekvence vlastního kmitání a tvar vlastního kmitání.

2. stupně volnosti Dvě hmoty na nehmotných perech mají dva stupně volnosti. U takové soustavy může nastat jednoduchý harmonický pohyb při dvou vlastních frekvencích.

2. stupně volnosti Soustava tvořící dvě hmoty na nehmotném nosníku má dva stupně volnosti. V určitém okamžiku je v bodě 1 výchylka v1(t) a v bodě 2 výchylka v2(t)

Podmínky dynamické rovnováhy konstrukcí V současné době se úlohy dynamiky stavebních konstrukcí řeší zpravidla při aplikaci MKP. Podmínka dynamické rovnováhy se v maticovém tvaru vyjadřuje následovně:

Podmínky dynamické rovnováhy konstrukcí Řešením rovnice pro dané počáteční podmínky je přemístění uzlů v závislosti na čase Dále se určí rychlosti a zrychlení uzlů, složky napětí v prvcích, vnitřní síly, reakce atd. K základním úlohám dynamiky patří: a) výpočet vlastních frekvencí a vlastních tvarů kmitů konstrukce, řeší se z rovnice , b) odezva konstrukce na harmonické zatížení, c) odezva konstrukce na obecné časově proměnné zatížení.

Použitá a doporučená literatura [1] Koloušek V., Dynamika stavebních konstrukcí, SNTL Praha 1954 [2] Teplý, B., Šmiřák, S., Pružnost a plasticita II, Nakladatelství VUT Brno 1993 [3] Kolář, V., Němec, I., Kanický V., FEM – Principy a praxe metody konečných prvků Computer Press, 1997 [4] Pirner, M., a kol., Dynamika stavebních konstrukcí, Technický průvodce, SNTL Praha 1989