Číslo projektu Číslo materiálu název školy Autor Tématický celek CZ.1.07/1.5.00/34.0423 Číslo materiálu DUM 11 - Vzájemná poloha přímek v rovině - výklad název školy Střední škola a Vyšší odborná škola cestovního ruchu, Senovážné náměstí 12, České Budějovice 370 01 Autor PaedDr.Alena Chalupová Tématický celek Analytická geometrie Ročník 2.-nástavbové studium, 4.-HŠ Datum tvorby Říjen 2012 Střední škola a Vyšší odborná škola cestovního ruchu, Senovážné náměstí 12, České Budějovice 370 01

Metodické pokyny: výukový materiál Anotace: Prezentace charakterizuje všechny možnosti vzájemné polohy přímek v rovině poskytuje návod, jak vzájemnou poloh přímek v rovině řešit a co v různých situacích určovat obsahuje ukázkově řešené příklady k procvičení daného učiva Metodické pokyny: výukový materiál

Vzájemná poloha přímek v rovině - výklad Analytická geometrie Vzájemná poloha přímek v rovině - výklad

Vzájemnou polohu útvarů charak- terizuje počet společných bodů: Přímky p,q v rovině mohou být: a) rovnoběžné a totožné pq=p (přímky mají všechny body společné) b) rovnoběžné a různé pq= (přímky nemají žádný společný bod) c) různoběžné pq=P (přímky mají jeden společný průsečík P)

Poznámka: Při ověřování vzájemné polohy záleží vždy na tom, jakými rovnicemi jsou přímky zadány. Vždy zkoumáme buď směrové vektory nebo normálové vektory obou přímek (nikdy jeden směrový a jeden normálový!!)

Přímky rovnoběžné a totožné: a) Obě přímky zadány obecnou rovnicí: p: a1x+b1y+c1=0 np=(a1,b1) q: a2x+b2y+c2=0 nq=(a2,b2) np= k.nq  c1= k.c2 b) Obě přímky zadány parametricky: p: bod A a up=(u1,u2) up = k. vq q:bod B a vq=(v1,v2)  Aq (Bp)

c) Každá je zadaná jinak ze směrového vektoru určíme vektor normálový a zjišťujeme lineární závislost (rovnoběžnost) 2 normálových vektorů nebo naopak z normálového vektoru určíme směrový vektor a zjišťujeme lineární závislost (rovnoběžnost) 2 směrových vektorů

Přímky rovnoběžné a různé: a) Obě přímky zadány obecnou rovnicí: p: a1x+b1y+c1=0 np=(a1,b1) q: a2x+b2y+c2=0 nq=(a2,b2) np= k.nq  c1 k.c2 b) Obě přímky zadány parametricky: p: bod A a up=(u1,u2) up = k. vq q:bod B a vq=(v1,v2)  Aq (Bp)

Jsou-li přímky rovnoběžné a různé určíme jejich vzdálenost: Nejlépe tak, že použijeme přímku, která je zadaná obecnou rovnicí (pokud není, tak si ji na ni převedeme) určíme libovolný bod M na druhé přímce určíme vzdálenost bodu M od přímky pomocí vzorce

Přímky různoběžné: a) Obě přímky zadány obecnou rovnicí: p: a1x+b1y+c1=0 np=(a1,b1) q: a2x+b2y+c2=0 nq=(a2,b2) np k.nq b) Obě přímky zadány parametricky: p: bod A a up=(u1,u2) up  k. vq q:bod B a vq=(v1,v2)

Jsou-li přímky různoběžné-určíme: jejich průsečík –řešíme soustavu rovnic jejich odchylku (úhel, který svírají) – užitím vzorce

Příklad 1-zadání: p: 2x-3y+5=0 q: x-y-1=0 Určete vzájemnou polohu přímek p a q: p: 2x-3y+5=0 q: x-y-1=0

Příklad 1-řešení: p: 2x-3y+5=0 np=(2,-3) q: x-y-1=0 nq=(1,-1) np k.nq p, q jsou různoběžné Řešíme soustavu rovnic: 2x -3y+5=0 -2x+2y+2=0 sečteme -y+7=0 y=7 x-7-1=0 x=8 průsečík P=8,7

Příklad 1-řešení: Odchylka přímek p a q: np=(2,-3) nq=(1,-1)

Příklad 2-zadání: Určete vzájemnou polohu přímek p a q: p: x=4+2t y=-6-3t, tR q: 6x+4y+7=0

Příklad 2-řešení: p: x=4+2t A =4, -6 y=-6-3t, tR up =(2,-3) np =(3,2) q: 6x+4y+7=0 nq=(6,4) nq = 2.nq p,q jsou rovnoběžky ? Aq : 6.4+4.(-6)+7=0 70 Aq přímky p,q nejsou totožné

Příklad 2-řešení: Přímky p, q jsou rovnoběžné, ale různé. Jejich vzdálenost je rovna vzdálenosti bodu A =4, -6; Ap od přímky q: 6x+4y+7=0 :

Použitá literatura: Vlastní archiv autora CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1999, 208 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6139-6. JIRÁSEK, František. Sbírka úloh z matematiky: pro SOŠ a studijní obory SOU. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1989, 479 s. Učebnice pro střední školy (Státní pedagogické nakladatelství). ISBN 80-042-1341-3.

Děkuji za pozornost.