2. přednáška Differenciální rovnice Fyzika pro OI 2. přednáška Differenciální rovnice Ing. Jaroslav Jíra, CSc.

Základní rozdělení diferenciálních rovnic Podle typu derivace Obyčejná diferenciální rovnice Obsahuje funkci jedné nezávisle proměnné a její derivace. Příklad: Parciální diferenciální rovnice Obsahuje funkci více proměnných a její parciální derivace. Příklad:

Typy obyčejných diferenciláních rovnic Obecná definice obyčejné diferenciální rovnice Diferenciální rovnice prvního řádu Nejvyšší derivace funkce y nezávisle proměnné je první derivace. Příklad: Diferenciální rovnice vyšších řádů Obsahuje nejméně druhou derivaci funkce y Příklad:

Typy obyčejných diferenciláních rovnic Lineární diferenciálni rovnice Funkce y se zde objevuje pouze v lineární podobě. Nejsou zde žádné mocniny funkce y a jejích derivací, nejsou zde žádné součiny funkce y a jejích derivací. Nejsou zde ani funkce typu sin(y), exp(y) apod. Příklad: Nelineární diferenciální rovnice Není-li dodržena kterákoli z podmínek pro lineární diferenciální rovnici, pak mluvíme o nelineární diferenciální rovnici. Příklad:

Typy obyčejných diferenciláních rovnic Homogenní diferenciální rovnice Na pravé straně rovnice není žádná konstanta ani funkce x. Příklad: Nehomogenní diferenciální rovnice Přesný opak homogenní diferenciální rovnice. Příklad:

Typy obyčejných diferenciláních rovnic Diferenciální rovnice s konstantními koeficienty Funkce y a její derivace jsou násobeny pouze konstantami. Příklad: Diferenciální rovnice s proměnnými koeficienty Funkce y a její derivace mohou být násobeny konstantami nebo funkcemi x. Příklad:

Jak řešit diferenciální rovnice V dalším průběhu přednášek budou popsány tyto metody Separace proměnných – použitelné pro homogenní obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu a pro určité typy nehomogenních. Charakteristická rovnice – použitelné pro homogenní obyčejné diferenciální rovnice prvního či vyšších řádů s konstantními koeficienty. Variace konstanty – použitelné pro nehomogenní obyčejné diferenciální rovnice prvního či vyšších řádů. Tato metoda se obvykle používá jako pokračování jedné z předchozích metod pro nehomogenní rovnice. Laplaceova transformace – použitelné pro homogenní i nehomogenní obyčejné diferenciální rovnice prvního i vyšších řádů. Řešení nehomogení rovnice je většinou mnohem kratší než u předchozích metod.

Nehomogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty – separace proměnných Nejjednodušší diferenciální rovnice: kde Integrujeme poslední rovnici Příklad: kde x2+C je obecné řešení diferenciální rovnice Někdy je zadána počáteční podmínka což znamená, že funkce y(x) musí procházet bodem Dostáváme partikulární řešení y(x)=x2 -1

Homogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty – separace proměnných Obecný vzorec pro takovou rovnici je Nyní zintegrujeme obě strany rovnice a poté aplikujeme exponenciální funkci nahrazením dostaneme obecné řešení kde C je konstanta daná počátečními podmínkami

Homogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty – charakteristická rovnice Obecný vzorec pro takovou rovnici je Při řešení rovnice předpokládáme výsledek v podobě exponenciální funkce. Jestliže potom a rovnice přejde na tvar Po vydělení rovnice eλx dostaneme Toto je charakteristická rovnice Řešením je kde C je konstanta daná počátečními podmínkami

Příklad lineární diferenciální rovnice prvního řádu – RC obvod Najděte časovou závislost elektrického proudu i(t) v zadaném obvodu. Nyní poslední rovnici zderivujeme podle času Characteristická rovnice je Konstantu K spočteme z počátečních podmínek. Víme, že Obecné řešení je Partikulární řešení je

Řešení RC obvodu v Mathematice Zadané hodnoty jsou R=1 kΩ; C=100 μF; u=10 V

Nehomogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu - variace konstanty Obecný vzorec pro takovou rovnici je kde P(x) a Q(x) jsou spojité funkce proměnné x. V prvním kroku ignorujeme pravou stranu položením Q(x)=0 a poté řešíme homogenní rovnici např. separací proměnných. Separace proměnných nám dává: Máme-li řešení homogenní části rovnice, můžeme pokračovat metodou variace konstanty. Namísto konstanty C však hledáme funkci C(x), která vyhovuje homogennímu řešení i původní diferenciální rovnici.

