SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY

Prezentace na téma: "SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY"— Transkript prezentace:

1 SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.

2 VII. SYSTÉMY FORMY ABSTRAKTNÍHO POPISU SPOJITÝCH SYSTÉMŮ
VNĚJŠÍ (VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ) POPIS

3 FORMÁLNÍ (MATEMATICKÝ) POPIS SYSTÉMU
Matematické prostředky se různí podle: typu časové základny (spojité, diskrétní, nezávislé na časovém měřítku); charakteru proměnných (spojité, diskrétní, logické); determinovanosti proměnných a parametrů (deterministické, nedeterministické - pravděpodobnostní, fuzzy,…); vztahu k okolí (autonomní, neautonomní); proměnnosti parametrů (lineární, nelineární, časově proměnné); vztahu k minulosti (bez paměti, s pamětí);

4 TECHNICKÝ & BIOLOGICKÝ SYSTÉM
základními vlastnostmi biologických systémů jsou: přirozenost (zpravidla nejsou vytvořeny člověkem); veliký rozměr (velký počet stavových proměnných a ne vždy je přesně znám); složitá hierarchická struktura; významná interakce na všech úrovních jejich struktury (často časově proměnná); velké rozdíly mezi jednotlivými realizacemi (jedinci) – rozptyl uvnitř populace – interindividuální variabilita; velké rozdíly v chování jednotlivých realizací (jedinců) v čase – intraindividuální variabilita;

5 TECHNICKÝ & BIOLOGICKÝ SYSTÉM
základními vlastnostmi biologických systémů jsou i: nestacionarita a neergodicita nedeterministického chování; předpoklady o linearitě představují velice hrubou a omezenou aproximaci; významné omezení počtu experimentů opakovatelných za dostatečně srovnatelných podmínek; významné omezení experimentů z hlediska prevence škod; experimenty na jedincích různého typu (člověk x zvířata) mohou přinášet různé výsledky jak z hlediska kvality, tak kvantity

6 VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS
předpokládejme konstantní parametry prvků R, L, C obvodu

7 VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS
Pak lze psát

8 VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS
Po záměně pořadí členů na levé straně a po dosazení za proud i1 a jeho derivaci ze vztahu mezi proudem a napětím na kapacitě je a protože napětí na kapacitě je současně i výstupním napětím, tj. uC(t) = u2(t) lze psát matematický vztah mezi výstupním u2 (t) a vstupním u1(t) napětím obvodu . Vztah mezi vstupem a výstupem – jedna z forem vnějšího popisu

9 VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS
obecně, spojitý systém n-tého řádu popisuje diferenciální rovnice n-tého řádu bny(n) + bn-1y(n-1) + … + b0y = amx(m) + am-1x(m-1) + … + a0x , která je, za předpokladu že parametry an, an-1, …, a0, bm, bm-1, …, b0 jsou konstantní, lineární; prakticky nelze realizovat takové systémy, jejichž výstupní signál by byl přesně úměrný derivacím vstupního signálu, proto musí platit m ≤ n;

10 LINEARITA Systém je lineární, platí-li pro něj princip superpozice Je-li y=f(x) převodní funkce systému, pak pro lineární systém musí platit 1) f(x1) + f(x2) = f(x1 + x2); 2) c.f(x) = f(c.x), c = konst.

11 LINEARITA A to je jen tehdy, je-li y=k.x, kde k = konst. 1) k.x1 + k.x2 = k.(x1 + x2) 2) c.k.x = k.c.x

12 LINEARITA A neplatí to ani, když y=k.x-q, kde k,q = konst., protože 1) (k.x1-q)+ (k.x2-q) ≠ k.(x1+x2)-q 2) c.(k.x-q) ≠ (k.c.x-q)

13 Laplaceova transformace
definiční vztah kde p = σ+jω.

14 Laplaceova transformace
definiční vztah kde p = σ+jω. Pamatujeme si ještě definiční vztah Fourierovy transformace?

15 Laplaceova transformace
definiční vztah kde p = σ+jω. Pamatujeme si ještě definiční vztah Fourierovy transformace?

16 Laplaceova transformace
VLASTNOSTI spousta úžasných vlastností ekvivalentních vlastnostem Fourierovy transformace, navíc i něco co se neuvěřitelně hodí pro řešení diferenciálních rovnic (převádí diferenciální rovnice na mocninné algebraické) Laplacův obraz derivace: f’(t) ~ p.F(p) - f(0) f(n)(t) ~ pn.F(p) - pn-1f(0) – pn-2f’(0) - … - f(n-1)(0)

17 PŘENOSOVÁ FUNKCE Vyjádřeme nyní tuto rovnici pomocí Laplacových obrazů obou veličin. Za předpokladu nulových počátečních podmínek pro Laplacův obraz n-té derivace funkce y(t) platí Do dosazení dostáváme

18 PŘENOSOVÁ FUNKCE Pro poměr obrazů výstupní a vstupní veličiny můžeme psát Takto definovanou funkci za nulových počátečních podmínek (!!!!) nazýváme obrazovou (operátorovou) přenosovou funkci daného systému.

