DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0969 Název školy Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64 Název materiálu Důkazy matematických vět, které mají tvar elementárního výroku Autor Michala Pfefrčková Tematický okruh Základní poznatky z matematiky Ročník První Datum tvorby 11.11.2012 Anotace Prezentace slouží k osvojení a procvičení dokazování vět ve tvaru elementárního výroku. Metodický pokyn Prezentace je určena jako výklad do hodiny i jako materiál k samostudiu. Možnosti využití: promítání, práce jednotlivců nebo dvojic u PC Pokud není uvedeno jinak, použitý materiál je z vlastních zdrojů autora

Základní poznatky z matematiky Důkazy matematických vět, které mají tvar elementárního výroku

Důkazy matematických vět, které mají tvar elementárního výroku přímý důkaz důkaz sporem

A. Přímý důkaz víme: platí p dokážeme: platí p ⇒v závěr: platí v Najdu pravdivý výrok p (mezi axiomy nebo mezi již dokázanými výroky), vystavím od výroku a pravdivou implikaci (cestu) k výroku v (tedy najdu pravdivý výrok p ⇒v) a tím i pravdivý výrok v Schéma: víme: platí p dokážeme: platí p ⇒v závěr: platí v

Dokažte věty: Součet velikostí všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180°. Pro každé x є R platí, že x2 ≥ 0. Každý pravoúhelník (obdélník, popř. čtverec) má shodné úhlopříčky.

a) Součet velikostí všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180°. p β´ α´ γ α β Z trojúhelníku je patrné, že platí: α´+γ +β´=180°. Z trojúhelníku je patrné, že platí: α´+γ +β´=180°. Sestrojíme přímku p, p ∥ AB a C є p. Důkaz provedeme pomocí libovolného trojúhelníku ABC. Úhly α a α´jsou úhly střídavé, tedy platí: α = α´. Úhly β a β ´jsou úhly střídavé, tedy platí: β = β ´. Rovnici: α´+γ +β´=180°, můžeme upravit na tvar: α + γ + β =180°. □ Vyznačíme v nákresu úhly.

b) Pro každé x є R platí, že x2 ≥ 0. Využijeme axiomu: Potom: □

c) Každý pravoúhelník (obdélník, popř. čtverec) má shodné úhlopříčky Zvolíme libovolný pravoúhelník ABCD: Rozdělíme na dva shodné trojúhelníky: Platí:

Tedy platí: Úsečky DB a AC jsou shodné. □

B. Důkaz sporem předpokládáme: platí ¬v dokážeme: platí ¬v ⇒z Vytvořím negaci ¬v požadovaného výroku v. Pravdivě z tohoto výroku dokazuji až dojdu k nesmyslnému výroku z. Schéma: předpokládáme: platí ¬v dokážeme: platí ¬v ⇒z závěr: neplatí z (SPOR) ↯

Dokažte věty: Pro každou kružnici k se středem S a každý její bod A platí, že přímka p vedená bodem A a kolmá k přímce SA má s kružnicí k jediný společný bod A. (Tj. je tečnou kružnice k s dotykovým bodem A.) Šachovnici 8x8, ze které je vystřiženo levé dolní a pravé horní políčko, nelze pokrýt 31 obdélníky 2x1. (Pokrytím rozumíme takové umístění obdélníčků na šachovnici, aby každé její pole bylo přikryto právě jedním ze dvou čtverců obdélníčku 2x1.)

a) Pro každou kružnici k se středem S a každý její bod A platí, že přímka p vedená bodem A a kolmá k přímce SA má s kružnicí k jediný společný bod A. (Tj. je tečnou kružnice k s dotykovým bodem A.) Důkaz: budeme dokazovat sporem – tedy budeme předpokládat, že takové body najdeme 2

↯ Dle tvrzení, které dokazujeme, je úhel SAB pravý. Ale také úhel ABS je pravý. Vyznačíme trojúhelník SAB: Zadaná poloha kružnice k, bodu A a přímky p: Předpokládáme, že takové body, které budou splňovat daný předpoklad, lze nalézt dva: ↯ V trojúhelníku SAB nemohou být dva vnitřní úhly pravé.

b) Šachovnici 8x8, ze které je vystřiženo levé dolní a pravé horní políčko, nelze pokrýt 31 obdélníky 2x1. (Pokrytím rozumíme takové umístění obdélníčků na šachovnici, aby každé její pole bylo přikryto právě jedním ze dvou čtverců obdélníčku 2x1.) Důkaz: budeme dokazovat sporem – tedy budeme předpokládat, že takové pokrytí lze nalézt

Odstranění políček ze šachovnice:

Při pokrývání této šachovnice políčky 2x1 je zakryto vždy jedno políčko bílé a jedno černé: ↯ Tímto způsobem nelze pokrýt celou šachovnici, protože odstřihnutím zadaných políček je na šachovnici 32 černých políček, ale pouze 30 bílých!

Zdroje: POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1995, 608 s. ISBN 80-85849-78-x. BUŠEK, Ivan, Leo BOČEK a Emil CALDA. Matematika pro gymnázia: základní poznatky z matematiky. Dot. 2. vyd. Praha: Prometheus, 1995, 165 s. ISBN 80-85849- 34-8.