Má-li C(x) být funkcí, potom Nyní nahradíme y a y’ v původní rovnici dostaneme Po menších úpravách: Naše funkce C(x) je: Obecné řešení nehomogenní rovnice je:

Příklad na variaci konstanty – LR obvod Najděte časovou závislost elektrického proudu i(t) v zadaném obvodu. Nejprve vyřešíme homogenní rovnici Řešení charakt. rovnice Ve druhém kroku, variace konstanty, hledáme funkci První derivace proudu

Nahrazením i a di/dt v původní rovnici dostaneme Obecné řešení Víme, že počáteční proud i(0)=0, můžeme tedy určit K2. Partikulární řešení rovnice

Řešení LR obvodu v Mathematice Zadané hodnoty jsou R=1 kΩ; L=100 mH; U=10 V

Obecný vzorec pro takovou rovnici je Homogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty Obecný vzorec pro takovou rovnici je Opět předpokládáme řešení ve tvaru exponenciální funkce: Jestliže potom a a rovnice se změní na Po vydělení rovnice eλx dostaneme Máme kvadratickou charakteristickou rovnici. Její kořeny jsou

Podle diskriminantu D existují tři typy řešení 1) Je-li D>0, potom jsou kořeny λ1, λ2 reálné různé 2) Je-li D=0, máme dvojnásobný reálný kořen λ12 =λ 3) Je-li D<0, potom jsou kořeny λ1, λ2 komplexně sdružené, kde α a ω jsou reálná a imaginární část kořene

Zavedením substituce dostaneme Toto je v některých případech obecné řešení Někdy používáme další substituci a poté uvážením vzorce konečně dostáváme kde amplituda A a fáze φ jsou konstanty, které můžeme vypočítat z počátečních podmínek a ω je úhlová frekvence. Tento příklad vede na kmitavý pohyb.

Příklad na rovnici druhého řádu – netlumený harmonický oscilátor Vyjádřete časovou závislost výchylky x(t) tělesa hmotnosti m na horizontální pružině o tuhosti k. Pasivní odpory zanedbejte. Je-li těleso vychýleno z rovnovážné polohy (x=0), začne na něj působit vratná síla F, úměrná velikosti výchylky x: Z druhého Newtonova zákona víme Characteristická rovnice je Máme dva komplexně sdružené kořeny s nulovou reálnou částí

Obecné řešení pro použité symboly je Nulová reálná část λ značí, že α=0, a omega je v našem případě Obecné řešení tedy nakonec je Odpověď: těleso vykonává netlumený harmonický pohyb s amplitudou A a fází φ. Nyní potřebujeme počáteční podmínky. Podmínky mohou být například: Z první podmínky Z druhé podmínky Partikulární řešení je

Příklad 2 na rovnici druhého řádu – tlumený harmonický oscilátor Základní teorie je stejná jako u netlumeného oscilátoru, pouze nyní budeme navíc uvažovat tlumení. Tlumení je představováno třecí silou Ff, která je úměrná rychlosti v. Celková síla působící na těleso: Obvykle používáme tyto substituce Characteristická rovnice je

Řešení characteristické rovnice kde δ je konstanta tlumení a ω je úhlová frekvence V závislosti na hodnotách δ a ω máme tři různé typy řešení: 1) δ>ω. Přetlumený oscilátor. Kořeny jsou reálné různé 2) δ=ω. Kritické tlumení. Kořen je dvojnásobný reálný. 3) δ<ω. Podtlumený oscilátor. Kořeny jsou komplexně sdružené.

Tlumený harmonický oscilátor v Mathematice Konstanta tlumení δ=1 [s-1], úhlová frekvence ω=10 [s-1]

Tlumený harmonický oscilátor v Mathematice Všechny tři typy řešení pohromadě pro ω=10 s-1 Přetlumený oscilátor, δ=20 s-1 Kriticky tlumený oscilátor, δ=10 s-1 Podtlumený oscilátor, δ=1 s-1