Základy infinitezimálního počtu Spojitost funkce v bodě a v intervalu Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Ivana Mastíková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz; ISSN 1802-4785. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).
Spojitost funkce v bodě Má-li být funkce spojitá v daném bodě, musí být definována nejen v tomto bodě, ale i v jeho okolí. Zobrazíme okolí bodu a na osu y. f Vybereme na ose y libovolný bod z tohoto obrazu a zobrazíme ho na osu x. f(x2) f(a) Vybereme další bod na ose y a opět ho zobrazíme na osu x. f(x1) Vidíme, že blíží-li se vybraný bod bodu f(a), pak se i jeho obraz blíží bodu a. Budeme-li vybírat body z co nejmenšího, například okolí bodu f(a), zobrazí se vždy do k němu příslušnému okolí bodu a. x1 a x2
Spojitost funkce v bodě Ukážeme si jak bude vše vypadat, bude-li graf funkce „rozdělený“. Zobrazíme okolí bodu a na osu y. Teď již můžeme definovat spojitost funkce v bodě f a x2 f(a) f(x1) x1 f(x2) f Funkce f je spojitá v bodě a, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu f(a) existuje takové okolí bodu a, že pro všechna x z tohoto okolí bodu a patří hodnoty f(x) do zvoleného okolí bodu f(a), neboli Funkce f je spojitá v bodě a > 0 > 0: ( x - a < f(x) – f(a) < ) Opět vybereme na ose y libovolný bod z tohoto obrazu a zobrazíme ho na osu x f(x2) f(a) Vybereme další bod na ose y a opět se ho pokusíme zobrazit na osu x f(x1) Vidíme, že tento bod nemůžeme na osu x zobrazit, že funkce není pro bod x2 definována. Z toho vyplývá, že existuje bod z okolí bodu f(a) , který se nezobrazí do okolí bodu a. x1 a
Spojitost funkce v bodě Příklad: Na základě definice spojitosti funkce v bodě a dokažte spojitost funkce f: y = 5x – 1 v bodě a = 2. Řešení: Máme dokázat, že > 0 > 0 tak, že f(x) – f(a) < je splněno pro všechna x, pro něž je x - a < f(x) – f(a) = 5x – 1 – (5 . 2 – 1) = |5x - 10| = 5 |x - 2| < |x - 2| < 𝜀 5 . Dále hledáme , pro které platí x - a < x - a = x - 2 < . Zvolíme-li 𝜀 5 , pak pro všechna x splňující nerovnost x - a < 𝜀 5 platí f(x) – f(2) < .
Spojitost funkce v bodě Věty o spojitosti některých elementárních funkcí: Funkce f: y = c, c R, je spojitá v každém bodě. Funkce f: y = x je spojitá v každém bodě. Funkce f: y = sin x je spojitá v každém bodě. Funkce f: 𝑦= 𝑎 𝑥 a g: 𝑦= log 𝑎 𝑥 je spojitá v každém bodě definičního oboru. Funkce f: 𝑦= 𝑛 𝑥 , n N, je pro n liché spojitá v každém bodě, pro n sudé spojitá v ( 0 ; + ). Jsou-li funkce f a g spojité v bodě a, pak je také spojitou funkcí v bodě a jejich součet f + g, rozdíl f - g, součin f g a pro g(a) 0 také jejich podíl 𝑓 𝑔 .
Spojitost funkce v bodě cvičení 1 Dokažte spojitost funkce f v daném bodě a jako výsledek zapište maximální hodnotu vzor - e/k (e=): f(x) = 2x + 1, a = 2 g(x) = -3x - 1 , a = 6 Stanovte, v kterých bodech jsou spojité funkce: vzor R– {a}, R– {90°+k.180°} h1(x) = 1 + x cos x h2(x) = 𝑥 𝑥 2 −1 h3(x) = 1 sin 𝑥 h4(x) = 𝑥+1 𝑥−1 2
Spojitost funkce v intervalu K zavedení pojmu spojitost funkce v intervalu si na konkrétním příkladu připomeneme levé a pravé okolí bodu. Pro tyto typy funkcí si zavedeme nové pojmy a to spojitost funkce zleva a zprava. Funkce f je v bodě a spojitá zprava, jestliže ke každému > 0 existuje takové > 0, že nerovnost f(x) – f(a) < je splněna pro všechna x z intervalu a; a+) -3 3 Na obrázku je graf funkce f(x) = 𝑥+3 , Df = -3;), pak v levém okolí bodu -3 není funkce definována a tedy podle definice spojitosti není funkce v bodě -3 spojitá Funkce f je v bodě a spojitá zleva, jestliže ke každému > 0 existuje takové > 0, že nerovnost f(x) – f(a) < je splněna pro všechna x z intervalu (a-; a Z předchozí definice vyplývá věta: Funkce f je v bodě a spojitá, právě když je v tomto bodě spojitá zprava i zleva. 3 Na tomto obrázku je graf funkce f(x) = 3−𝑥 , Df = (-;3, pak v pravém okolí bodu 3 není funkce definována a tedy podle definice spojitosti není funkce v bodě 3 spojitá Nyní již můžeme vyslovit definici spojitosti v intervalu. Funkce je spojitá v otevřeném intervalu ( a; b ), je-li spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Funkce je spojitá v uzavřeném intervalu a; b , je-li spojitá v ( a; b ), a v bodě a je spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva.
