2.3 Mechanika soustavy hmotných bodů Hmotný střed 1. věta impulsová Srážky 3. Mechanika tuhého tělesa 3.1 Kinematika tuhého tělesa 3.2 Dynamika tuhého tělesa Fyzika I-2014, přednáška 3

Hmotný střed soustavy hmotný střed n hmotných bodů, i-tý hmotný bod: mi , ri (v místě hmotného středu nemusí existovat žádný hmotný bod) hybnost soustavy hybnost hmotného středu = celková hybnost soustavy 𝑟 𝑇 = 1 𝑚 𝑖=0 𝑛 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 , 𝑚= 𝑖=0 𝑛 𝑚 𝑖 𝑚 𝑣 𝑇 = 𝑖=0 𝑛 𝑝 𝑖 = 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘

Hmotný střed soustavy hmotný střed n hmotných bodů, i-tý hmotný bod: mi , ri (v místě hmotného středu nemusí existovat žádný hmotný bod) hybnost soustavy hybnost hmotného středu = celková hybnost soustavy 𝑟 𝑇 = 1 𝑚 𝑖=0 𝑛 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 , 𝑚= 𝑖=0 𝑛 𝑚 𝑖 𝑚 𝑣 𝑇 = 𝑖=0 𝑛 𝑝 𝑖 = 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘

1. věta impulsová Vyjádříme: 1. zrychlení hmotného středu pomocí celkové hybnosti soustavy 2. pomocí síly na soustavu 1. věta impulsová (2. a 3. N. z.) Změna celkové hybnosti soustavy za jednotku času je rovna výslednici vnějších sil. Vnitřní síly celkovou hybnost soustavy neovlivňují. Věta o pohybu hmotného středu Hm. střed se pohybuje jako hm. bod, do kterého je soustředěna celá hmotnost soustavy a na který působí výslednice vnějších sil. Zákon zachování hybnosti - důsledek 1. věty impulsové 𝑑 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑒𝑥𝑡 spojuje zákon síly a zákon akce a reakce 𝑚 𝑎 𝑇 = 𝐹 𝑒𝑥𝑡 𝑑 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘 𝑑𝑡 = 0 𝐹 𝑒𝑥𝑡 = 0 𝑝 𝐴 𝑐𝑒𝑙𝑘 = 𝑝 𝐵 𝑐𝑒𝑙𝑘

Soustava hmotných bodů Srážky 𝑑 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑒𝑥𝑡 Soustava hmotných bodů např. kulečníkové koule na stole, ideální plyn tvořený „molekulami“ vnější síly se vyruší nebo jsou malé ve srovnání s vnitřními silami zákon zach. hybnosti Srážka 𝐹 𝑒𝑥𝑡 = 0 ⇒ 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑝 𝐴 𝑐𝑒𝑙𝑘 = 𝑝 𝐵 𝑐𝑒𝑙𝑘 celková hybnost před srážkou (A) = celková hybnost po srážce (B) na obou stranách: vektorový součet hybností všech těles !!! Fyzika I-2014, přednáška 3

dokonale pružné: navíc EkA = EkB Srážky 𝑝 𝐴 𝑐𝑒𝑙𝑘 = 𝑝 𝐵 𝑐𝑒𝑙𝑘 dokonale pružné: navíc EkA = EkB dokonale nepružné, EkB < EkA – navíc po srážce tělesa spojena x zákon zachování pro hybnost nikoli „celkovou rychlost“ znaménko vypočtené rychlosti Fyzika I-2014, přednáška 3

7 Fyzika I-2014, přednáška 3

3. Mechanika tuhého tělesa Tuhé těleso – aproximace: účinkem vnějších sil se nedeformuje – diskrétně nebo spojitě rozložená hmota, ∑ → ∫ – složitější pohyb než pro hmotný bod, 6 st. volnosti 3.1 Kinematika tuhého tělesa Pohyb: translační, rotační, obecný 1. translační všechny body: stejná rychlost, zrychlení, trajektorie k popisu stačí jeden bod, např. hmotný střed 2. rotační sférický rovinný (kolem pevné osy) jeden pevný bod, trajektorie bodů – na povrchu koulí 𝑟 𝑖𝑗 = 𝑟 𝑗 − 𝑟 𝑖 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 trajektorie bodů – kružnice, rov. kř.

složení translace a rotace, např. valení 3. obecný složení translace a rotace, např. valení 6 stupňů volnosti – 6 údajů popisuje obecný pohyb tuh. těl. Fyzika I-2014, přednáška 3

