Skládání rovnoběžných kmitů

Prezentace na téma: "Skládání rovnoběžných kmitů"— Transkript prezentace:

1 Skládání rovnoběžných kmitů
Dvě pružiny spojené gumovým vláknem. Pokud zanedbáme sílu působící ve vlákně, je pohyb bodu S dán složením kmitů obou pružin (polovina výchylky od každé)

2 i) Frekvence jsou rozdílné - ω1 ≠ ω2
i) Frekvence jsou rozdílné - ω1 ≠ ω2. V takovém případě vzniká vždy neharmonické kmitání. Pokud je jedna frekvence násobkem druhé (např. ω1 = 3*ω2), vzniká alespoň periodické kmitání (významné v akustice). Pokud je podíl frekvencí vyjádřen iracionálním číslem (např. √2), získáváme dokonce neperiodický průběh kmitání!

3 ii) Frekvence jsou shodné - ω1 = ω2 → vzniká harmonické kmitání s stejnou frekvencí ω1. Jak bude určena výsledná amplituda (maximální výchylka) A složeného kmitání pomocí výchylek A1 a A2 skládaných kmitání? Bude záviset na fázovém posunu φ mezi oběma kmitáními! Platí: A2 =(A12 + A22+2*A1*A2*cosφ)/4 Speciální případy: φ = 0 → A = (A1+ A2)/2 (kmitání ve fázi), φ = π (180°) → A = (A1 - A2)/2 (kmitání v protifázi – pro A1 = A2 kmitání zcela zaniká)

4 Skládání rovnoběžných kmitů - rázy
Zajímavá situace nastává, pokud jsou si frekvence ω1 a ω2 velmi blízké. V takovém případě dochází k periodickému zesilování a zeslabování složeného kmitání – tzv. rázy. Pokud mluvíme o zesilování zeslabování zvuku, používá se pojem zázněje Využití: měření frekvence neznámých kmitů, když máme k dispozici kmity se známou frekvencí (při shodě rázy zaniknou)

5 Skládání kolmých kmitů
Dochází k navzájem kolmým kmitům, jejichž frekvence jsou v celočíselném poměru, tj. ω1: ω2 = m/n, kde m a n jsou malá celá čísla. V takovém případě vznikají složením kmitání zajímavé tvary, tzv. Lissajousovy obrazce. Při matematické popisu samozřejmě opět platí princip superpozice, tentokrát však již ve vektorovém tvaru (máme dva směry) Nejjednodušší případ - ω1 = ω2, A1 = A2 a fázový posuv φ = π/2 (90°) – obrazcem je kružnice Obrazce pro poměr frekvencí 1:1, stejné amplitudy a různé fázové posuvy Obrazce pro poměr frekvencí 2:1, stejné amplitudy a různé fázové posuvy

6 Energie při kmitavém pohybu
Podívejme se nyní na kmitání vodorovné pružiny z pohledu mechanické energie. U kmitání se objevují dva druhy mech.energie: Potenciální energie pružnosti – práce nutná ke stlačení či prodloužení pružiny z rovnovážné polohy. Pomocí pravidla, že práce je v grafu závislosti síly na dráze dána obsahem plochy pod křivkou se dá odvodit, že Epr = ½*k*y2, kde k je tuhost pružiny a y výchylka z rovnovážné polohy. Kinetická energie (práce nutná k dosažení dané rychlosti), klasicky Ekin = ½*m*v2. F = k*y F(y) W = ½*k*y2 y W = ½ *y*(k*y) = ½*k*y2 – viz vzorec pro obsah trojúhelníka

7 Pokud neuvažujeme nekonzervativní odporové síly (bereme netlumené harmonické kmitání), musí se celková mechanická energie zachovávat. Platí tedy, že součet kinetické a potenciální energie pružnosti je konstantní: Ekin + Epr = ½*m*v2 + ½ *k*y2 = konst. (zákon zachování mech. energie pro netlumené harmonické kmitání – odvození pomocí goniometrické jedničky, viz webové stránky!) Platí, že při průchodu RP máme pouze kinetickou energii EkinRP = ½*m*vRP2 (y = 0 → EprRP = 0), při maximální výchylce (amplitudě) y = A naopak pouze potenciální energii pružnosti EprA = ½*k*A2 (vA = 0 → EkinA = 0). Odtud plyne vztah mezi amplitudou A a max. rychlostí (v RP): ½*m*vRP2 = ½*k*A2. Při netlumeném kmitání působí odporová síla, nastává přeměna na vnitřní energii, celková mech. energie s časem klesá!