Spojitost funkce v intervalu Důležitá věta zaručující extrémy spojité funkce na uzavřeném intervalu: Věta Weierstrassova. Je-li funkce spojitá v uzavřeném intervalu a;b, existuje alespoň jeden takový bod x1 a;b, že xa;b platí f(x) f(x1), a alespoň jeden takový bod x2 a;b, že xa;b platí f(x) f(x2). Neboli, funkce spojitá v uzavřeném intervalu a;b nabývá v tomto intervalu alespoň v jednom bodě maxima a alespoň v jednom bodě minima, je v tomto intervalu omezená. Geometrická interpretace y=f(x1) Graf funkce f spojité v intervalu a;b leží mezi rovnoběžnými přímkami o rovnicích y=f(x1) a y=f(x2). Tato funkce nabývá maxima v bodě x1, a minima v bodě x2. f a x1 x2 b y=f(x2)
Spojitost funkce v intervalu Věta, jejíž důsledek lze použít při řešení rovnic i nerovnic: Věta Bolzanova-Weierstrassova. Je-li funkce spojitá v uzavřeném intervalu a;b a f(a) f(b), potom ke každému K ležícímu mezi čísly f(a) a f(b), existuje alespoň jeden takový bod c(a;b), že f(c) = K. Důsledek: Je-li funkce f spojitá v a;b a mají-li čísla f(a) a f(b) různá znaménka, tj. f(a) f(b) < 0, potom existuje alespoň jeden takový bod c(a;b), že f(c) = 0. V okolí bodu c mění hodnoty funkce znaménko. f f a c b a c b
Spojitost funkce v intervalu příklad 1 Dokažte, že rovnice x + ex = 0 má alespoň jeden kořen v intervalu (-1;1). Funkce f(x) = x + ex je spojitá v každém bodě intervalu (-1;1). Dále f(-1) = 1−𝑒 𝑒 a f(1) = e + 1, tedy f(-1) f(1) = 1−𝑒 𝑒 (e + 1) = = 1−𝑒+ 1−𝑒 𝑒 = 𝑒− 𝑒 2 +1−𝑒 𝑒 = 1− 𝑒 2 𝑒 <0. Pak podle důsledku Bolzanovo-Weierstrassovy věty existuje alespoň jedno takové c (-1;1), že f(c) = 0. Je-li funkce f spojitá v a;b a mají-li čísla f(a) a f(b) různá znaménka, tj. f(a) f(b) 0, potom c (a;b): f(c) = 0. c
Spojitost funkce v intervalu příklad 2 V R řešte nerovnici 𝑥 3 + 𝑥 2 −12𝑥≥0 𝑥(𝑥 2 +𝑥−12)=𝑥(𝑥+4)(𝑥−3)≥0 Nulové body funkce 𝑓 𝑥 =𝑥(𝑥+4)(𝑥−3) jsou: Protože 𝑓 𝑥 =𝑥(𝑥+4)(𝑥−3) je spojitá v R, funkce f(x) nemění znaménka uvnitř intervalů. Výpočtem funkčních hodnot vybraných bodů z vnitřku intervalů zjistíme znaménka funkčních hodnot v jednotlivých intervalech. Pak řešení této nerovnice je K = -4; 0 3; + ). Zároveň jsme vyřešili i nerovnici 𝑥 3 + 𝑥 2 −12𝑥<0 : K = ( - ; -4) (0; 3). (-; -4) (-4; 0) (0; 3) (3; +) -4 3
Spojitost funkce v intervalu cvičení Pomocí intervalů zapište řešení daných nerovnic – vzor(a;b), (c;d) x(x – 3)2 (x + 2) < 0 𝑥 3 +𝑥 𝑥 3 −𝑥 <0 x logx < x 3 𝑥+2 >1
Spojitost funkce shrnutí Připomeneme si nové pojmy: Všechny tyto pojmy potřebujeme k zavedení jednoho z nejdůležitějších pojmů infinitezimálního počtu, a to limity funkce, se kterou se seznámíme v další kapitole.
Použitá literatura Rektorys, K. Přehled užité matematiky I. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2009. ISBN 9788071961802. Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1995. ISBN 808584978X. RNDr. Hrubý, D., RNDr. Kubát J. Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1997. ISBN 8071960632. RNDr. Petáková J. Matematika – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2002. ISBN 8071960993.