Úhlové veličiny popisují rotační pohyb kolem pevné osy pro těleso jako celek, jsou stejné pro všechny body úhel otočení j [rad] úhlová rychlost w tělesa [rad s-1=s-1] úhlové zrychlení e [s-2] rovnoměrný rotační tabule doba otáčky T, frekvence f rovnoměrně zrychl. rotační tabule obvodová rychl. a zrychl. obecně různé pro různé body tuh. těl., úhlové veličiny stejné pro všechny body Vektorový charakter úhl. veličin úhlová rychlost w – rovnoběž. s osou rotace, směr podle smyslu rotace úhl. zrychl. tabule a r znaménko, smysl rotace O 𝑣 = 𝜔 × 𝑟 𝜀 = 𝑑 𝜔 𝑑𝑡 𝑎 = 𝜀 × 𝑟 + 𝜔 × 𝑣 = 𝑎 𝜏 𝜏 0 + 𝑎 𝑛 𝑛 0

3.2 Dynamika tuhého tělesa Dynamické veličiny pro: hmotný bod m F p tuhé těleso J M L moment setrvačnosti moment síly Moment setrvačnosti J setr. vlastnosti při rotaci záleží na hmotnosti a vzdálenosti od osy rotace moment setrvačnosti J moment hybnosti Fyzika I-2014, přednáška 3

Kinetická energie tuh. tělesa (mi, i = 1, 2, …, n) rotujícího kolem osy Ri – vzdál. i-tého bodu od osy rotace diskrétně rozložená hmota: J pomocí ∑ spojitě rozložená hmota: J pomocí ∫ J se vztahuje k tělesu a určité ose Př. Moment setrvačnosti dvou-atomové molekuly: 2 hm. body podle obr., určit J vzhledem k ose procházející hm. středem T, viz obr., dáno m1, m2, l tabule 𝐽= 𝑡ě𝑙𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑚 𝑅 2 𝐽= 𝑖=1 𝑛 𝑚 𝑖 𝑅 𝑖 2 𝐽= 𝑚 𝑟 𝑙 2 𝑚 𝑟 = 𝑚 1 𝑚 2 𝑚 1 + 𝑚 2 redukovaná hmotnost

Př. Tenkostěnná obruč: m, r J nezávisí na h Homogenní válec: m, r J = ½ mr 2 nezávisí na h Př. Steinerova věta JT … moment setrvačnosti vzhledem k ose oT procházející hm. středem J … moment setrvačnosti vzhledem k ose o rovnoběžné s oT vzdálené d J 𝐽= 𝐽 𝑇 +𝑚 𝑑 2 Fyzika I-2014, přednáška 3

translační pohyb je plně určen výslednou silou u rotace jinak: Moment síly M translační pohyb je plně určen výslednou silou u rotace jinak: rotace kolem pevné osy, př. dveře rot. úč. F1< rot. úč. F2 < rot. úč. F3 rotační účinky síly v rov. kolmé k ose otáčení ~ vel. F ~ vzdál. přímky síly od osy Fyzika I-2014, přednáška 3

moment síly vzhledem k momentovému bodu M 𝑀 = 𝑟 × 𝐹 𝑀=𝐹𝑟 sin 𝛼 a = 0 → M = 0 Fyzika I-2014, přednáška 3

moment síly vzhledem k ose Mosa (skalár opatřený znaménkem) p … rameno síly, vzdálenost přímky síly od osy otáčené Fyzika I-2014, přednáška 3

moment hybnosti vzhledem k bodu celkový moment hybnosti Moment hybnosti L moment hybnosti vzhledem k bodu celkový moment hybnosti moment hybnosti vzhledem k ose (skalár) analogie Př. Elektron obíhající kolem jádra (poloměr r), orbitální moment hybnosti vzhledem ke středu trajektorii Lo? vnitřní moment hyb. (spin) S kvantový jev klasicky: S = J w, viz semináře 𝐿 = 𝑟 × 𝑝 𝐿 = 𝑖=1 𝑛 𝑟 𝑖 × 𝑣 𝑖   𝐿 𝑜𝑠𝑎 =𝐽𝜔 𝑝 𝑥 =𝑚 𝑣 𝑥