19 PŘENOSOVÁ FUNKCE pro obecnou diferenciální rovnici n-tého řádu
bny(n) + bn-1y(n-1) + … + b0y = = amx(m) + am-1x(m-1) + … + a0x , má přenosová funkce lineárního systému za předpokladu nulových počátečních podmínek tvar

20 polynom ve jmenovateli přenosové funkce
nazýváme charakteristickým polynomem systému a rovnici charakteristickou rovnicí systému

21 PŘENOSOVÁ FUNKCE řešením charakteristické rovnice resp. dostaneme n jejích kořenů pi, i=1,…,n.

22 PŘENOSOVÁ FUNKCE Podobně můžeme určit i kořeny zj, j=1,…,m rovnice, která vznikne položením polynomu v čitateli přenosové funkce rovno nule, tj. Kořeny pi i zj mohou být obecně reálné i komplexní; za předpokladu, že koeficienty bi, resp. aj jsou reálné, pak kořeny pi i zj, jsou-li komplexní, jsou komplexně sdružené.

23 PŘENOSOVÁ FUNKCE Pomocí hodnot kořenů zj a pi můžeme psát přenosovou funkci ve tvaru Kořeny zj nazýváme nulové body přenosové funkce a kořeny pi póly přenosové funkce F(p)

24 FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA
proměnná p má obecně komplexní charakter a tedy nabývá tvaru p =  + j , kde  je koeficient tlumení a  = 2f je kruhová frekvence předpokládejme, že koeficient tlumení  = 0, pak po dosazení za p v operátorové přenosové funkci dostáváme což nazýváme frekvenční přenosovou funkcí systému

25 FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA
frekvenční charakteristika je grafické vyjádření frekvenční přenosové funkce systému (geometrické místo koncových bodů vektoru přenosu pro frekvence, prakticky pouze v intervalu 0 ≤  < )

26 FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA
frekvenční charakteristiky vyjadřujeme zpravidla dvěma způsoby: frekvenční charakteristika v komplexní rovině F(j) = Re [F(j)] + j.Im [F(j)] modulová (amplitudová) a fázová frekvenční charakteristika F(j) = |F(j)|.ej()

27 FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA V KOMPLEXNÍ ROVINĚ
v tomto případě kreslíme frekvenční charakteristiku nejčastěji v komplexní rovině s osami, na které vynášíme reálnou a imaginární složku přenosu; frekvenční vlastnosti systému vyjadřuje křivka v komplexní rovině, jejímž parametrem je kruhová frekvence 

28 MODULOVÁ A FÁZOVÁ FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA
vlastnosti systému určují dvě funkce – závislost modulu přenosu na frekvenci a závislost fáze na frekvenci;

29 MODULOVÁ A FÁZOVÁ FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA
v některých případech se využívá pro znázornění těchto charakteristik logaritmické měřítko – amplitudu pak vyjadřujeme v decibelech |F(j)|dB = 20.log |F(j)| Tento způsob popisu je výhodný v případech, kdy je přenosová funkce systému určena součinem dílčích přenosových funkcí F(j) = F1(j). F2(j). … . Fk(j); pak platí |F(j)|.ej() = |F1(j)|. |F2(j)|… |Fk(j)|.ej(1+ 2+…+ k)

30 MODULOVÁ A FÁZOVÁ FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA

31 VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU
nyní předpokládejme, že kapacita C závisí na napětí na kondenzátoru

32 VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU
a tedy i Pak se poněkud komplikuje určení i1 = iC ze vztahu

33 VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU
Platí, že Potom pro iC platí Pro jednoduchost, nechť je C(u2) = k.u2 a tedy C‘(u2) = k ; pak

34 VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU
A po dosazení dostáváme Protože C(uC) = k.uC, můžeme psát A tedy obecně bn().y(n) + bn-1().y(n-1) + … + b0().y = = am().x(m) + am-1().x(m-1) + … + a0().x

35 VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU
bn().y(n) + bn-1().y(n-1) + … + b0().y = = am().x(m) + am-1().x(m-1) + … + a0().x () znamená závislost na určité (dané, zvolené) proměnné popisující chování systému – její průběh, ale obecně závisí na vstupním signálu  Vlastnosti nelineárního systému nezávisí jen na systému samém, nýbrž i na jeho vstupu (buzení) Laplacovu transformaci součinu funkce a derivace proměnné lze počítat (zda-li) jen pro konkrétní případ a tedy nelze obecně stanovit tvar operátorové přenosové funkce nelineárního systému