II. věta impulsová I. věta impulsová II. věta impulsová vhledem k ose 1. důsl. : Mext = 0 → Losa = konst Jw = konst zákon zachování momentu hybnosti Př. pirueta, J1 … rozpaženo J2 … připaženo 2. důsl: dosadíme za moment hyb. vzhledem k ose → pohybová rov. pro rovinnou rotace analogie 𝐹 𝑒𝑥𝑡 = 𝑑 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘 𝑑𝑡 𝑀 𝑒𝑥𝑡 = 𝑑 𝐿 𝑐𝑒𝑙𝑘 𝑑𝑡 𝑀 𝑜𝑠𝑎 = 𝑑 𝐿 𝑜𝑠𝑎 𝑑𝑡 𝑀 𝑜𝑠𝑎 =𝐽 𝑑𝜔 𝑑𝑡 =𝐽𝜀 𝑀 𝑜𝑠𝑎 =𝐽𝜀 𝐹 𝑥 =𝑚 𝑎 𝑥

hom. válec: r, m, F = konst, tečný směr, t = 0: klid , viz obr. Př. rotace kolem pevné osy hom. válec: r, m, F = konst, tečný směr, t = 0: klid , viz obr. e =?, w (t1) =? Př. Obecný pohyb, valení po nakl. rov. hom. válec: r, m, J nakl. rov.: a t = 0: klid , viz obr. a =? Ř.: rot. pohyb – pohyb. rovnice pro rotaci kolem osy proch. hmot. středem transl. pohyb – pohyb. rov. pro hm. střed FT

transl. pohyb (jednorozm.): rotace kolem pevné osy: práce Práce, výkon transl. pohyb (jednorozm.): rotace kolem pevné osy: práce výkon Teorém práce – kinetická energie 1. kinetická energie pro rovinnou rotaci: 2. kinetická energie pro obecný pohyb: 𝑊= 𝐴 𝐵 𝐹 𝑥 𝑑𝑥 𝑊= 𝜑 1 𝜑 2 𝑀 𝑜𝑠𝑎 𝑑𝜑 𝑃= 𝑑𝑊 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑥 𝑣 𝑥 𝑃= 𝑀 𝑜𝑠𝑎 𝜔 Δ 𝐸 𝑘 =𝑊 𝐸 𝑘 = 1 2 𝐽 𝜔 2 𝐸 𝑘 = 1 2 𝐽 𝜔 2 + 1 2 𝑚 𝑣 2 Fyzika I-2014, přednáška 3

Teorém práce – kinetická energie Př. Rot. kolem pevné osy, tuhé těleso: J, t = 0: frekvence f1, moment brzdných sil Mt = konst, n otáček do zastavení, Mt = ? Př. Obecný pohyb, valící se těleso: r, m, J, nakl. rov.: a, t = 0: klid rychlost vl po uražení dráhy l ? FT Fyzika I-2014, přednáška 3

3.3 Dynamika tuhého tělesa. Souhrn. Analogické veličiny a vztahy pro: Translační pohyb Rotace kolem pevné osy (jednorozm. podél osy x) hmotnost m moment setrvačnosti J síla F moment síly M hybnost p moment hybnosti L I. věta impulsová II. věta impulsová pohybová rovnice pohybová rovnice práce W práce W výkon P výkon P kinetická energie Ek kinetická energie Ek teorém práce-kin. energie teorém práce-kin. energie Pozn. Teorém práce – kinetická energie pro obecný pohyb obsahuje kin. energii rotačního i translačního pohybu Fyzika I-2014, přednáška 3

výsledná síla na tuhé těleso 3.4 Statika tuhého tělesa Podmínky rovnováhy z I a II. věty impulsové 𝑖 𝐹 𝑖 = 0 výsledná síla na tuhé těleso 𝑖 𝑀 𝑖 = 0 výsledný moment sil na tuhé těleso 6 skalárních podmínek Fyzika I-2014, přednáška 3

Zjednodušení soustavy sil, těžiště Soustavy sil jsou ekvivalentní, jestliže vykazuji stejná pohybový účinek na těleso. Podle I. a II. věty impulsové – stejnou výslednici sil a stejný výsledný moment sil. Př. Soustava tíhových sil na těleso je nahrazenou jednou silou, která působí v těžišti Dvojice sil tabule   𝑟 𝑇 = 1 𝑚 𝑖=0 𝑛 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 těžiště leží v hmot. středu tělesa Fyzika I-2014, přednáška 3

4. Mechanika kontinua Fyzika I-2014, přednáška 3